四川省宜宾市叙州区2020届高二下学期第二次月考 数学(理)试题(含答案)

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四川省宜宾市叙州区2020届高二下学期第二次月考 数学(理)试题(含答案)

第 1 页 共 9 页 四川省宜宾市叙州区2020届高二下学期第二月考 数学(理) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 第 I 卷 选择题(60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.复数 2 3i 的虚部为 A.2 B. 3i C.3i D. 3 2.以下不等式在 0x  时不成立...的是 A. ln x x B. exx  C. ln 1 xx e  D. 1xe x  3.已知   2f x x ,则     0 limx f x x f x x     A. 2x B. 2x C. 2x D. x 4.双曲线 2 2 19 4 x y   的渐近线方程是 A. 3 2y x  B. 9 4y x  C. 2 3 y x  D. 4 9y x  5.“ 1c  ”是“直线 0x y c   与圆   2 22 1 2x y    ”相切的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若在 2 2 1x y  所围区域内随机取一点,则该点落在 1x y  所围区域内的概率是 A. 1  B. 2  C. 1 2 D. 11  7.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个 数为 第 2 页 共 9 页 A.300 B.216 C.180 D.162 8.甲.乙两人约定在上午9:00 到10: 40 之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人 20 分钟,过时即可离去.若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的,则两人能 会面的概率为 A. 1 25 B. 16 25 C. 9 25 D. 1 5 9.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右焦点为 1 2,F F ,离心率为 3 3 ,过 2F 的直线l 交C 于 ,A B 两点,若 1AF B 的周长为 4 3 ,则b 的值为 A. 4 B. 2 C. 2 D. 2 2 10.已知函数 退ᚮ诠 ɝ ᚮ ᚮ ,若过点 退cro诠 可作曲线 ɝ 退ᚮ诠 的三条切线,则实数的取值 范围是 A. 退 r c诠 B. 退 r c诠C. 退 rc诠 D. 退Ͳrc诠11.已知圆 1C :   2 21 1 1x y    ,圆 2C :   2 22 1 4x y    ,A ,B 分别是圆 1C , 2C 上的动员.若动点 M 在直线 1l : 1 0x y   上,动点 N 在直线 2l : 1 0x y   上,记 线段 MN 的中点为 P ,则 PA PB 的最小值为 A.3 B. 5 2 2 C. 14 3 D. 13 3 12.已知函数  f x 的导函数为  'f x ,且满足   3 21 23f x x ax bx    ,    ' 2 ' 4f x f x   ,若   6 ln 2f x x x  恒成立,则实数b 的取值范围为 A. 4 ln2,  B. 5 ln5,  C. 6 4ln3,  D. 6 6ln6,  第 II 卷 非选择题(90 分) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.定积分 3 1 12 dx xx      __________. 第 3 页 共 9 页 14.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,点 ,E F 分别是 1BB ,CD 的中点,则异面直线 1D F 与 DE 所成角的大小为___________. 15.函数 退ᚮ诠 ɝ ᚮ sinᚮr (- 緘 ᚮ 緘 诠 ,若 退ᚮ c 诠 退 ᚮ诠 െ Ͳ ,则实数 ᚮ 的取值范围是 ___ 16.已知点 1F , 2F 分别为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点,P 为双曲线C 左 支上的任意一点,若 2 2 1 | |PF PF 的最小值为8a ,则双曲线 C 的离心率的取值范围是(_____). 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分) 2.5PM 是衡量空气污染程度的一个指标,为了了解 A 市空气质量情况,从 2018 年每天的 2.5PM 值的数据中随机抽取 40 天的数据,其频率分布直方图如图所示.将 2.5PM 值划分成区间 0,100 、 100,150 、 150,200 、 200,250 ,分别称为一级、二级、三 级和四级,统计时用频率估计概率 . (I)根据 2018 年的数据估计该市在 2019 年中空气质量为一级的天数; (II)如果 A 市对环境进行治理,经治理后,每天 2.5PM 值 X 近似满足正态分布  115,752X N ,求经过治理后的 2.5PM 值的均值下降率. 