2016年天津市高考数学试卷（文科）

2016年天津市高考数学试卷（文科）

2016 年天津市高考数学试卷（文科） 　 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．（5 分）已知集合 A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则 A∩B=（　　） A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3} 2．（5 分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则 甲不输的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（5 分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的 正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　） A． B． C． D． 4．（5 分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 ，且双曲线的一 条渐近线与直线 2x+y=0 垂直，则双曲线的方程为（　　） A． ﹣y2=1 B．x2﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 5．（5 分）设 x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递 增，若实数 a 满足 f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），则 a 的取值范围是（　　） A．（﹣∞， ）B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） C．（ ， ） D．（ ，+∞） 7．（5 分）已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中 点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 • 的值为（　　） A．﹣ B． C． D． 8．（5 分）已知函数 f（x）=sin2 + sinωx﹣ （ω＞0），x∈R，若 f（x）在区 间（π，2π）内没有零点，则 ω 的取值范围是（　　） A．（0， ] B．（0， ]∪[ ，1） C．（0， ] D．（0， ]∪[ ， ] 　 二、填空题本大题 6 小题，每题 5 分，共 30 分 9．（5 分）i 是虚数单位，复数 z 满足（1+i）z=2，则 z 的实部为　 　． 10．（5 分）已知函数 f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为 f（x）的导函数，则 f′（0） 的值为　 　． 11．（5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值 为　 　． 12．（5 分）已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点（0， ）圆 C 上，且圆心到直 线 2x﹣y=0 的距离为 ，则圆 C 的方程为　 　． 13．（5 分）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED， 则线段 CE 的长为　 　． 14．（5 分）已知函数 f（x）= （a＞0，且 a≠1）在 R 上 单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取 值范围是　 　． 　 三、解答题：本大题共 6 小题，80 分 15．（13 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 asin2B= bsinA． （1）求 B； （2）已知 cosA= ，求 sinC 的值． 16．（13 分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C 三种主要原料， 生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 肥料 原料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、 乙两种肥料．已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种 肥料，产生的利润为 3 万元、分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮 数． （Ⅰ）用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此 最大利润． 17．（13 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED⊥平面 ABCD，EF∥ AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE= ，∠BAD=60°，G 为 BC 的中点． （1）求证：FG∥平面 BED； （2）求证：平面 BED⊥平面 AED； （3）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值． 18．（13 分）已知{an}是等比数列，前 n 项和为 Sn（n∈N*），且 ﹣ = ，S6=63． （1）求{an}的通项公式； （2）若对任意的 n∈N *，bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项，求数列{（﹣1） nb }的前 2n 项和． 19．（14 分）设椭圆 + =1（a＞ ）的右焦点为 F，右顶点为 A，已知 + = ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B（B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于 点 M，与 y 轴交于点 H，若 BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线 l 的斜率． 20．（14 分）设函数 f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中 a，b∈R． （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）=f（x0），其中 x1≠x0，求证：x1+2x0=0； （3）设 a＞0，函数 g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值 不小于 ． 　 2016 年天津市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．（5 分）已知集合 A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则 A∩B=（　　） A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3} 【分析】根据题意，将集合 B 用列举法表示出来，可得 B={1，3，5}，由交集的 定义计算可得答案． 【解答】解：根据题意，集合 A={1，2，3}，而 B={y|y=2x﹣1，x∈A}， 则 B={1，3，5}， 则 A∩B={1，3}， 故选：A． 【点评】本题考查集合的运算，注意集合 B 的表示方法． 　 2．（5 分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则 甲不输的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出． 【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件． ∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率 P= + = ． 故选：A． 【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系， 然后选择合适的概率公式，属于基础题． 　 3．