2014年北京市高考数学试卷（理科）

2014年北京市高考数学试卷（理科）

‎2014年北京市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}‎ ‎2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（　　）‎ A．y= B．y=（x﹣1）2 C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）‎ ‎3．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（　　）‎ A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上 C．在直线y=x﹣1上 D．在直线y=x+1上 ‎4．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（　　）‎ A．7 B．42 C．210 D．840‎ ‎5．（5分）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（　　）‎ A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3 C．S3=S1且S3≠S2 D．S3=S2且S3≠S1‎ ‎8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（　　）‎ A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．（5分）复数（）2=　 　．‎ ‎10．（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=　 　．‎ ‎11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为　 　；渐近线方程为　 　．‎ ‎12．（5分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=　 　时，{an}的前n项和最大．‎ ‎13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有　 　种．‎ ‎14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎15．（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．‎ ‎（1）求sin∠BAD；‎ ‎（2）求BD，AC的长．‎ ‎16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；‎ 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1‎ ‎22‎ ‎12‎ 客场1‎ ‎18‎ ‎8‎ 主场2‎ ‎15‎ ‎12‎ 客场2‎ ‎13‎ ‎12‎ 主场3‎ ‎12‎ ‎8‎ 客场3‎ ‎21‎ ‎7‎ 主场4‎ ‎23‎ ‎8‎ 客场4‎ ‎18‎ ‎15‎ 主场5‎ ‎24‎ ‎20‎ 客场5‎ ‎25‎ ‎12‎ ‎（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；‎ ‎（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；‎ ‎（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．‎ ‎17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．‎ ‎（1）求证：AB∥FG；‎ ‎（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．‎ ‎18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]‎ ‎（1）求证：f（x）≤0；‎ ‎（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．‎ ‎19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，‎ ‎（1）求椭圆C的离心率 ‎（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎20．（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数，‎ ‎（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；‎ ‎（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；‎ ‎（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．‎ ‎　‎ ‎2014年北京市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}‎ ‎【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．‎ ‎【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，‎ ‎∴A∩B={0，2}‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（　　）‎ A．y= B．y=（x﹣1）2 C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）‎ ‎【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，‎ 由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，‎ 由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，‎ 由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（　　）‎ A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上 C．在直线y=x﹣1上 D．在直线y=x+1上 ‎【分析】曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．‎ ‎【解答】解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（　　）‎ A．7 B．42 C．210 D．840‎ ‎【分析】算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，‎ 当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，‎ ‎∴跳出循环的k值为4，‎ ‎∴输出S=7×6×5=210．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ ‎【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{an}不是递增数列，充分性不成立．‎ 若an=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，‎ 故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，‎ 故由约束条件作出可行域如图，‎ 当y=0，由kx﹣y+2=0，得x=，‎ ‎∴B（﹣）．‎ 由z=y﹣x得y=x+z．‎ 由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．‎ 此时，解得：k=﹣．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（　　）‎ A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3 C．S3=S1且S3≠S2 D．S3=S2且S3≠S1‎ ‎【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，‎ 在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=．‎ 在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.‎ 在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1，），S3=，‎ 则S3=S2且S3≠S1，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（　　）‎ A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 ‎【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．‎ ‎【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，‎ 语文成绩得B得也最多只有一个，‎ 得C最多只有一个，‎ 因此学生最多只有3人，‎ 显然（AC）（BB）（CA）满足条件，‎ 故学生最多有3个．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．（5分）复数（）2=　﹣1　．‎ ‎【分析】由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．‎ ‎【解答】解：（）2=．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=　　．‎ ‎【分析】设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．‎ ‎【解答】解：设=（x，y）．‎ ‎∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），‎ ‎∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），‎ ‎∴，化为λ2=5．‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2‎ ‎=1具有相同渐近线，则C的方程为　　；渐近线方程为　y=±2x　．‎ ‎【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．‎ ‎【解答】解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），‎ ‎∵双曲线C经过点（2，2），‎ ‎∴m=，‎ 即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，‎ 对应的渐近线方程为y=±2x，‎ 故答案为：，y=±2x．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=　8　时，{an}的前n项和最大．‎ ‎【分析】可得等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，‎ ‎∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，‎ ‎∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，‎ ‎∴等差数列{an}的前8项和最大，‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有　36　种．‎ ‎【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．‎ ‎【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，‎ 又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，‎ 故满足条件的摆法有48﹣12=36种．