18.(12 分)已知函数    3 21 1 1 13 2f x x ax a x     ,a 为实数. (I)当 2a  时,讨论  f x 的单调性; 第 4 页 共 9 页 (II)若  f x 在区间 1,4 上是减函数,求 a 的取值范围. 19.(12 分)三棱柱 1 1 1ABC A B C 中,侧棱与底面垂直, 90ABC   , 1 2AB BC BB   , ,M N 分别是 1,AB AC 的中点. (I)求证: MN  平面 1 1A B C ; (II)求二面角 1 1M B C A  的余弦值. 20.(12 分)设椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2e  ,椭圆C 上一点 P 到左右 两个焦点 1 2,F F 的距离之和是 4. (I)求椭圆的方程; (II)已知过 2F 的直线与椭圆C 交于 ,A B 两点,且两点与左右顶点不重合,若 1 1 1F M F A F B    ,求四边形 1AMBF 面积的最大值. 21.(12 分)已知函数   2lnf x a x x  ,其中 a R . (I)讨论  f x 的单调性; (II)当 1a  时,证明:   2 1f x x x   ; 第 5 页 共 9 页 (III)试比较 2 2 2 2 2 2 2 2 ln2 ln3 ln4 ln 2 3 4 n n     与      1 2 1 2 1 n n n     * 2n N n 且 的大小, 并证明你的结论。 (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为 1 2cos 3 2sin x y       ( 为参数),以坐标原点O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 2cos 4sin   (I)写出曲线 1C 的极坐标方程和曲线 2C 的直角坐标方程; (II)若射线  0: 0OM     平分曲线 1C ,且与曲线 2C 交于点 A ,曲线 2C 上的点 B 满 足 2AOB   ,求 AB . 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)已知函数 ( ) | 2 1|f x x  . (I)解不等式 ( ) | | 3f x x  ; (II)若对于 x , y R ,有 1| 3 1| 3x y   , 1| 2 1| 6y   ,求证: ( 6 7)f x  . 第 6 页 共 9 页 参考答案 1-5:DCBCB 6-10:BCCCC 11-12:DD 13.8 ln3 14.90 15. rͲ 16. 1,3 17.(1)由样本空气质量 2.5PM 的数据的频率分布直方图可知,其频率分布如下表: 2.5PM 值  0,50  50,100  100,150  150,200  200,250 频率 0.125 0.125 0.375 0.25 0.125 由上表可知,如果 A 市维持现状不变,那么该市下一年的某一天空气质量为一级的概率为 0.25,因此在365天中空气质量为一级的天数约有365 0.25 91  (天). (2)如果 A 市维持不变,那么该市的 2.5PM 值的均值约为   25 0.125 75 0.125+125 0.375E Y      +175 0.25 225 0.125 131.25    由于该市的环境进行治理,治理后每天 2.5PM 值 X 近似满足  115,752X N ,所以治理 后的 2.5PM 值 X 的均值为   115E X  ,因此 A 市治理后的 2.5PM 值的均值下降率为 131.25 115 12.38%131.25   18.(1)      2 1 1 1f x x ax a x x a           , 当 1 1a   即 2a  时,    21 0f x x    ,  f x 在 R 上单调递增; 当 1 1a   即 2a  时,由   0f x  得 1x  或 1x a  ,由   0f x  得1 1x a   .  f x 分别在 ,1 与 1,a   单调递增,在 1, 1a 单调递减. 综上所述,当 2a  时,  f x 在 R 上单调递增; 当 2a  时,  f x 分别在 ,1 与 1,a   单调递增,在 1, 1a 单调递减. (2)由已知得   2 1 0f x x ax a      在区间 1,4 上恒成立.   21 1a x x    在区间 1,4 上恒成立. 当 1x  时, a R . 当1 4x  时, 1a x  . 第 7 页 共 9 页 而 1y x  在  1,4x 上单调递增, 4x  时, max 5y  ,则 5a  . 综上 5a  . 19.(1)如图,以 B1 为原点建立空间直角坐标系 1B xyz 则          1 10,0,0 , 0,2,2, , 2,0,0 , 1,0,2 , 1,1,1 ,B C A M N        1 1 10,2,2 , 2,0,0 , 0, 1,1B C A B NM       . 设平面 A1B1C1 的法向量为  , ,n x y z 1 1 1 00 0 xn B C y zn A B             .