高考数学复习 17-18版 第1章 第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
简单的逻辑联结词
√
全称量词与存在量词
√
1．命题p且q，p或q，非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
量词名词
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
“∀”
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
“∃”
3.全称命题与存在性命题
命题名称
命题结构
命题简记
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
存在性命题
存在M中的一个x，使p(x)成立
∃x∈M，p(x)
4.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，綈p(x)
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，綈p(x)
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )
(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．( )
(3)“长方形的对角线相等”是存在性命题．( )
(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( )
[解析] (1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．
(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．
(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．
(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(2016·徐州模拟)命题“∃x∈Q，x2－8＝0”的否定是________．
∀x∈Q，x2－8≠0 [“∃x∈Q，x2－8＝0”的否定是“∀x∈Q，x2－8≠0”．]
3．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．
2 [p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]
4．下列命题中的假命题是________．(填序号)
①∃x0∈R，lg x0＝0；②∃x0∈R，tan x0＝1；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.
③ [对于①，当x0＝1时，lg x0＝0，正确；对于②，当x0＝时，tan x0＝1，正确；对于③，当x≤0时，x3≤0，错误；对于④，∀x∈R,2x>0，正确．]
5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[－8,0] [当a＝0时，不等式显然成立．
当a≠0时，依题意知
解得－8≤a＜0.
综上可知－8≤a≤0.]
含有逻辑联结词的命题的真假判断
(2017·徐州模拟)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；
q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是________．(填序号)
①p∧q；②(綈p)∧(綈q)；③(綈p)∧q；④p∧(綈q)．
④ [由指数函数的性质可知，∀x∈R,2x>0恒成立，
故p为真命题；又x>1Dx>2，但x>2⇒x>1，
故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题．
所以p∧(綈q)为真命题．]
[规律方法] “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤：
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p，q的真假；
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
[变式训练1] 若命题p：关于x的不等式ax＋b>0的解集是，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|a
x0；
p3：∀x∈(0，＋∞)，x>x；
p4：∀x∈，xx，故p1错误；
当x∈(0,1)时，x>x，故p2正确；
当x＝时，<＝1，故p3错误；
结合y＝x及logx的图象(图略)可知
∀x∈有x0，真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x
＋1)2＋1≥1>0恒成立．
(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．这是由于当x＝－1时，x3＋1＝0.
[规律方法] 1.对全称命题、存在性命题进行否定的方法：
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．
(2)对原命题的结论进行否定．
2．判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立.
由命题的真假求参数的取值范围
设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0.q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【导学号：62172013】
[解] 由x2－4ax＋3a2<0，a>0得a0”的否定是________命题．(填“真”或“假”)
假 [∵命题“∃x∈R，x2－x>0”是真命题，故其否定是假命题．]
3．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为________．
(綈p)∨(綈q) [“至少有一位队员落地没有站稳”的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p∧q，而p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．]
4．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是________．(填序号)
①p为真； ②綈p为假；
③p∧q为假； ④p∧q为真．
③ [p是假命题，q是假命题，因此只有③正确．]
5．下列命题中为假命题的是________．
①∀x∈，x＞sin x；
②∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2；
③∀x∈R,3x＞0；
④∃x0∈R，lg x0＝0.
② [对于①，令f(x)＝x－sin x，则f′(x)＝1－cos x，当x∈时，f′(x)＞0.从而f(x)在上是增函数，则f(x)＞f(0)＝0，即x＞sin x，故①正确；对于②，由sin x＋cos x＝sin≤＜2知，不存在x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝2，故②错误；对于③，易知3x＞0，故③正确；对于④，由lg 1＝0知，④正确．]
6．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范
围是________. 【导学号：62172015】
(－∞，0)∪(4，＋∞) [因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，
所以命题綈p：∃x0∈R，ax＋ax0＋1＜0，
则a＜0或解得a＜0或a＞4.]
7．(2017·盐城中学月考)已知命题“綈p或綈q”是假命题，则下列命题：①p或q；②p且q；③綈p或q；④綈p且q.其中真命题的个数为________．
3 [∵“綈p或綈q”是假命题；∴綈p及綈q均是假命题，从而p，q均是真命题．即p或q，p且q，綈p或q均是真命题，綈p且q为假命题．]
8．(2017·南京二模)已知命题p：∀x∈[0,1]，a≥ex，命题q：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[e,4] [若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.]
9．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0
＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________.
【导学号：62172016】
(1，＋∞) [命题p为真时，a≤1；“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－
2.(綈p)∧q为真命题，即綈p为真且q为真，即a>1.]
10．已知p：存在x0∈R，mx＋2≤0；q：任意x∈R，x2－2mx＋1>0.若“p∨q”为假命题，则实数m的取值范围是________．
[1，＋∞) [若存在x0∈R，mx＋2≤0成立，则m<0，所以若p为假命题，m的取值范围是[0，＋∞)；若任意x∈R，x2－2mx＋1>0，则Δ＝4m2－4<0，即－10；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件
是綈p，则a的取值范围是________．
[1，＋∞) [由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.]
3．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．
[解] 因为∀x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]，
即f(x)min＝0.若∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则只要满足g(x)min≤0.
而函数g(x)在区间[0,2]上是单调减函数，
故g(x)min＝g(2)＝2－m≤0，即m≥.故m的取值范围为.
4．已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：∀x∈，x＋>c.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数c的取值范围．
[解] 若命题p为真，则0c，即c<2.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，
所以p、q必有一真一假．
当p为真，q为假时，无解；
当p为假，q为真时，所以1≤c<2.
综上，c的取值范围为[1,2)．