‎ 故答案为：36．‎ ‎【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为　π　．‎ ‎【分析】由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）‎ 可得函数的半周期，则周期可求．‎ ‎【解答】解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，‎ 则x=离最近对称轴距离为．‎ 又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），‎ 由于f（x）在区间[，]上具有单调性，‎ 则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．‎ 故答案为：π．‎ ‎【点评】本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎15．（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．‎ ‎（1）求sin∠BAD；‎ ‎（2）求BD，AC的长．‎ ‎【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，‎ ‎∴sin∠ADC====，‎ 则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．‎ ‎（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，‎ 在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，‎ 即AC=7．‎ ‎【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；‎ 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1‎ ‎22‎ ‎12‎ 客场1‎ ‎18‎ ‎8‎ 主场2‎ ‎15‎ ‎12‎ 客场2‎ ‎13‎ ‎12‎ 主场3‎ ‎12‎ ‎8‎ 客场3‎ ‎21‎ ‎7‎ 主场4‎ ‎23‎ ‎8‎ 客场4‎ ‎18‎ ‎15‎ 主场5‎ ‎24‎ ‎20‎ 客场5‎ ‎25‎ ‎12‎ ‎（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；‎ ‎（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；‎ ‎（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．‎ ‎【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，‎ ‎（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．‎ ‎（3）求出平均数和EX，比较即可．‎ ‎【解答】解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，‎ ‎（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，‎ 故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；‎ ‎（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4‎ EX=‎ ‎【点评】本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．‎ ‎（1）求证：AB∥FG；‎ ‎（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．‎ ‎【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；‎ ‎（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．‎ ‎【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，‎ ‎∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，‎ ‎∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，‎ ‎∴AB∥FG；‎ ‎（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，‎ 如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），‎ B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），‎ E（0，2，0），F（0，1，1），，‎ 设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则 即，‎ 令z=1，则y=﹣1，∴=（0，﹣1，1），‎ 设直线BC与平面ABF所成的角为α，则 sinα=|cos＜，＞|=||=，‎ ‎∴直线BC与平面ABF所成的角为，‎ 设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，‎ 即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵是平面ABF的法向量，‎ ‎∴=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），‎ ‎∴PH==2．‎ ‎【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]‎ ‎（1）求证：f（x）≤0；‎ ‎（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．‎ ‎【分析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．‎ ‎（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得 f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，‎ 此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，‎ 所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，‎ 从而f（x）≤f（0）=0．‎ ‎（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”‎ 令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，‎ 当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，‎ 当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，‎ 所以g（x）在区间[0，]上单调递减，‎ 从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，‎ 当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，‎ g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：‎ x ‎ （0，x0）‎ ‎ x0‎ ‎ （x0，）‎ g′（x）‎ ‎+‎ ‎ ‎ ‎﹣‎ g（x）‎ ‎↑‎ ‎ ‎ ‎↓‎ 因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，‎ 所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，‎ 当且仅当 综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，‎ 当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，‎ 所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1‎ ‎【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，‎ ‎（1）求椭圆C的离心率 ‎（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；‎ ‎（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x2+y2=2相切．‎ ‎【解答】解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为．‎ ‎∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．‎ 因此a=2，c=．‎ 故椭圆C的离心率e=；‎ ‎（2）直线AB与圆x2+y2=2相切．‎ 证明如下：‎ 设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．‎ ‎∵OA⊥OB，‎ ‎∴，即tx0+2y0=0，解得．‎ 当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得．‎ 故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=．‎ 此时直线AB与圆x2+y2=2相切．‎ 当x0≠t时，直线AB的方程为，‎ 即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．‎ 圆心O到直线AB的距离d=．‎ 又，t=．‎ 故=．‎ 此时直线AB与圆x2+y2=2相切．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1‎ ‎，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数，‎ ‎（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；‎ ‎（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；‎ ‎（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；‎ ‎（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；‎ ‎（Ⅲ）根据新定义，可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；‎ ‎（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}．‎ 当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，‎ ‎∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；‎ 当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，‎ ‎∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；‎ ‎∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；‎ ‎（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；‎ T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52．‎ ‎【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键．‎ ‎　‎