令 1z  ,则  0, 1, 0, 1,1x y n      . n NM   , MN 平面 A1B1C (2)平面 MB1C 的法向量为  0 0 0, ,m x y z 0 01 0 01 20 0 x zm B C y zm B M            . 令 0 1,z  则  0 02, 1, 2, 1,1x y m      , 2 3cos , 32 6 n mm n n m         ,所求二面角 M—B1C—A1 的余弦值为 3 3 20.(1)依题意, 2 4, 2a a  , 因为 1 2e  ,所以 2 2 21, 3c b a c    ,所以椭圆C 方程为 2 2 14 3 x y  ; (2)设    1 1 2 2, , , , : 1A x y B x y AB x my  ,则由 2 2 1 14 3 x my x y     ,可得  2 23 1 4 12my y   , 即, 2 23 4 6 9 0m y my    ,    2 2 236 36 3 4 144 1 0m m m       , 又因为 1 1 1F M F A F B    ,所以四边形 1AMBF 是平行四边形, 设平面四边形 1AMBF 的面积为 S ,则 1 2 1 2 1 2 2 2 1 12 2 2 242 3 4 3 4ABF mS S F F y y m m             设 2 1t m  ,则 第 8 页 共 9 页  2 2 1 1m t t   ,所以 2 124 24 13 1 3 tS t t t      ,因为 1t  , 所以 13 4t t   , 所以  0,6S  ,所以四边形 1AMBF 面积的最大值为6. 21.(1)函数  f x 的定义域为:  0,  ,  'f x  222a a xxx x   ①当 0a  时,  ' 0f x  ,所以  f x 在 0,  上单调递增 ②当 0a  时,令  ' 0f x  ,解得 x  2 a . 当 222 时, 22 0a x  ,所以  ' 0f x  , 所以  f x 在 0, 2 a     上单调递减; 当 2 ax   时, 22 0a x  ,所以  ' 0f x  ,所以  f x 在 ,2 a      上单调递增. 综上,当 0a  时,函数  f x 在 0,  上单调递增; 当 0a  时,函数  f x 在 0, 2 a     上单调递减,在 ,2 a      上单调递增. (2)当 a 1 时,   2lnf x x x  ,要证明   2 1f x x x   , 即证 ln 1x x  ,即证: ln 1 0x x   . 设  g ln 1x x x   ,则  g' x  1 x x  ,令   0g x  得, 1x  . 当  0,1x 时,   0g x  ,当  1,x  时,   0g x  . 所以 1x  为极大值点,且  g x 在 1x  处取得最大值。 所以    1 0g x g  ,即 ln 1 0x x   。故   2 1f x x x   . (3)证明: ln 1x x  (当且仅当 1x  时等号成立),即 11lnx x x   , 则有 2 2 2 2 ln + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 11 1 1 n 13 2 3 2 3 ln lnn n n n                  1 1 1n 1 2 3 3 4 1n n            第 9 页 共 9 页      1 2 11 1 1 1 1 1 1 1n 1 n 12 3 3 4 1 2 1 2 1 n n n n n n                          , 故: 2 2 2 2 ln +      2 2 2 2 1 2 13 3 2 1 n nln lnn n n     22.解:(1)曲线 1C 的直角坐标方程是   221 3 4x y    ,即 2 22 2 3 0x x y y    化成极坐标方程为: 2cos 2 3sin    曲线 2C 的直角坐标方程是 2 4x y ; (2)曲线 1C 是圆,射线 OM 过圆心 1, 3 ,所以方程是  03    代入 2cos 4sin   ,得 8 3A  又 2AOB   ,将 5 6   ,代入 2cos 4sin   ,得 8 3B  因此 2 2 16 7 3A BAB     23.(1)由 ( ) | | 3f x x  得| 2 1| | | 3x x   , 则 1 2 2 1 3 x x x       , 或 10 2 1 2 3 x x x        , 或 0 1 2 3. x x x       , 解得 1 42 x  ,或 10 2x  ,或 2 0x   ,即 2 4x   , 所以不等式 ( ) | | 1f x x  的解集为{ | 2 4}x x   . (2)证明:由 1| 3 1| 3x y   , 1| 2 1| 6y   , 所以 2 1 7( ) | 2 1| | 2( 3 1) 3(2 1) | 2 | 3 1| 3| 2 1| 3 2 6f x x x y y x y y               .
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