吉林省长春市2020届高三质量监测（二）数学（理）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 长春市普通高中2020届高三质量监测（二）‎ 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，由此求得.‎ ‎【详解】由解得，所以，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.若（），，则（ ）‎ A. 0或2 B. 0 C. 1或2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于（），，所以，解得或.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.‎ ‎3.下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】函数的定义域为，在上为减函数.‎ A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.‎ B选项，的定义域为，不符合.‎ C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.‎ D选项，的定义域为，不符合.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.‎ ‎4.已知等差数列中，若，则此数列中一定为0的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项.‎ ‎【详解】由于等差数列中，所以，化简得，所以为.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.‎ ‎5.若单位向量，夹角为，，且，则实数（ ）‎ A. －1 B. 2 C. 0或－1 D. 2或－1‎ - 22 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.‎ ‎【详解】由于，所以，即，，即，解得或.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.‎ ‎6.《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）‎ A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.‎ ‎【详解】对于A选项，甲的数据分析分，乙的数据分析分，甲低于乙，故A选项错误.‎ 对于B选项，甲的建模素养分，乙的建模素养分，甲低于乙，故B选项错误.‎ - 22 -‎ 对于C选项，乙六大素养中，逻辑推理分，不是最差，故C选项错误.‎ 对于D选项，甲的总得分分，乙的总得分分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.‎ ‎7.命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.‎ ‎【详解】对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题. 、、都是假命题.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.‎ ‎8.在中，，，，则边上的高为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得 - 22 -‎ 边上的高.‎ ‎【详解】过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.‎ ‎9.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（ ）‎ A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 36种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.‎ ‎【详解】如果甲单独到县，则方法数有种.‎ - 22 -‎ 如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.‎ 故总的方法数有种.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查简答排列组合计算，属于基础题.‎ ‎10.在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.‎ ‎【详解】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，.‎ ‎①，，所以，故①正确.‎ ‎②，，不存在实数使，故不成立，故②错误.‎ ‎③，，，故平面不成立，故③错误.‎ ‎④，，设和成角为，则，由于，所以，故④正确.‎ 综上所述，正确的命题有个.‎ - 22 -‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎11.已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.‎ - 22 -‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12.已知，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，通过分析的单调性和对称性，求得不等式的解集.‎ ‎【详解】构造函数，‎ 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，‎ 的定义域为，且，‎ 所以为奇函数，图像关于原点对称，所以图像关于对称. ‎ 不等式等价于，‎ 等价于，注意到，‎ 结合图像关于对称和单调递增可知.‎ 所以不等式的解集是.‎ - 22 -‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.‎ 二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】作出可行域如图所示：‎ 由，解得.‎ 目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.‎ ‎14.若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出的值．‎ ‎【详解】解：若，则，‎ 即，所以．‎ - 22 -‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．‎ ‎15.已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数的值域，结合区间上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于，所以，‎ 由于区间上的值小于0恒成立，‎ 所以（）.‎ 所以，‎ 由于，所以，‎ 由于，所以令得.‎ 所以的取值范围是.‎ 故答案为：‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎16.三棱锥的顶点都在同一个球面上，满足过球心，且，则三棱锥体积的最大值为________；三棱锥体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于是球的直径，故当时，三棱锥体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥体积最大时，等边三角形的外接圆半径，由此求得等边三角形的外接圆的面积，也即求得平面截球所得的截面圆的面积.‎ ‎【详解】依题意可知，是球的直径，所以当，即时，三棱锥体积取得最大值为.此时，即三角形是等边三角形，设其外接圆半径为，由正弦定理得，所以等边三角形的外接圆的面积，也即平面截球所得的截面圆的面积为.‎ 故答案为：(1). (2). ‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？‎ 擅长 不擅长 合计 男性 ‎30‎ 女性 ‎50‎ 合计 ‎100‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7879‎ ‎10.828‎ ‎（，其中）‎ ‎【答案】（1）‎ - 22 -‎ ‎（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.‎ ‎（2）根据表格数据填写列联表，计算出的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.‎ ‎【详解】（1）由题意，解得.‎ ‎（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.‎ 完善列联表如下：‎ 擅长 不擅长 合计 男性 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 女性 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎，‎ 对照表格可知，，‎ 不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.‎ ‎18.如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.‎ - 22 -‎ ‎（1）求线段的长；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证得，设与交于点，在中解直角三角形求得，由此求得的值.‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）由题意，，‎ 设与交于点，在中，可求得，则，‎ 可求得，则 ‎（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，‎ 建立空间直角坐标系.‎ ‎，，，‎ ‎，，易得平面的法向量为.‎ ‎，，易得平面的法向量为.‎ 设二面角为，由图可知为锐角，所以 ‎.‎ - 22 -‎ 即二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19.已知数列满足，，，且.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目所给递推关系式得到，由此证得数列为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列的通项公式.‎ ‎（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和 ‎【详解】（1）已知，‎ 则，‎ 且，则为以3为首相，3为公比的等比数列，‎ 所以，‎ - 22 -‎ ‎（2）由（1）得：，‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎①－②可得，‎ 则 即.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆：（）的左、右顶点分别为、，焦距为2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）是定值，且定值为2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出点坐标并代入椭圆方程，根据列方程，求得的值，结合求得的值，进而求得椭圆的方程.‎ ‎（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得点的横坐标，联立直线的方程和椭圆方程，求得，由此化简求得为定值.‎ - 22 -‎ ‎【详解】（1）已知点在椭圆：（）上，‎ 可设，即，‎ 又，‎ 且，可得椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为：，则直线的方程为.‎ 联立直线与椭圆的方程可得：，‎ 由，可得，‎ 联立直线与椭圆的方程可得：，即，‎ 即.‎ 即为定值，且定值为2.‎ ‎【点睛】本小题主要考查本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的定值问题的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若对任意的，当时，都有恒成立，求最大的整数.‎ ‎（参考数据：）‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程.‎ - 22 -‎ ‎（2）对分成，两种情况进行分类讨论.当时 ，将不等式转化为，构造函数，利用导数求得的最小值（设为）的取值范围，由的得在上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）已知函数，则处即为，‎ 又，，‎ 可知函数过点的切线为，即.‎ ‎（2）注意到，‎ 不等式中，‎ 当时，显然成立；‎ 当时，不等式可化为 令，则，‎ ‎，‎ 所以存在，‎ 使.‎ 由于在上递增，在上递减，所以是的唯一零点.‎ - 22 -‎ 且在区间上，递减，在区间上，递增，‎ 即的最小值为，令，‎ 则，将的最小值设为，则，‎ 因此原式需满足，即在上恒成立，‎ 又，可知判别式即可，即，且 可以取到的最大整数为2.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.‎ ‎22.已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求和的普通方程；‎ ‎（2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去曲线参数方程中的参数，求得和的普通方程.‎ - 22 -‎ ‎（2）设出过原点的直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，求得的表达式，结合三角函数值域的求法，求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）曲线的普通方程为：；‎ 曲线的普通方程为：.‎ ‎（2）设过原点的直线的极坐标方程为；‎ 由得，所以曲线的极坐标方程为 在曲线中，.‎ 由得曲线的极坐标方程为，所以 而到直线与曲线的交点的距离为，‎ 因此，‎ 即的最小值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若，解关于的不等式；‎ ‎（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.‎ ‎（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.‎ - 22 -‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 由此可知，的解集为 ‎（2）当时，‎ 的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.‎ 当时，，且，不恒成立，不符合题意.‎ 当时，，‎ 若，则，故不恒成立，不符合题意；‎ 若，则，故不恒成立，不符合题意.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