2007年山东省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】

2007年山东省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】

‎2007年山东省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z‎2‎‎=-1‎的θ值可能是（ ）‎ A.π‎6‎ B.π‎4‎ C.π‎3‎ D.‎π‎2‎ ‎2. 已知集合M={-1, 1}‎，N={x|‎1‎‎2‎<‎2‎x+1‎<4，x∈Z}‎，则M∩N=(‎ ‎‎)‎ A.‎{-1, 1}‎ B.‎{-1}‎ C.‎{0}‎ D.‎‎{-1, 0}‎ ‎3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）‎ A.‎(1)‎，‎(2)‎ B.‎(1)‎，‎(3)‎ C.‎(1)‎，‎(4)‎ D.‎(2)‎，‎‎(4)‎ ‎4. 设a∈{-1,1,‎1‎‎2‎，3}‎，则使函数y=‎xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（ ）‎ A.‎1‎，‎3‎ B.‎-1‎，‎1‎ C.‎-1‎，‎3‎ D.‎-1‎，‎1‎，‎‎3‎ ‎5. 函数f(x)=sin(2x+π‎6‎)+cos(2x+π‎3‎)‎的最小正周期和最大值分别为（ ）‎ A.π，‎1‎ B.π,‎‎2‎ C.‎2π，‎1‎ D.‎‎2π,‎‎2‎ ‎6. 给出下列三个等式：f(xy)=f(x)+f(y)‎，f(x+y)=f(x)f(y)‎，f(x+y)=‎f(x)+f(y)‎‎1-f(x)f(y)‎．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）‎ A.f(x)=‎‎3‎x B.f(x)=sinx C.f(x)=log‎2‎x D.‎f(x)=tanx ‎7. 命题“对任意的x∈R，x‎3‎‎-x‎2‎+1≤0‎”的否定是（ ）‎ A.不存在x∈R，x‎3‎‎-x‎2‎+1≤0‎ B.存在x∈R，‎x‎3‎‎-x‎2‎+1≤0‎ C.对任意的x∈R，x‎3‎‎-x‎2‎+1>0‎ D.存在x∈R，‎x‎3‎‎-x‎2‎+1>0‎ ‎8. 某班‎50‎名学生在一次百米测试中，成绩全部介于‎13‎秒与‎19‎秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于‎13‎秒且小于‎14‎秒；第二组，成绩大于等于‎14‎秒且小于‎15‎秒；…第六组，成绩大于等于‎18‎秒且小于等于‎19‎秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于‎17‎秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于‎15‎秒且小于‎17‎秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（ ）‎ A.‎0.9‎，‎35‎ B.‎0.9‎，‎45‎ C.‎0.1‎，‎35‎ D.‎0.1‎，‎‎45‎ ‎9. 下列各小题中，p是q的充要条件的是（ ）‎ ‎(1)p:m<-2‎或m>6‎；q:y=x‎2‎+mx+m+3‎有两个不同的零点．‎ ‎(2)p：f(-x)‎f(x)‎=1‎‎；q:y=f(x)‎是偶函数．‎ ‎(3)p:cosα=cosβ‎；q:tanα=tanβ．‎ ‎(4)p:A∩B=A‎；q:‎∁‎UB⊆‎∁‎UA．‎ A.‎(1)(2)‎ B.‎(2)(3)‎ C.‎(3)(4)‎ D.‎‎(1)(4)‎ ‎10. 阅读右边的程序框图，若输入的n是‎100‎，则输出的变量S和T的值依次是（ ）‎ ‎ 7 / 7‎ A.‎2550‎，‎2500‎ B.‎2550‎，‎2550‎ C.‎2500‎，‎2500‎ D.‎2500‎，‎‎2550‎ ‎11. 在直角‎△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（ ）‎ A.‎‎|AC‎→‎‎|‎‎2‎=AC‎→‎⋅‎AB‎→‎ B.‎‎|BC‎→‎‎|‎‎2‎=BA‎→‎⋅‎BC‎→‎ C.‎‎|AB‎→‎‎|‎‎2‎=AC‎→‎⋅‎CD‎→‎ D.‎‎|CD‎→‎‎|‎‎2‎=‎‎(AC‎→‎⋅AB‎→‎)×(BA‎→‎⋅BC‎→‎)‎‎|‎AB‎→‎‎|‎‎2‎ ‎12. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是‎1‎‎2‎．