2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章 6 第6讲 对数与对数函数
第6讲 对数与对数函数
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数
性质
底数的限制：a>0，且a≠1
对数式与指数式的互化：
ax＝N⇒logaN＝x
负数和零没有对数
1的对数是零：loga1＝0
底数的对数是1：logaa＝1
对数恒等式：alogaN＝N
运算性质
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，
M>0，
N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
公式：logab＝
(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)
推广：logambn＝logab；logab＝
2.对数函数的图象与性质
a>1
0
1时，y>0
当01时，y<0
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
3.对数函数的变化特征
在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．
作出直线y＝1，分别与四个图象自左向右交于点A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)，得到底数的大小关系是：b＞a＞1＞d＞c＞0.根据直线x＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．
4．反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．( )
(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．( )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只经过第一、四象限．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
[教材衍化]
1．(必修1P68练习T4改编)(log29)·(log34)＝________．
解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4.
答案：4
2．(必修1P73探究改编)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________．
解析：由题意知f(x)＝log2x，
所以f(2)＝log22＝1.
答案：1
3．(必修1P71表格改编)函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．
解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.
所以函数的图象恒过点(3，1)．
答案：(3，1)
4．(必修1P82A组T6改编)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则a，b，c的大小关系为________．
解析：因为01.所以c>a>b.
答案：c>a>b
[易错纠偏]
(1)对数函数图象的特征不熟致误；
(2)忽视对底数的讨论致误；
(3)忽视对数函数的定义域致误．
1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是________．(填序号)
解析：函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有②.
答案：②
2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当00，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋＝－1上，且m>0，n>0，则3m＋n的最小值为( )
A．13 B．16
C．11＋6 D．28
【解析】 (1)函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.
(2)函数y＝loga(x＋4)－1(a>0，a≠1)的图象恒过A(－3，－1)，
由点A在直线＋＝－1上可得，＋＝－1，即＋＝1，
故3m＋n＝(3m＋n)×＝10＋3，
因为m>0，n>0，所以＋≥2＝2(当且仅当＝，即m＝n时取等号)，
故3m＋n＝10＋3≥10＋3×2＝16，故选B.
【答案】 (1)C (2)B
利用对数函数的图象可求解的两类热点问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1，01
D．00时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知00且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则logba＝________．
解析：f(x)的图象过两点(－1，0)和(0，1)．
则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，
所以即所以logba＝1.
答案：1
对数函数的性质及应用(高频考点)
对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要命题角度有：
(1)求对数型函数的定义域；
(2)比较对数值的大小；
(3)解对数不等式；
(4)与对数函数有关的复合函数问题．
角度一 求对数型函数的定义域
函数f(x)＝的定义域为( )
A. B.
C. D.
【解析】 要使函数有意义，应满足
所以0<4x－5≤1，b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
【解析】 (1)由f(x)是奇函数可得，a＝－f＝f(log25)，因为log25>log24.1>log24＝2>20.8，且函数f(x)是增函数，所以clog33＝1，b＝log2b，又＝＝(log23)2>1，c>0，所以b>c，故a>b>c.
【答案】 (1)C (2)A
角度三 解对数不等式
设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【解析】 由题意，得
或
解得a>1或－1logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解．
(3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
1．(2020·宁波模拟)已知a>0，a≠1，函数f(x)＝loga|ax2－x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是( )
A.≤a<或a>1
B．a>1
C.≤a<
D.≤a≤或a>1
解析：选A.令t＝|ax2－x|，y＝logat，当a>1时，外函数为递增函数，所以内函数t＝|ax2－x|，x∈[3，4]，要为递增函数，所以<3或4≤，解得a>或a≤，所以a>1，当01，故选A.
2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f(x)＝lg(2x－4)，则方程f(x)＝1的解是________，不等式f(x)<0的解集是________．
解析：因为f(x)＝1，所以lg(2x－4)＝1，所以2x－4＝10，所以x＝7；因为f(x)<0，所以0<2x－4<1，所以20且a≠1)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A．(，1) B．[，1)
C．(，1) D．[，1)
【解析】 当00，即0<－a<1，解得1时，函数f(x)在区间[，]上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是(，1)．
【答案】 A
本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
已知函数y＝b＋ax2＋2x(a，b是常数且a>0，a≠1)在区间[－，0]上有ymax＝3，ymin＝，试求a，b的值．
解：令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
因为x∈[－，0]，所以t∈[－1，0]．
(1)若a>1，函数f(x)＝at在[－1，0]上为增函数，
所以at∈[，1]，
则b＋ax2＋2x∈[b＋，b＋1]，
依题意得解得
(2)若00，a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，
由f(x)>1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解得11恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)>1，
且8－2a<0，所以a>4，且a<1，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
答案：
10．已知函数f(x)＝若a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围为________．
解析：由f(a)＝f(b)＝f(c)，可知－log3a＝log3b＝2－log3c，则ab＝1，bc＝9，故a＝，c＝，则a＋b＋c＝b＋，又b∈(1，3)，位于函数f(b)＝b＋的减区间上，所以＜a＋b＋c＜11.
答案：
11．函数f(x)＝log(ax－3)(a>0且a≠1)．
(1)若a＝2，求函数f(x)在(2，＋∞)上的值域；
(2)若函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，求a的取值范围．
解：(1)令t＝ax－3＝2x－3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t>22－3＝1，
由复合函数的单调性原则可知，f(x)＝log(2x－3)在(2，＋∞)上单调递减，
所以f(x)1，
所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝>0，
所以2x>3y；
因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以3y<5z；
因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以5z>2x.
所以5z>2x>3y，故选D.
2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函数是( )
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
解析：选A.f3(x)＝log2x2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合，故排除选项B，D；f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将f2(x)＝log2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位得到y＝log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.
3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－mx为偶函数，其中e为自然对数的底数，则m＝________，若a2＋ab＋4b2≤m，则ab的取值范围是________．
解析：由题意，f(－x)＝ln(e－2x＋1)＋mx＝ln(e2x＋1)－mx，所以2mx＝ln(e2x＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x，所以m＝1，因为a2＋ab＋4b2≤m，所以4|ab|＋ab≤1，所以－≤ab≤，故答案为1，.
答案：1
4．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a满足f(log3a)＋f(loga)≥2f(1)，则a的取值范围是________．
解析：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，即有f(x)＝f(|x|)，
由实数a满足f(log3a)＋f(loga)≥2f(1)，
则有f(log3a)＋f(－log3a)≥2f(1)，
即2f(log3a)≥2f(1)即f(log3a)≥f(1)，
即有f(|log3a|)≥f(1)，
由于f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
则|log3a|≤1，即有－1≤log3a≤1，
解得≤a≤3.
答案：
