2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第五节　指数与指数函数

2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第五节　指数与指数函数

www.ks5u.com 第五节　指数与指数函数 最新考纲 考情分析 ‎1.了解指数函数模型的实际背景．‎ ‎2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．‎ ‎3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．‎ ‎4．知道指数函数是一类重要的函数模型.‎ ‎1.直接考查指数函数的图象及其性质或以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用或以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题．‎ ‎2．题型主要是选择题、填空题，难度中等.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 知识点一　　　　　　有理数指数幂 ‎1．幂的有关概念 ‎ ‎ ‎(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．‎ ‎2．有理数指数幂的性质 ‎(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；‎ ‎(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；‎ ‎(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．‎ 知识点二　　　　　　指数函数的图象与性质 ‎　　(1)指数函数的图象与底数大小的比较 在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．‎ ‎(2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与00，且a≠1)，则m0且a≠1.‎ ‎(4)当a>1时，由amn.‎ ‎2．小题热身 ‎(1)化简(x<0，y<0)得(　D　)‎ A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y ‎(2)已知，则a，b，c的大小关系是(　D　)‎ A．a0，且a≠1)的图象经过点A，则f(－1)＝.‎ 解析：依题意可知a2＝，解得a＝，‎ 所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.‎ ‎(5)函数y＝的定义域是(0，＋∞)．‎ 解析：要使该函数有意义，则 解得x>0，所以定义域为(0，＋∞).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考点一　指数幂的运算 则x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝7，‎ 故原式＝＝－.‎ ‎【答案】　(1)π＋8　(2)－ 方法技巧 指数幂运算的一般原则：‎ (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算.‎ (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.‎ (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.‎ (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.‎ ‎1．计算： (　D　)‎ A．3 B．2‎ C．2＋x D．1＋2x 解析：原式＝＝1＋2x.‎ ‎2．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，则＝.‎ 解析：由已知得，a＋b＝6，ab＝4，‎ 所以2＝＝＝.‎ 因为a>b>0，所以>，所以＝.‎ 考点二　指数函数的图象及应用 命题方向1　　　　　　图象的识别 ‎【例2】　(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)‎ ‎【解析】　解法1：若01，则y＝是减函数，而y＝loga(x＋)是增函数且其图象过点(，0)，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.‎ 解法2：分别取a＝和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.‎ ‎【答案】　D 命题方向2　　　　　　图象的应用 ‎【例3】　函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．‎ ‎【解析】　f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，‎ 等价于 有两个交点(如图)，可知00，a≠1)的图象可能是(　D　)‎ 解析：当a>1时函数单调递增，且函数图象过点，因为0<1－<1，故A，B均不正确；当00，a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的取值范围是(0，＋∞)．‎ 解析：根据图象得a>1，f＝0，b<0，所以＋b＝0，所以a＋b＝a－>1－＝0.‎ 考点三　指数函数的性质及应用 命题方向1　　　　　　比较大小与解不等式 ‎【例4】　(1)下列各式比较大小正确的是(　　)‎ A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62‎ C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1‎ ‎(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【解析】　(1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；‎ B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，‎ ‎∴0.6－1>0.62，正确；C中，∵(0.8)－1＝1.25，‎ ‎∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．‎ ‎∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，‎ ‎∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；‎ D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误．‎ ‎(2)当a<0时，原不等式化为a－7<1，‎ 则2－a<8，解之得a>－3，所以－30，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．‎ ‎【解析】　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当01且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝0.1的大小关系是(　D　)‎ A．M＝N B．M≤N C．MN 解析：因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1，且a≠2)在(0，＋∞)上具有不同的单调性．所以a>2.因此M＝(a－1)0.2>1，M＝0.1<1.故M>N.‎ ‎2．(方向2)函数f(x)＝的单调递增区间为[4，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]．‎ 解析：依题意知x2－5x＋4≥0，解得x≥4或x≤1，令u＝＝，x∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，所以当x∈(－∞，1]时，u是减函数，当x∈[4，＋∞)时，u是增函数．而3>1，所以由复合函数的单调性可知，f(x)＝在区间(－∞，1]上是减函数，在区间[4，＋∞)上是增函数．‎ ‎3．(方向3)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为.‎ 解析：把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得 结合a>0，且a≠1，解得所以f(x)＝3·2x.要使x＋x≥m在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝x＋x在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可．因为函数y＝x＋x在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值.所以只需m≤即可．所以m的最大值为.‎