质点P移动‎5‎次后位于点‎(2, 3)‎的概率为（ ）‎ A.‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎5‎ B.C‎5‎‎2‎‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎5‎ C.C‎5‎‎3‎‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎3‎ D.‎C‎5‎‎2‎C‎5‎‎3‎‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎5‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13. 设O是坐标原点，F是抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎的焦点，A是抛物线上的一点，FA‎→‎与x轴正向的夹角为‎60‎‎∘‎，则‎|OA‎→‎|‎为________．‎ ‎14. 设D是不等式组x+2y≤10‎‎2x+y≥3‎‎0≤x≤4‎y≥1‎表示的平面区域，则D中的点P(x, y)‎到直线x+y=10‎距离的最大值是________．‎ ‎15. 与直线x+y-2=0‎和曲线x‎2‎‎+y‎2‎-12x-12y+54=0‎都相切的半径最小的圆的标准方程是________．‎ ‎16. 已知函数y=loga(x-1)+1(a>0‎，且a≠1)‎的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m>0，n>0，则‎1‎m+‎‎2‎n最小值为________．‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17. 设数列‎{an}‎满足a‎1‎‎+3a‎2‎+‎3‎‎2‎a‎3‎+...+‎3‎n-1‎an=n‎3‎(n∈N‎*‎)‎．‎ ‎（1）求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎（2）设bn‎=‎nan，求数列‎{bn}‎的前n项和Sn．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎18. 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x‎2‎‎+bx+c=0‎实根的个数（重根按一个计）．‎ ‎（1）求方程x‎2‎‎+bx+c=0‎有实根的概率；‎ ‎（2）求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎（3）求在先后两次出现的点数中有‎5‎的条件下，方程x‎2‎‎+bx+c=0‎有实根的概率．‎ ‎19. 如图，在直四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，已知DC=DD‎1‎=2AD=2AB，AD⊥DC，AB // DC．‎ ‎（1）设E是DC的中点，求证：D‎1‎E // ‎平面A‎1‎BD；‎ ‎（2）求二面角A‎1‎‎-BD-‎C‎1‎的余弦值．‎ ‎20. 如图，甲船以每小时‎30‎‎2‎海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A‎1‎处时，乙船位于甲船的北偏西‎105‎‎∘‎的方向B‎1‎处，此时两船相距‎20‎海里．当甲船航行‎20‎分钟到达A‎2‎处时，乙船航行到甲船的北偏西‎120‎‎∘‎方向的B‎2‎处，此时两船相距‎10‎‎2‎海里，问乙船每小时航行多少海里？‎ ‎ 7 / 7‎ ‎21. 已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为‎3‎，最小值为‎1‎．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l:y=kx+m(k≠0)‎与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．‎ ‎22. 设函数f(x)=x‎2‎+bln(x+1)‎，其中b≠0‎．‎ ‎（1）当b>‎‎1‎‎2‎时，判断函数f(x)‎在定义域上的单调性；‎ ‎（2）求函数f(x)‎的极值点；‎ ‎（3）证明对任意的正整数n，不等式ln(‎1‎n+1)>‎1‎n‎2‎-‎‎1‎n‎3‎都成立．