（5 分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的 正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出 答案． 【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为 D﹣AD1C， 棱 CD1 在左侧面的投影为 BA1， 故选：B． 【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于 基础题． 　 4．（5 分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 ，且双曲线的一 条渐近线与直线 2x+y=0 垂直，则双曲线的方程为（　　） A． ﹣y2=1 B．x2﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 【分析】利用双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 ，且双曲线的一条 渐近线与直线 2x+y=0 垂直，求出几何量 a，b，c，即可求出双曲线的方程． 【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 ， ∴c= ， ∵双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直， ∴ = ， ∴a=2b， ∵c2=a2+b2， ∴a=2，b=1， ∴双曲线的方程为 =1． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的 几何量是关键． 　 5．（5 分）设 x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直接根据必要性和充分判断即可． 【解答】解：设 x＞0，y∈R，当 x＞0，y=﹣1 时，满足 x＞y 但不满足 x＞|y|， 故由 x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”， 而“x＞|y|”⇒“x＞y”， 故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件， 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题． 　 6．（5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递 增，若实数 a 满足 f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），则 a 的取值范围是（　　） A．（﹣∞， ）B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） C．（ ， ） D．（ ，+∞） 【分析】根据函数的对称性可知 f（x）在（0，+∞）递减，故只需令 2|a﹣1|＜ 即可． 【解答】解：∵f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递 增， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递减． ∵2|a﹣1|＞0，f（﹣ ）=f（ ）， ∴2|a﹣1|＜ =2 ． ∴|a﹣1| ， 解得 ． 故选：C． 【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题． 　 7．（5 分）已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中 点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 • 的值为（　　） A．﹣ B． C． D． 【分析】由题意画出图形，把 、 都用 表示，然后代入数量积公式得 答案． 【解答】解：如图， ∵D、E 分别是边 AB、BC 的中点，且 DE=2EF， ∴ • = = = = = = = = ． 故选：C． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中 档题． 　 8．（5 分）已知函数 f（x）=sin2 + sinωx﹣ （ω＞0），x∈R，若 f（x）在区 间（π，2π）内没有零点，则 ω 的取值范围是（　　） A．（0， ] B．（0， ]∪[ ，1） C．（0， ] D．（0， ]∪[ ， ] 【分析】函数 f（x）= ，由 f（x）=0，可得 =0，解 得 x= ∉（π，2π），因此 ω∉ ∪ ∪ ∪…= ∪ ，即可得出． 【 解 答 】 解 ： 函 数 f （ x ） = + sinωx﹣ = + sinωx = ， 由 f（x）=0，可得 =0， 解得 x= ∉（π，2π）， ∴ω∉ ∪ ∪ ∪…= ∪ ， ∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点， ∴ω∈ ∪ ． 故选：D． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题． 　 二、填空题本大题 6 小题，每题 5 分，共 30 分 9．（5 分）i 是虚数单位，复数 z 满足（1+i）z=2，则 z 的实部为　1　． 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由（1+i）z=2， 得 ， ∴z 的实部为 1． 故答案为：1． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础 题． 　 10．（5 分）已知函数 f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为 f（x）的导函数，则 f′（0） 的值为　3　． 【分析】先求导，再带值计算． 【解答】解：∵f（x）=（2x+1）ex， ∴f′（x）=2ex+（2x+1）ex， ∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题． 　 11 ．（5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为　 4　． 【分析】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出 S 的值． 【解答】解：第一次循环：S=8，n=2； 第二次循环：S=2，n=3； 第三次循环：S=4，n=4， 结束循环，输出 S=4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查程序框图，循环结构，注意循环的条件，属于基础题． 　 12．（5 分）已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点（0， ）圆 C 上，且圆心到直 线 2x﹣y=0 的距离为 ，则圆 C 的方程为　（x﹣2）2+y2=9　． 【分析】由题意设出圆的方程，把点 M 的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线 的距离列式求解． 【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2（a＞0）， 由点 M（0， ）在圆上，且圆心到直线 2x﹣y=0 的距离为 ， 得 ，解得 a=2，r=3． ∴圆 C 的方程为：（x﹣2）2+y2=9． 故答案为：（x﹣2）2+y2=9． 【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档 题． 　 13．（5 分）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED， 则线段 CE 的长为　 　． 【分析】由 BD=ED，可得△BDE 为等腰三角形，过 D 作 DH⊥AB 于 H，由相交弦 定理求得 DH，在 Rt△DHE 中求出 DE，再由相交弦定理求得 CE． 【解答】解：如图， 过 D 作 DH⊥AB 于 H， ∵BE=2AE=2，BD=ED， ∴BH=HE=1，则 AH=2，BH=1， ∴DH2=AH•BH=2，则 DH= ， 在 Rt△DHE 中，则 ， 由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB， ∴ ． 故答案为： ． 