2019-2020学年吉林省长春市榆树一中高一上学期尖子生第二次考试数学(文)试题(解析版)

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2019-2020学年吉林省长春市榆树一中高一上学期尖子生第二次考试数学(文)试题(解析版)

‎2019-2020学年吉林省长春市榆树一中高一上学期尖子生第二次考试数学(文)试题 一、单选题 ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】解出集合,再由并集的定义写出即可。‎ ‎【详解】‎ 由,‎ 则.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的并集,正确求解一元二次不等式,是首要条件。属于基础题 ‎2.已知函数,则的值域是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:求出函数的定义域,然后求解对应的函数值即可.函数,所以;对应的函数值分别为:;所以函数的值域为:故答案为B.‎ ‎【考点】函数值域 ‎3.若向量=(1,2),=(3,4),则=‎ A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-2) D.(2,2)‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ ‎4.已知,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】分子分母同时除以,利用同角三角函数的商关系化简求值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,于是有 ‎,故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数的商关系,考查了数学运算能力.‎ ‎5.若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的一个对称中心可以为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过平移得到,即可求得函数的对称中心的坐标,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 向左平移个单位长度后得到的图像,则其对称中心为,或将选项进行逐个验证,选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的图象与性质的应用,其中解答中根据三角函数的图象变换,以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.‎ ‎6.设,向量,若,则等于( )‎ A. B. C.-4 D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为,且,‎ 所以,‎ 化为,解得,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 利用向量的位置关系求参数是命题的热点,主要命题方式有两个:(1)两向量平行,利用解答;(2)两向量垂直,利用解答.‎ ‎7.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位,得到的图象对应的解析式是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 将函数y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin(x-),再向左平移个单位得到的解析式为y=sin((x+)-)= y=sin(x-),故选C ‎8.函数的单调递增区间是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由>0得:x∈(−∞,−2)∪(4,+∞),‎ 令t=,则y=lnt,‎ ‎∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数;‎ x∈(4,+∞)时,t=为增函数;‎ y=lnt为增函数,‎ 故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞),‎ 故选:D.‎ 点睛:形如的函数为,的复合函数,为内层函数,为外层函数.‎ 当内层函数单增,外层函数单增时,函数也单增;‎ 当内层函数单增,外层函数单减时,函数也单减;‎ 当内层函数单减,外层函数单增时,函数也单减;‎ 当内层函数单减,外层函数单减时,函数也单增.‎ 简称为“同增异减”.‎ ‎9.函数y=sin2x的图象可能是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在上的符号,即可判断选择.‎ 详解:令, ‎ 因为,所以为奇函数,排除选项A,B;‎ 因为时,,所以排除选项C,选D.‎ 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.‎ ‎10.如果角满足,那么的值是( )‎ A.-1 B.-2 C.1 D.2 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析:,,.‎ ‎.故D正确.‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系式.‎ ‎11.对于幂函数f(x)=,若0<x1<x2,则,的大小关系是( )‎ A.> B.<‎ C.= D.无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】本题考查幂函数图象及性质。该函数在第一象限单调递减,又是偶函数,可画出其大致图象。利用数形结合易得答案为 A.‎ ‎12.已知偶函数 在区间上单调递增,则满足的取值范围是( )‎ A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(﹣1,1)‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据偶函数的性质和函数的单调性可直接判断,‎ ‎【详解】‎ 首先函数定义域是R,再者根据和偶函数 在区间上单调递增,可得,解得,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题,考查偶函数的性质.‎ 二、填空题 ‎13.方程有四个互不相等的实数根,则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原问题等价于与函数与函数有四个不同的交点,‎ 绘制函数的图象如图所示:‎ 观察可得,实数的取值范围为.‎ 点睛:函数零点的求解与判断:‎ ‎(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.‎ ‎(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.‎ ‎(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.‎ ‎14.