吉林省长春市2020届高三质量监测（四模）数学（文）试题

吉林省长春市2020届高三质量监测（四模）数学（文）试题

长春市 2020 届高三质量监测文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.‎ ‎ 1. 已知集合， ，则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 若，则 ‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎3. 下列与函数定义域和单调性都相同的函数是 A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知等差数列中，若，则此数列中一定为的是 A. B. C. D. ‎ ‎5. 若单位向量夹角为，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是 A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 ‎ C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 ‎7. 命题存在实数，对任意实数，使得恒成立；，为奇函数，则下列命题是真命题的是 A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知函数，则函数的零点个数是 A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知为锐角，且，则角 A. B. C. D. ‎ ‎10. 若双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知数列的前项和为，且，，则 A. B. C. D. ‎ ‎12. 在正方体中，点分别为棱的中点，给出下列命题：‎ ①；②；③平面；④ 和成角为. 正确命题的个数是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 若满足约束条件，则的最大值为___________. ‎ ‎14.曲线在处的切线与直线垂直，则_________.‎ ‎15. 在半径为2的圆上有两点，且，在该圆上任取一点，则使得△为锐角三角形的概率为______. ‎ ‎16. 三棱锥的顶点都在同一个球面上，满足过球心，且，则三棱锥体积的最大值为=__________；三棱锥体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为 __________.（本题第一空2分，第二空3分）‎ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. ‎ ‎（一）必考题：共 60 分. ‎ ‎17. （本小题满分 12 分）‎ 已知在△的三个内角分别为，，.‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求长.‎ ‎18.（本小题满分 12 分） ‎ ‎ 2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？‎ ‎（）‎ ‎19. （本小题满分 12 分） ‎ 如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，分别为的中点，为棱上一点，若. ‎ ‎（Ⅰ）求证：； ‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离.‎ ‎21.（本小题满分 12 分） ‎ 已知椭圆的左、右顶点分别为，焦距为2，点为椭圆上异于的点，且直线和的斜率之积为.‎ ‎（Ⅰ）求的方程； ‎ ‎（Ⅱ）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试证明为定值，并求出该定值.‎ ‎21.（本小题满分 12 分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若为的极值点，且，求的值； ‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，有唯一的零点.‎ ‎（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. ‎ ‎22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. ‎ ‎（Ⅰ）求和的普通方程； ‎ ‎（Ⅱ）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.‎ ‎23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 ‎ 已知函数 . ‎ ‎（Ⅰ）若，解关于的不等式 ； ‎ ‎（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ 长春市2020届高三质量监测（二）‎ 数学（文科）试题参考答案及评分参考 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.【答案】A【解析】所以选A ‎2.【答案】A【解析】故选A ‎3．【答案】C【解析】的定义域为，单调递减；大豆油不符；定义域不符；符合；定义域为，定义域不符.故选C.‎ ‎4.【答案】A【解析】由得故选A ‎5.【答案】C【解析】由得,故选C ‎6.【答案】D【解析】甲的数据分析素养低于乙; 甲的数学建模素养与数学抽象素养相当；乙的六大素养中逻辑推理是最优之一；乙的六大素养整体平均水平优于甲。‎ ‎7.【答案】A【解析】命题正确，存在使等式成立，如；命题正确。所以选A ‎8.【答案】B【解析】如图，向下平移3个单位，只在y轴右侧由2个交点，故选B ‎9.【答案】C【解析】由条件得，代入选项数值得C对.‎ ‎10. 【答案】D【解析】圆心为（0,2），圆心到渐近线距离为，所以渐近线与y轴夹角为60°，渐近线倾斜角没问30°，所以所以离心率,故选D.‎ ‎11.【答案】B【解析】法一：排除法：，验证知B对.‎ 法二： 由得所以所以 ‎12. 【答案】C【解析】①对；②，取的中点P，则错；③与不垂直，错；④ 和成角为，对。故选C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）‎ ‎13.【答案】4【解析】作图知可行域为三角形内部及边界，代入顶点坐标（2,2）得最大值为4.‎ ‎14.【答案】【解析】在处的切线斜率为1，所以 ‎15.【答案】【解析】由,当点位于劣弧之间时，△ABP为锐角三角形，所以其概率为.‎ ‎16.【答案】，【解析】设BDC所在球大圆，则CO⊥BD时，此三角形面积最大，AP⊥面BCD时高最大，所以三棱锥体积最大为，正三角形ABC的边长为2，它的外接圆半径为，所以截面圆面积为.‎ 三、 解答题 ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】 本题考查三角恒等变换，应用正余弦定理解决问题. ‎ ‎【解析】（1）中，，，解得,.(6分)‎ ‎(2)‎ 由正弦定理得,. (12分)‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本题考查用样本估计总体的相关知识，独立性检验问题. ‎ ‎【解析】（1）由题意m=0.025; （4分）‎ ‎(2) ‎ 对照表格可知，4.762<6.635,不能再犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关（12分）‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本题考查立体几何平行垂直位置关系知识. ‎ ‎【解析】（1）由题意 ½ ‎（2）设与GN交于点E，在△BNE中，可求得，则,‎ 可知到平面MNG的距离为. （12分）‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本小题考查直线与圆锥曲线的位置关系问题等知识. ‎ ‎(1)已知点P在椭圆上，设，即有，又 ‎，且，可得椭圆的方程为.(4分)‎ ‎（2）设直线AP的方程为：，则直线OM的方程为.‎ 联立直线AP与椭圆的方程可得：，由，可得，‎ 联立直线OM与椭圆的方程可得：，即，‎ 所以.‎ 即为定值，且定值为2. (12分)‎ ‎ ‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.‎ ‎【解析】（1）由题可知，且，又，‎ 即得，化简并分解因式可得. (‎6’‎)‎ ‎(2)令，则，‎ 令，，可知在和上单调递增，在上单调递减，又，；为过点的直线，又，则，‎ 因此有且只有一个交点，即有唯一的零点.（12分）‎ ‎(本小题满分10分)‎ ‎22.【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.‎ ‎【解析】（1）曲线的普通方程为；曲线的普通方程为.(5分)‎ ‎（2）设过原点的直线为,在曲线中，.而到直线与曲线的交点的距离为，‎ 因此，‎ 即的最小值为.（10分）‎ ‎ ‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. ‎ ‎【解析】(1)当时，，‎ 由此可知，的解集为.(5分)‎ ‎(2)当时，的最小值为；‎ 当时，的最小值为；‎ 当时，的最小值不恒大于1.‎ 综上，.‎