高中数学必修2教案：3_1_2两条直线平行与垂直的判定

高中数学必修2教案：3_1_2两条直线平行与垂直的判定

‎3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 ‎（一）教学目标 ‎1．知识与技能 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.‎ ‎2．过程与方法 通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.‎ ‎3．情感、态度与价值观 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.‎ ‎（二）教学重点、难点 重点：两条直线平行和垂直的条件.‎ 难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.‎ ‎（三）教学方法 尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.‎ 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 上一节课，我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公式.现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.‎ 由学生回忆上节课内容，再由老师引入新课.‎ 设置情境引入新课 概念形成 ‎1．特殊情况下，两条直线平行与垂直.‎ 两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0° ，两直线互相垂直.‎ 由学生讨论得出答案 概念深化 ‎2．两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.‎ 设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2‎ 借助计算机，让学生通过度量，感知的关系.‎ ‎ ‎ ‎.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？‎ 首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（图），那么它们的倾斜角相等；a1 = a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1，a2的关系）‎ ‎∴tga1 = tga2.‎ 即k1 = k2.‎ 反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1 = k2，那么tga1 = tga2.‎ 由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，‎ ‎∴a1 = a2‎ 又∵两条直线不重合，‎ ‎∴l1∥l2.‎ 结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2k1 = k2.‎ 注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1 = k2那么一定有l1∥l2；反之则不一定.‎ ‎ 通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想.‎ 下面我们研究两条直线垂直的情形.‎ 如果l1⊥l2，这时，否则两直线平行.‎ 设（图）甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有 ‎.‎ 借助计算机，让学生通过度量，感知k1，k2的关系，并使l1(或l2)转动起来，但仍保持l1⊥l2，观察k1，k2的关系，得到猜想，再加以验证，可使为锐角，钝角等.‎ ‎ 通过计算机的演示，培养学生的观察、猜想，归纳的数学思想方法.‎ 因为l1、l2的斜率分别是k1、k2，即，所以.‎ ‎∴.‎ 即或k1k2 = –1，‎ 反过来，如果即k1·k2 = –1不失一般性，设k1＜0.‎ k2＞0，‎ 那么.‎ 可以推出a1 = 90°+.‎ l1⊥l2.‎ 结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 注意：结论成立的条件，即如果k1·k2 = –1，那么一定有l1⊥l2；反之则不一定.‎ 应用举例 例1 已知A (2,3)，B (–4,0)，P（– 3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.‎ 借助计算机作图，使学生通过观察猜想：BA∥PQ，再通过计算机加以验证.（图略）‎ 例1 解：直线BA的斜率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5，‎ 直线PQ的斜率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5，‎ 因为k1 = k2 = 0.5，所以直线BA∥PQ.‎ ‎ 通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件.‎ 借助计算机作图，使学生通过观察猜想：四边形ABCD是平行四边形，再通过计算加以验证.‎ 例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B (2, –1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.‎ 例3 已知A(–6,0)，B (3,6)，P (0,3)，Q (–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.‎ 例4 已知A(5, –1)，B (1,1)，C (2,3)，试判断三角形ABC的形状.‎ 分析：借助计算机作图，通过观察猜想：三角形ABC是直角三角形，其中AB⊥BC，再通过计算加以验证.（图略）‎ 课堂练习 P94 练习1、2.‎ 例2 解：直线BA的斜率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5，‎ 直线PQ的斜率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5，‎ 因为k1 = k2 = 0.5，所以直线BA∥PQ.‎ 例3 解：直线AB的斜率k1 = (6 – 0)/ (3 – (–6)) = 2/3，‎ 直线PQ的斜率k2 = (6 – 3) (–2 – 0) = 3/2，‎ 因为k1·k2 = –1，所以AB⊥PQ.‎ 归纳总结 ‎（1）两条直线平行或垂直的真实等价条件；‎ ‎（2）应用条件，判定两条直线平行或垂直.‎ ‎（3）应用直线平行的条件，判定三点共线. ‎ 由学生归纳，教师再补充完善.‎ 培养学生的概括能力 课后作业 见习案3.1的第二课时 由学生独立完成 巩固深化新学知识 备选例题 例1 试确定M的值，使过点A(m + 1，0)，B(–5，m)的直线与过点C(–4，3)，D(0，5)的直线平行.‎ ‎【解析】由题意得：‎ 由于AB∥CD，即kAB = kCD，‎ 所以，所以m = –2.‎ 例2 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D的坐标.‎ ‎【解析】设第四个顶点D的坐标为(x，y)‎ 因为AD⊥CD，AD∥BC 所以kAD·kCD = –1，且kAD = kBC ‎， ‎ 所以第四个顶点D的坐标为(2，3).‎ 例3 已知定点A(–1，3)，B(4，2)，以A、B为直径的端点，作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标.‎ ‎【解析】以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.‎ 则AC⊥BC，设C (x，0)‎ 则 所以 所以x = 1或2，所以C (1，0)或(2，0)‎