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年山东省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.D ‎2.B ‎3.D ‎4.A ‎5.A ‎6.B ‎7.D ‎8.A ‎9.D ‎10.A ‎11.C ‎12.B 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎21‎‎2‎p ‎14.‎‎4‎‎2‎ ‎15.‎‎(x-2‎)‎‎2‎+(y-2‎)‎‎2‎=2‎ ‎16.‎‎8‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17.∵ a‎1‎‎+3a‎2‎+‎3‎‎2‎a‎3‎+...+‎3‎n-1‎an=‎n‎3‎，①‎ ‎∴ 当n≥2‎时，a‎1‎‎+3a‎2‎+‎3‎‎2‎a‎3‎+...+‎3‎n-2‎an-1‎=‎n-1‎‎3‎．②‎ ‎①-②，得‎3‎n-1‎an‎=‎‎1‎‎3‎，‎ 所以an‎=‎1‎‎3‎n(n≥2)‎，‎ 在①中，令n＝‎1‎，得a‎1‎‎=‎‎1‎‎3‎也满足上式．‎ ‎∴ an‎=‎‎1‎‎3‎n．‎ ‎∵ bn‎=‎nan，‎ ‎∴ bn＝n⋅‎‎3‎n．‎ ‎∴ Sn＝‎3+2×‎3‎‎2‎+3×‎3‎‎3‎+...+n⋅‎‎3‎n．③‎ ‎∴ ‎3‎Sn＝‎3‎‎2‎‎+2×‎3‎‎3‎+3×‎3‎‎4‎+...+n⋅‎‎3‎n+1‎．④‎ ‎④-③，得‎2‎Sn＝n⋅‎3‎n+1‎-(3+‎3‎‎2‎+‎3‎‎3‎+...+‎3‎n)‎，‎ 即‎2‎Sn＝n⋅‎3‎n+1‎-‎‎3(1-‎3‎n)‎‎1-3‎．‎ ‎∴ Sn‎=‎(2n-1)‎‎3‎n+1‎‎4‎+‎‎3‎‎4‎．‎ ‎18.解：（1）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的基本事件总数为‎6×6=36‎，‎ 满足条件的事件是使方程有实根，则‎△=b‎2‎-4c≥0‎，即b≥2‎c．‎ 下面针对于c的取值进行讨论 当c=1‎时，b=2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎，‎6‎；‎ 当c=2‎时，b=3‎，‎4‎，‎5‎，‎6‎；‎ 当c=3‎时，b=4‎，‎5‎，‎6‎；‎ 当c=4‎时，b=4‎，‎5‎，‎6‎；‎ 当c=5‎时，b=5‎，‎6‎；‎ 当c=6‎时，b=5‎，‎6‎，‎ 目标事件个数为‎5+4+3+3+2+2=19‎，‎ 因此方程x‎2‎‎+bx+c=0‎有实根的概率为‎19‎‎36‎．‎ ‎（2）由题意知用随机变量ξ表示方程x‎2‎‎+bx+c=0‎实根的个数得到ξ=0‎，‎1‎，‎‎2‎ 根据第一问做出的结果得到 则P(ξ=0)=‎‎17‎‎36‎，P(ξ=1)=‎2‎‎36‎=‎‎1‎‎18‎，P(ξ=2)=‎‎17‎‎36‎，‎ ‎ 7 / 7‎ ‎∴ ξ的分布列为 ‎ ‎ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ‎‎17‎‎36‎ ‎1‎‎18‎ ‎17‎‎36‎ ‎∴ ξ的数学期望Eξ=0×‎17‎‎36‎+1×‎1‎‎18‎+2×‎17‎‎36‎=1‎．‎ ‎（3）在先后两次出现的点数中有‎5‎的条件下，方程x‎2‎‎+bx+c=0‎有实根，‎ 这是一个条件概率，‎ 记“先后两次出现的点数中有‎5‎”为事件M，‎ ‎“方程ax‎2‎+bx+c=0‎有实根”为事件N，‎ 则P(M)=‎‎11‎‎36‎，P(MN)=‎‎7‎‎36‎，‎ ‎∴ P(N|M)=P(MN)‎P(M)‎=‎‎7‎‎11‎．‎ ‎19.解：（1）连接BE，则四边形DABE为正方形，‎ ‎∴ BE=AD=‎A‎1‎D‎1‎，且BE // AD // ‎A‎1‎D‎1‎，‎ ‎∴ 四边形A‎1‎D‎1‎EB为平行四边形，∴ D‎1‎E // A‎1‎B．‎ ‎∵ D‎1‎E⊄‎平面A‎1‎BD，A‎1‎B⊂‎平面A‎1‎BD，‎ ‎∴ D‎1‎E // ‎平面A‎1‎BD．‎ ‎（2）以D为原点，DA，DC，DD‎1‎所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，‎ 不妨设DA=1‎，则D(0, 0, 0)‎，A(1, 0, 0)‎，B(1, 1, 0)‎，C‎1‎‎(0, 2, 2)‎，A‎1‎‎(1, 0, 2)‎．‎ ‎∴ DA‎1‎‎→‎‎=(1,0,2)，DB‎→‎=(1,1,0)‎．‎ 设n‎→‎‎=(x,y,z)‎为平面A‎1‎BD的一个法向量，‎ 由n‎→‎‎⊥DA‎1‎‎→‎，n‎→‎⊥‎DB‎→‎得x+2z=0‎x+y=0‎ 取z=1‎，则n‎→‎‎=(-2,2,1)‎ 设m‎→‎‎=(x‎1‎,y‎1‎,z‎1‎)‎为平面C‎1‎BD的一个法向量，‎ 由m‎→‎‎⊥DC‎→‎，m‎→‎⊥‎DB‎→‎得‎2y‎1‎+2z‎1‎=0‎x‎1‎‎+y‎1‎=0‎，‎ 取z‎1‎‎=1‎，则m‎→‎‎=(1,-1,1)‎ ‎∵ ‎.cos=‎|m‎→‎||n‎→‎|‎‎˙‎=‎-3‎‎9‎‎⋅‎‎3‎=-‎‎3‎‎3‎．