2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第三章素养提升1 高考中函数与导数解答题的提分策略
278
素养提升 1 高考中函数与导数解答
题的提分策略
1[2018 全国卷Ⅰ,21,12 分][文]已知函数 f (x)=aex - ln x - 1.
(1)设 x=2 是 f (x)的极值点,求 a,并求 f (x)的单调区间;
(2)证明:当 a≥
1
e
时,f (x)≥0.
(1)求导得 f '(x)=aex -
1
,令 f '(2)=0,求出 a 的值;解 f '(x)>0 或 f '(x)<0,求出 f (x)的
单调区间.
(2)当 a≥
1
e
时,f (x)≥
e
e
- ln x - 1,令 g(x)=
e
e
- ln x - 1,证明 g(x)min≥0 即可.
(1)f (x)的定义域为(0,+∞),f ' (x)=aex -
1
....................................................................... ①
由题设知,f ' (2)=0,所以 a=
1
2e2
.......................................................................................................②
从而 f (x)=
1
2e2
ex - ln x - 1,f ' (x)=
1
2e2
ex -
1
(x>0).
当 0
2 时,f ' (x)>0.......................................................................... (分类讨论)
所以 f (x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).......................................................... ③
(2)当 a≥
1
e
时,f (x)≥
e
e
- ln x - 1............................................................................................................④
设 g(x)=
e
e
- ln x - 1(x>0),.............................................................................................. (构造函数求最值)
则 g' (x)=
e
e −
1
(x>0).
当 01 时,g' (x)>0.
所以当 x=1 时,g(x)取得最小值...................................................................................................... ⑤
故当 x>0 时,g(x)≥g(1)=0.
因此,当 a≥
1
e
时,f (x)≥0.......................................................................................................................⑥
感悟升华
阅
卷
现
场
得分点
第(1)
问 采
点 得
分 说
明
①对函数求导正确得 1 分;
②由 f '(2)=0 求出 a 的值得 1 分;
③求出 f (x)的单调区间得 3 分.
5 分
第 (2) 问
采
点 得
分 说
明
④由 a≥
1
,利用放缩法得 f (x)≥
x
- ln x - 1 得 2 分;
⑤构造函数 g(x)=
x
- ln x - 1,利用导数求出 g(x)
的最小值 g(1)得 3 分;
⑥正确得出结论得 2 分.
7 分
答
题
模
板
[思维流程]——函数与导数解答题
[审题方法]——审结论
解决问题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误,因而解
决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.审
视结论,就是在结论的启发下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转
化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近
条件,从而发现和确定解题方向.
2[2019 全国卷Ⅲ,20,12 分][文]已知函数 f (x)=2x3 - ax2+2.
(1)讨论 f (x)的单调性;
(2)当 00,则当 x∈( - ∞,0)∪(
3
,+∞)时,f ' (x)>0;当 x∈(0,
3
)时,f '(x)<0.
故 f (x)在( - ∞,0),(
3
,+∞)上单调递增,在(0,
3
)上单调递减...............................................................②
若 a=0,则 f (x)在( - ∞,+∞)上单调递增...........................................................................................③
若 a<0,则当 x∈( - ∞,
3
)∪(0,+∞)时,f ' (x)>0;当 x∈(
3
,0)时,f '(x)<0.
故 f (x)在( - ∞,
3
),(0,+∞)上单调递增,在(
3
,0)上单调递减...............................................................④
(2)当 00,故 f (x)在(0,+∞)上单调递增............................ 3 分(得分点 2)
若 a<0,则当 x∈(0, -
1
2
)时,f ' (x)>0;当 x∈( -
1
2
,+∞)时,f ' (x)<0.
故 f (x)在(0, -
1
2
)上单调递增,在( -
1
2
,+∞)上单调递减.............................................5 分(得分点 3)
(2)由(1)知,当 a<0 时,f (x)在 x= -
1
2
取得最大值,最大值为 f ( -
1
2
)=ln( -
1
2
) - 1 -
1
4
.
所以 f (x)≤ -
3
4
- 2 等价于 ln( -
1
2
) - 1 -
1
4
≤ -
3
4
- 2,即 ln( -
1
2
)+
1
2
+1≤0..................8 分(得分点 4)
设 g(x)=ln x - x+1,则 g'(x)=
1
- 1.
当 x∈(0,1)时,g'(x)>0;
当 x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.
所以 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
故当 x=1 时,g(x)取得最大值,最大值为 g(1)=0........................................................ 10 分(得分点 5)
所以当 x>0 时,g(x)≤0.
从而当 a<0 时,ln( -
1
2
)+
1
2
+1≤0,即 f (x)≤ -
3
4
- 2......................................................12 分(得分点 6)
感悟升华
命题
探源
本题第(2)问的实质是证明 ln( -
1
2
)+
1
2
+1≤0,是不等式 x - 1≥ln x 的
变形,源于人教 A 版教材《选修 1 - 1》P 99【习题 3.3】B 组的题,
是在教材基本框架 ex>1+x 与 x≥1+ln x 的基础上,结合函数性质编
制的优美试题,2016 年全国Ⅲ卷 T21,2017 年全国Ⅲ卷 T21 有异
曲同工之处.
素养
探源
素养 考查途径
数学运算 导数的计算、解一元二次不等式、解分式不等式.
逻辑推理
用导函数的符号判断函数的单调性,不等式的恒成
立转化为函数问题.
思想
方法
分类讨
论思想
分类讨论解决含参数的函数的单调性.
函数与方
程思想
把不等式问题转化为函数问题.
得分
要点
①得步骤分:抓住得分点的步骤,“步步为赢”,求得满分.如第(1)
问,求导正确,分类讨论;第(2)问中利用单调性求 g(x)的最小值和
不等式性质的运用.
②得关键分:解题过程不可忽视关键点,有则给分,无则没分.如
第(1)问中,求出 f (x)的定义域, f (x)在(0,+∞)上单调性的判断;第(2)
问中, f (x)最值的判定,f (x)≤ -
3
4
- 2 等价转化为 ln( -
1
2
)+
1
2
+1≤0
等.
③得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)
问中,求导要准确,否则全盘皆输,第(2)问中,准确计算 f (x)的最大
值.
答题
模板
解答函数与导数综合问题的步骤
第一步:求函数 f (x)的导函数 f '(x).
第二步:分类讨论 f (x)的单调性.
第三步:利用单调性求 f (x)的最大值.
第四步:根据要证的不等式的结构特点,构造函数 g(x).
第五步:求 g(x)的最大值,得出要证的不等式.
第六步:反思回顾,查看关键点、易错点和解题规范.