【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题． 　 14．（5 分）已知函数 f（x）= （a＞0，且 a≠1）在 R 上 单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取 值范围是　[ ， ）　． 【分析】由减函数可知 f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或 等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和 y=2﹣ 的图象，根据交点个数判断 3a 与 2 的大小关系，列出不等式组解出． 【解答】解：∵f（x）是 R 上的单调递减函数， ∴y=x2+（4a﹣3）x+3a 在（﹣∞．，0）上单调递减，y=log a（x+1）+1 在（0，+ ∞）上单调递减， 且 f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于 f（0）． ∴ ，解得 ≤a≤ ． 作出 y=|f（x）|和 y=2﹣ 的函数草图如图所示： 由图象可知|f（x）|=2﹣ 在[0，+∞）上有且只有一解， ∵|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解， ∴x2+（4a﹣3）x+3a=2﹣ 在（﹣∞，0）上只有 1 解， 即 x2+（4a﹣ ）x+3a﹣2=0 在（﹣∞，0）上只有 1 解， ∴ 或 ， 解得 a= 或 a＜ ， 又 ≤a≤ ，∴ ． 故答案为[ ， ）． 【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图 象判断端点值的大小是关键，属于中档题． 　 三、解答题：本大题共 6 小题，80 分 15．（13 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 asin2B= bsinA． （1）求 B； （2）已知 cosA= ，求 sinC 的值． 【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出 cosB； （2）求出 sinA，利用两角和的正弦函数公式计算． 【解答】解：（1）∵asin2B= bsinA， ∴2sinAsinBcosB= sinBsinA， ∴cosB= ，∴B= ． （2）∵cosA= ，∴sinA= ， ∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= = ． 【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题． 　 16．（13 分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C 三种主要原料， 生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 肥料 原料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、 乙两种肥料．已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种 肥料，产生的利润为 3 万元、分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮 数． （Ⅰ）用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此 最大利润． 【分析】（Ⅰ）设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域． （Ⅱ）设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）由已知 x，y 满足不等式 ，则不等式对应的平 面区域为， （Ⅱ）设年利润为 z 万元，则目标函数为 z=2x+3y，即 y=﹣ x+ ， 平移直线 y=﹣ x+ ，由图象得当直线经过点 M 时，直线的截距最大，此时 z 最 大， 由 得 ，即 M（20，24）， 此时 z=40+72=112， 即分别生产甲肥料 20 车皮，乙肥料 24 车皮，能够产生最大的利润，最大利润为 112 万元． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域， 利用平移法是解决本题的关键． 　 17．（13 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED⊥平面 ABCD，EF∥ AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE= ，∠BAD=60°，G 为 BC 的中点． （1）求证：FG∥平面 BED； （2）求证：平面 BED⊥平面 AED； （3）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值． 【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形 OGEF 是平行四边形，再 根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据余弦定理求出 BD= ，继而得到 BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定 理即可证明； （3）先判断出直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的 角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案． 【解答】证明：（1）BD 的中点为 O，连接 OE，OG，在△BCD 中， ∵G 是 BC 的中点， ∴OG∥DC，且 OG= DC=1， 又∵EF∥AB，AB∥DC， ∴EF∥OG，且 EF=OG， 即四边形 OGEF 是平行四边形， ∴FG∥OE， ∵FG⊄平面 BED，OE⊂平面 BED， ∴FG∥平面 BED； （2）证明：在△ABD 中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°， 由余弦定理可得 BD= ，仅而∠ADB=90°， 即 BD⊥AD， 又∵平面 AED⊥平面 ABCD， BD⊂平面 ABCD，平面 AED∩平面 ABCD=AD， ∴BD⊥平面 AED， ∵BD⊂平面 BED， ∴平面 BED⊥平面 AED． （Ⅲ）∵EF∥AB， ∴直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角， 过点 A 作 AH⊥DE 于点 H，连接 BH， 又平面 BED∩平面 AED=ED， 由（2）知 AH⊥平面 BED， ∴直线 AB 与平面 BED 所成的角为∠ABH， 在△ADE，AD=1，DE=3，AE= ，由余弦定理得 cos∠ADE= ， ∴sin∠ADE= ， ∴AH=AD• ， 在 Rt△AHB 中，sin∠ABH= = ， ∴直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面 所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题． 　 18．（13 分）已知{an}是等比数列，前 n 项和为 Sn（n∈N*），且 ﹣ = ，S6=63． （1）求{an}的通项公式； （2）若对任意的 n∈N *，bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项，求数列{（﹣1） nb }的前 2n 项和． 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比 q，利用求和公式解出 a1，得出通项公式； （2）利用对数的运算性质求出 bn，使用分项求和法和平方差公式计算． 【解答】解：（1）设{an}的公比为 q，则 ﹣ = ，即 1﹣ = ， 解得 q=2 或 q=﹣1． 若 q=﹣1，则 S6=0，与 S6=63 矛盾，不符合题意．∴q=2， ∴S6= =63，∴a1=1． ∴an=2n﹣1． （2）∵bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项， ∴bn= （log2an+log2an+1）= （log22n﹣1+log22n）=n﹣ ． ∴bn+1﹣bn=1． ∴{bn}是以 为首项，以 1 为公差的等差数列． 