2020年高中数学新教材同步必修第一册 第3章 3．1.1 函数的概念

2020年高中数学新教材同步必修第一册 第3章 3．1.1 函数的概念

3．1 函数的概念及其表示 3．1.1 函数的概念 学习目标 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一 些简单函数的定义域、函数值． 知识点一 函数的有关概念 函数的定义 设 A，B是非空的实数集，如果对于集合 A中任意一个数 x，按照某种确 定的对应关系 f，在集合 B中都有唯一确定的数 y和它对应，那么就称 f： A→B为从集合 A到集合 B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域 知识点二 同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对 应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 思考 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 答案 不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数． 知识点三 区间 1．区间概念(a，b为实数，且 aa} {x|x≤a} {x|x0，即 x>－2， 所以 x>－2且 x≠－1. 所以函数 y＝ x＋10 x＋2 的定义域为{x|x>－2且 x≠－1 }. (3)由 4－x2≥0， x≠0 解得－2≤x<0或 00时，求 f(a)，f(a－1)的值． 解 (1)使根式 x＋3有意义的实数 x的集合是{x|x≥－3}，使分式 1 x＋2 有意义的实数 x的集合 是{x|x≠－2}， 所以这个函数的定义域是 {x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且 x≠－2}． (2)f(－3)＝ －3＋3＋ 1 －3＋2 ＝－1； f 2 3 ＝ 2 3 ＋3＋ 1 2 3 ＋2 ＝ 11 3 ＋ 3 8 ＝ 3 8 ＋ 33 3 . (3)因为 a>0，故 f(a)，f(a－1)有意义． f(a)＝ a＋3＋ 1 a＋2 ； f(a－1)＝ a－1＋3＋ 1 a－1＋2 ＝ a＋2＋ 1 a＋1 . 10．求函数 y＝ －x2＋4x＋5 6－2x－1 的定义域，并用区间表示． 解 要使函数有意义，需满足 －x2＋4x＋5≥0， 6－2x≥0， 6－2x－1≠0， 即 －1≤x≤5， x≤3， x≠5 2 . 所以－1≤x≤3且 x≠5 2 ， 所以函数的定义域为 x|－1≤x≤3且 x≠5 2 ， 用区间表示为 －1，5 2 ∪ 5 2 ，3 . 11．若函数 f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且 f(f(－1))＝－1，那么 a的值是( ) A．1 B．0 C．－1 D．2 答案 A 解析 ∵f(x)＝ax2－1， ∴f(－1)＝a－1， f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1. ∴a(a－1)2＝0. 又∵a为正数，∴a＝1. 12．若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝f(2x)的定义域是( ) A．[0,2] B．[0,1] C．[0,4] D．(0,1) 答案 B 解析 ∵y＝f(x)的定义域是[0,2]， ∴要使 g(x)＝f(2x)有意义， 需 0≤2x≤2，即 0≤x≤1. 13．已知 f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则 f(1)＝________. 答案 3 解析 f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3. 14．若对任意实数 x恒有 2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则 f(1)＝________，f(－1)＝________. 答案 2 0 解析 对∀x∈R，有 2f(x)－f(－x)＝3x＋1， 令 x＝1，则 2f(1)－f(－1)＝4，① 令 x＝－1，则 2f(－1)－f(1)＝－2.② 由①②解得 f(1)＝2，f(－1)＝0. 15．已知 f(x)＝1－x 1＋x (x∈R 且 x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)，则 f(g(x))＝________. 答案 2－x2 x2 (x≠0) 解析 f(g(x))＝1－gx 1＋gx ＝ 1－x2－1 1＋x2－1 ＝ 2－x2 x2 (x≠0)． 16．已知函数 f(x)＝ x2 1＋x2 . (1)求 f(2)与 f 1 2 ，f(3)与 f 1 3 ； (2)由(1)中求得的结果，你能发现 f(x)与 f 1 x 有什么关系？证明你的发现； (3)求 f(2)＋f 1 2 ＋f(3)＋f 1 3 ＋…＋f(2 019)＋f 1 2 019 的值． 解 (1)由 f(x)＝ x2 1＋x2 ＝1－ 1 x2＋1 ， 所以 f(2)＝1－ 1 22＋1 ＝ 4 5 ，f 1 2 ＝1－ 1 1 4 ＋1 ＝ 1 5 . f(3)＝1－ 1 32＋1 ＝ 9 10 ，f 1 3 ＝1－ 1 1 9 ＋1 ＝ 1 10 . (2)由(1)中求得的结果发现 f(x)＋f 1 x ＝1. 证明如下：f(x)＋f 1 x ＝ x2 1＋x2 ＋ 1 x2 1＋1 x2 ＝ x2 1＋x2 ＋ 1 x2＋1 ＝1. (3)由(2)知 f(x)＋f 1 x ＝1， ∴f(2)＋f 1 2 ＝1，f(3)＋f 1 3 ＝1， f(4)＋f 1 4 ＝1，…，f(2 019)＋f 1 2 019 ＝1. ∴f(2)＋f 1 2 ＋f(3)＋f 1 3 ＋…＋f(2 019)＋f 1 2 019 ＝2 018.