平面内有三个点,,,若,则x的值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】利用平面向量共线的坐标表示直接计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意得,,因为,∴,解得.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查已知平面向量共线求参数的值的问题,属基础题.‎ ‎15.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是____ __.‎ ‎【答案】y=sin ‎【解析】∵向右平移个单位,∴用x-代替y=sinx中的x;‎ ‎∵各点横坐标伸长到原来的2倍,∴用x代替y=sin中的x,∴y=sin ‎16.若不等式恒成立,则实数m的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由不等式恒成立,结合二次函数的性质,可得,即可求解m的范围,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,不等式恒成立,‎ 可得,即,解得,‎ ‎∴m的取值范围为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题,其中解答中熟练应用一元二次函数的性质,列出不等式是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17.已知向量,,. ‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求满足的实数m,n;‎ ‎(3)若,求实数k.‎ ‎【答案】(1) (2) (3)‎ ‎【解析】(1)由已知向量的坐标即可求出的坐标;‎ ‎ (2)把的坐标求出,再利用向量相等,即可求出实数,.‎ ‎ (3)分别写出与的坐标,再利用向量平行的条件即可求得实数k.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴ 解得 ‎(3)∵.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是向量的坐标运算,以及向量相等、向量平行的应用,是基础题.‎ ‎18.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).‎ ‎(1)求证:⊥;‎ ‎(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明:可得,,,‎ ‎∴; (5分)‎ ‎(2); (10分)‎ 该矩形对角线所夹的锐角的余弦值. (14分)‎ ‎【解析】试题分析:(1)因为已知A(2,1),B(3,2),D(-1,4),可结合问题,联系向量的坐标及垂直的性质,进行证明。‎ ‎(2)由题先设出C(x, y),再借助=‎ ‎,建立方程可得C点坐标.由点的坐标,分别表示出所需的向量:=(-2,4),=(-4,2)借助向量的乘法定义,可求出COSθ.‎ 试题解析:(1)、‎ ‎, ⊥‎ ‎(2)、设C(x,y),="(x+1,y-4)" ,由=,得x="0,y=5"C(0,5)‎ 设矩形ABCD两对角线AC,BD所夹锐角为θ ‎=(-2,4),=(-4,2)=2 =2‎ COSθ==‎ ‎【考点】1.向量坐标及垂直的性质;2.向量相等及方程思想和向量的乘法;‎ ‎19.函数的部分图象如图所示.‎ ‎(1)写出的最小正周期及图中、的值;‎ ‎(2)求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1),,;(2)最大值0,最小值.‎ ‎【解析】【详解】试题分析:(1)由图可得出该三角函数的周期,从而求出;(2)把看作一个整体,从而求出最大值与最小值.‎ ‎(1)由题意知:的最小正周期为,令y=3,则,解得,所以,.‎ ‎(2)因为,所以,于是 当,即时,取得最大值0;‎ 当,即时,取得最小值.‎ ‎【考点】本小题主要考查三角函数的图象与性质,求三角函数的最值等基础知识,考查同学们数形结合、转化与化归的数学思想,考查同学们分析问题与解决问题的能力.‎ ‎20.设为奇函数,为常数.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)判断函数在上的单调性,并说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)f(x)在x∈(1,+∞)上是增函数.‎ ‎【解析】试题分析:(1)由于已知函数是奇函数,根据奇函数的定义可得,结合对数的运算性质解方程可得的值;(2)由(1)得函数的解析式,设且,根据对数的性质,判断与的关系,进而根据单调性的定义,可得答案.‎ 试题解析:(1)∵为奇函数,∴对定义域内的任意都成立,∴,∴,解得或(舍去)‎ ‎(2)由(1)知:∵,设,‎ 设,则,‎ ‎∴,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴在上是增函数 ‎21.已知函数.‎ ‎(1)化简;‎ ‎(2)若,且,求的值;‎ ‎(3)若,求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(1)利用诱导公式可化简;‎ ‎(2)代入已知,从而得,结合平方关系可求得值;‎ ‎(3)同样由诱导公式化已知为,代入平方关系可求得,也即得的值.‎ 试题解析:‎ ‎(1).‎ ‎(2) ,因为,所以,可得,结合,,所以.‎ ‎(3)由(2)得即为,联立,解得,所以.‎ 点睛:诱导公式:公式一:,公式二:,公式三:,公式四:,公式五:,公式六:,这六公式可统一写成:,,可归纳为:奇变偶不变,符号看象限.‎ ‎22.已知二次函数满足,且,.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)是否存在实数,使得在上的图象恒在曲线的上方?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】(1)利用待定系数法,设,根据题意列出相应的方程,即可求解;‎ ‎(2)设,函数的图象恒在曲线的上方等价于恒成立,分离参数恒成立,利用二次函数的性质,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设,‎ 因为二次函数满足,所以的图象关于直线对称,‎ 即①‎ 因为,,所以 ②‎ ‎,③‎ 联立①②③,解得,,.‎ 故.‎ ‎(2)设,‎ 的图象恒在曲线的上方等价于恒成立,‎ 即恒成立,‎ 因为在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以在上单调递减,‎ 则.‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了待定系数法求解函数的解析式,以及二次函数的图象与性质的应用,其中解答根据题意转化为恒成立,利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了转化思想,以及运算与求解能力,属于基础题.‎
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