上海教育高中数学二上向量的坐标表示及其运算之一

上海教育高中数学二上向量的坐标表示及其运算之一

‎8.1（2）向量的坐标表示及其运算（2）‎ 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是8.1向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与 “数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为下节课定比分点（三点共线）的教学提供基础.‎ 二、教学目标设计 ‎1．掌握向量模的求法，知道模的几何意义；‎ ‎2．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式；‎ ‎3．会用平行的充要条件解决点共线问题；‎ ‎4．感悟向量作为工具解题的优越性.‎ 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明；‎ 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；‎ 特殊——一般——特殊的探究问题意识.‎ 问题一引入 四、教学流程设计 向量平行的充要条件 三点共线的充要条件 问题二解决 问题三解决 课堂小结 作业反思，形成问题 创设问题情景 问题探究反思 知识拓展应用 课外探索学习 模的求法 五、教学过程设计 ‎ 创设问题情景 问题一、已知向量.‎ ‎（1）在坐标平面上，画出向量；并求= ‎ ‎（2）若向量终点Q坐标为，则向量的始点P坐标为_______；‎ ‎（3）向量的模与两点P、Q间距离关系是 .‎ 若 ，则 练习1：已知向量，求 ‎[说明] 在问题一中，先给出向量，要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形结合的解题意识，感悟向量的模即平面上两点的距离.由此发现并掌握向量模的求法及几何意义.安排（2）小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向量都可转化为位置向量.通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概念.‎ 向量平行的概念：对任意两个向量，若存在一个常数，使得成立，则两向量与向量平行，记为：.‎ 问题探究反思 问题二.在坐标平面上描出下列三点,完成下列问题：‎ ‎（1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：‎ 向量坐标 ‎(1,2)‎ ‎(2,4)‎ ‎(3,6)‎ 向量的模 ‎（2）通过画图，你得出什么结论？‎ 三点A、B、C在一条直线上 ‎（3）分析表格中向量的模，你发现了什么？ ‎ ‎（4）分析表格中向量，你还发现了什么？‎ ‎，，‎ ‎[说明] 养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线？‎ 方法一：计算三个向量的模长关系.‎ 方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数.‎ ‎（5）分析表格中向量坐标，你又发现了什么？‎ 向量坐标之间存在比例关系.‎ 思考：如果向量用坐标表示为，则是的（ ）条件.‎ A、充要 B、必要不充分 ‎ ‎ C、充分不必要 D、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若是两个非零向量，且，‎ 则的充要条件是.‎ 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨.‎ 证明：分两步证明，‎ ‎（Ⅰ）先证必要性：‎ 非零向量存在非零实数，使得，即 ‎，化简整理可得：，消去即得 ‎（Ⅱ）再证充分性：‎ ‎（1）若,则、、、全不为零，显然有，即 ‎（2）若，则、、、中至少有两个为零.‎ ‎①如果，则由是非零向量得出一定有，，‎ 又由是非零向量得出，从而，此时存在使，即 ‎②如果，则有，同理可证 综上，当时，总有 所以，命题得证.‎ ‎[说明] 本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例.‎ 练习2：‎ ‎1．已知向量，，且，则x为_________；‎ ‎2．设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ ）‎ ‎① 存在一个实数λ，使=λ或=λ； ②；③(+)//(－)‎ A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 ‎3．设为单位向量，有以下三个命题：（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述命题中，其中假命题的序号为 ；‎ ‎[说明] 安排此组练习快速巩固所学基础知识，当堂消化，及时反馈.‎ 知识拓展应用 问题三：已知向量，且A、B、C三点共线，则k=____ ‎ ‎（学生讨论与分析）‎ ‎[说明] 三点共线的证明方法总结：21世纪教育网 法一：利用向量的模的等量关系[‎ 法二：若A、B、C三点满足，则A、B、C三点共线.‎ ‎*法三：若A、B、C三点满足，当时，A、B、C三点共线.‎ 课外探索学习 课外作业：‎ ‎1．练习册P38：4、5、6、7‎ 补充作业：‎ ‎1．关于非零向量和，有下列四个命题：‎ ‎（1）“”的充要条件是“和的方向相同”；‎ ‎（2）“” 的充要条件是“和的方向相反”；‎ ‎（3）“” 的充要条件是“和有相等的模”；‎ ‎（4）“” 的充要条件是“和的方向相同”；21世纪教育网 其中真命题的个数是 （ ）‎ A． 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎2．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后该质点P的坐标为（ ）‎ A．（－2，4） B．（－30，25） C．（10，－5）D．（5，－10）]‎ ‎3．已知向量，则的最大值为 .‎ ‎4．设C、D为直线上不重合的两点，对于坐标平面上动点，若存在实数使得，则= .‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，已知点和点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则=_________.‎ ‎6．已知＝（5，4），＝（3，2），求与2－3平行的单位向量.‎ ‎ ‎