2020秋新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1

2020秋新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1

第一章 集合与常用逻辑用语 若 q , 则 p p ⇒ q q ⇒ p p ⇔ q 充分条件 必要条件 充要条件 提示 : 是 , p 与 q 互为充要条件 . 提示 : “ ⇔ ”表示“等价”的意思 . 答案 : √ 答案 : √ 答案 : √ 答案 : CD 证明 : 充分性 : 将 m =1 代入方程 x 2 -4 x +4 m =0, 得 x 2 -4 x +4=0, 解得 x =2, 为整数根 ; 将 m =1 代入方程 x 2 -4 mx +4 m 2 -4 m -5=0, 得 x 2 -4 x -5=0, 解得 x =5 或 x =-1, 为整数根 , 所以 m =1 是两个方程的根都是整数的充分条件 . 解析 : 由 A ∩ B = ⌀ , 得 解得 0≤ a ≤2 . 答案 : A 解 : 因为关于 x 的方程 ax 2 +2 x +1=0 至少有一个负根 , 所以当 a =0 时 , x =- , 满足题意 ; 当 a ≠0 时 , 设两根分别为 x 1 , x 2 , 则 或 解得 a <0 或 0< a ≤1 . 综上 , 关于 x 的方程 ax 2 +2 x +1=0 至少有一个负根的充要条件为 a ≤1 . 解 : 关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 有一正根和一负根的等价条件为 即 ac <0 . 所以关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 有一正根和一负根的充要条件是 ac <0 . 解 : 因为关于 x 的方程 3 x 2 +10 x + k =0 有两个不相等的负实数根 , 且 x 1 + x 2 =- <0, 所以只需 即 解得 0< k < , 所以方程 3 x 2 +10 x + k =0 有两个不相等的负实数根的充要条件是 0< k < . 解析 : 函数的图象与 y 轴交于负半轴 , 则 c <0 . c <0 解析 : 当 m =0 时 , 方程为 - x +2=0, 解得 x =2; 当 m ≠0 时 , 方程为一元二次方程 , 设 x 1 , x 2 是方程的根 , 则 x 1 + x 2 = , 由 x 1 + x 2 =2, 得 =2, 解得 m =- 或 1 . 当 m =- 或 1 时 , Δ =( m +1) 2 -8 m 2 <0, 即当 m =- 或 1 时 , 方程无实数根 . 故当 m =0 时符合题意 . m =0