设{（﹣1）nbn2}的前 2n 项和为 Tn，则 Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2） =b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n = = =2n2． 【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档 题． 　 19．（14 分）设椭圆 + =1（a＞ ）的右焦点为 F，右顶点为 A，已知 + = ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B（B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于 点 M，与 y 轴交于点 H，若 BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线 l 的斜率． 【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入 + = ， 转化为关于 a 的方程，解方程求得 a 值，则椭圆方程可求； （2）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程， 化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 B 的坐标，再写出 MH 所 在 直 线 方 程 ， 求 出 H 的 坐 标 ， 由 BF ⊥ HF ， 得 ，整理得到 M 的坐标与 k 的关系，由∠MOA= ∠MAO，得到 x0=1，转化为关于 k 的等式求得 k 的值． 【解答】解：（1）由 + = ， 得 + = ， 即 = ， ∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得 a=2． ∴椭圆方程为 ； （2）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x﹣2），（k≠0）， 设 B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2））， ∵∠MOA=∠MAO， ∴x0=1， 再设 H（0，yH）， 联立 ，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0． △=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0． 由根与系数的关系得 ， ∴ ， ， MH 所在直线方程为 y﹣k（x0﹣2）=﹣ （x﹣x0）， 令 x=0，得 yH=（k+ ）x0﹣2k， ∵BF⊥HF， ∴ ， 即 1﹣x1+y1yH=1﹣ [（k+ ）x0﹣2k]=0， 整理得： =1，即 8k2=3． ∴k=﹣ 或 k= ． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整 体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题． 　 20．（14 分）设函数 f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中 a，b∈R． （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）=f（x0），其中 x1≠x0，求证：x1+2x0=0； （3）设 a＞0，函数 g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值 不小于 ． 【分析】（1）求出 f（x）的导数，讨论 a≤0 时 f′（x）≥0，f（x）在 R 上递增； 当 a＞0 时，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间； （2）由条件判断出 a＞0，且 x0≠0，由 f′（x0）=0 求出 x0，分别代入解析式化简 f（x0），f（﹣2x0），化简整理后可得证； （3）设 g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值 M，根据极值点与区间的关系对 a 分 三种情况讨论，运用 f（x）单调性和前两问的结论，求出 g（x）在区间上的取 值范围，利用 a 的范围化简整理后求出 M，再利用不等式的性质证明结论成 立． 【解答】解：（1）若 f（x）=x3﹣ax﹣b，则 f′（x）=3x2﹣a， 分两种情况讨论： ①、当 a≤0 时，有 f′（x）=3x2﹣a≥0 恒成立， 此时 f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）， ②、当 a＞0 时，令 f′（x）=3x2﹣a=0，解得 x= 或 x= ， 当 x＞ 或 x＜﹣ 时，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）为增函数， 当﹣ ＜x＜ 时，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）为减函数， 故 f（x）的增区间为（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞），减区间为（﹣ ， ）； （2）若 f（x）存在极值点 x0，则必有 a＞0，且 x0≠0， 由题意可得，f′（x）=3x2﹣a，则 x02= ， 进而 f（x0）=x03﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b， 又 f（﹣2x0）=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f（x0）， 由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数 x1，满足 f（x1）=f（x0），其中 x1≠x0， 则有 x1=﹣2x0，故有 x1+2x0=0； （Ⅲ）设 g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值 M，max{x，y}表示 x、y 两个数的 最大值， 下面分三种情况讨论： ①当 a≥3 时，﹣ ≤﹣1＜1≤ ， 由（I）知 f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减， 所以 f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（1），f（﹣1）]， 因此 M=max{|f（1）|，|f（﹣1）|}=max{|1﹣a﹣b|，|﹣1+a﹣b|} =max{|a﹣1+b|，|a﹣1﹣b|}= ， 所以 M=a﹣1+|b|≥2 ②当 a＜3 时， ， 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥ =f（ ），f（1）≤ = ， 所以 f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（ ），f（﹣ ）]， 因此 M=max{|f（ ）|，|f（﹣ ）|}=max{| |，| |} =max{| |，| |}= ， ③当 0＜a＜ 时， ， 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜ =f（ ），f（1）＞ = ， 所以 f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（﹣1），f（1）]， 因此 M=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=max{|﹣1+a﹣b|，|1﹣a﹣b|} =max{|1﹣a+b|，|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|＞ ， 综上所述，当 a＞0 时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 ． 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分 类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运 算能力，属于难题．