‎ 由于该二面角A‎1‎‎-BD-‎C‎1‎为锐角，‎ 所以所求的二面角A‎1‎‎-BD-‎C‎1‎的余弦值为‎3‎‎3‎．‎ ‎20.乙船每小时航行‎30‎‎2‎海里．‎ ‎21.解：（1）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，‎ 则a+c=3‎a-c=1‎解得a=2‎c=1‎ ‎∴ 椭圆C的标准方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎．‎ ‎（2）由方程组x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎y=kx+m消去y，‎ 得‎(3+4k‎2‎)x‎2‎+8kmx+4m‎2‎-12=0‎ 由题意：‎‎△=(8km‎)‎‎2‎-4(3+4k‎2‎)(4m‎2‎-12)>0‎ 整理得：‎3+4k‎2‎-m‎2‎>0‎ ①‎ 设M(x‎1‎, y‎1‎)‎、N(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ 则x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎8km‎3+4‎k‎2‎，‎x‎1‎x‎2‎‎=‎‎4m‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎ 由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A(2, 0)‎ ‎∴ ‎‎(x‎1‎-2)(x‎2‎-2)+y‎1‎y‎2‎=0‎ 即‎(1+k‎2‎)x‎1‎x‎2‎+(km-2)(x‎1‎+x‎2‎)+m‎2‎+4=0‎ 也即‎(1+k‎2‎)⋅‎4m‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎+(km-2)⋅‎-8km‎3+4‎k‎2‎+m‎2‎+4=0‎ 整理得：‎‎7m‎2‎+16mk+4k‎2‎=0‎ ‎ 7 / 7‎ 解得：m=-2k或m=-‎‎2k‎7‎，均满足①‎ 当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点‎(2, 0)‎，舍去 当m=-‎‎2k‎7‎时，直线l的方程为y=k(x-‎2‎‎7‎)‎，过定点‎(‎2‎‎7‎，0)‎，‎ 故直线l过定点，且定点的坐标为‎(‎2‎‎7‎，0)‎．‎ ‎22.解：（1）函数f(x)=x‎2‎+bln(x+1)‎的定义域在‎(-1, +∞)‎ f'(x)=2x+bx+1‎=‎‎2x‎2‎+2x+bx+1‎ 令g(x)=2x‎2‎+2x+b，则g(x)‎在‎(-‎1‎‎2‎，+∞)‎上递增，在‎(-1,-‎1‎‎2‎)‎上递减，‎g(x‎)‎min=g(-‎1‎‎2‎)=-‎1‎‎2‎+b，当b>‎1‎‎2‎时g(x‎)‎min=-‎1‎‎2‎+b>0‎ g(x)=2x‎2‎+2x+b>0‎在‎(-1, +∞)‎上恒成立，‎ 所以f‎'‎‎(x)>0‎即当b>‎1‎‎2‎时，函数f(x)‎在定义域‎(-1, +∞)‎上单调递增．‎ ‎（2）（1）由（1）知当b>‎‎1‎‎2‎时函数f(x)‎无极值点 ‎②当b=‎‎1‎‎2‎时，f'(x)=‎‎2(x+‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎x+1‎，‎ ‎∴ x∈(-1,-‎1‎‎2‎)时，f'(x)>0x∈(-‎1‎‎2‎，+∞)时，f'(x)>0‎，‎ ‎∴ b=‎‎1‎‎2‎时，函数f(x)‎在‎(-1, +∞)‎上无极值点 ‎③当b<‎‎1‎‎2‎时，解f‎'‎‎(x)=0‎得两个不同解x‎1‎‎=‎-1-‎‎1-2b‎2‎，x‎2‎=‎‎-1+‎‎1-2b‎2‎ 当b<0‎时，x‎1‎‎=‎-1-‎‎1-2b‎2‎，x‎2‎=‎‎-1+‎‎1-2b‎2‎，‎ ‎∴ x‎1‎‎∈(-∞, -1)‎，x‎2‎‎∈(-1, +∞)‎，此时f(x)‎在‎(-1, +∞)‎上有唯一的极小值点x‎2‎‎=‎‎-1+‎‎1-2b‎2‎ 当‎0h(0)=0‎ 即当x∈(0, +∞)‎时，有x‎3‎‎-x‎2‎+ln(x+1)>0‎，ln(x+1)>x‎2‎-‎x‎3‎，对任意正整数n，取x=‎1‎n得ln(‎1‎n+1)>‎1‎n‎2‎-‎‎1‎n‎3‎ ‎ 7 / 7‎