- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
山西省2020届高三下学期3月适应性调研数学（文）试题 Word版含解析
- 1 - 2020 年 3 月山西省高三适应性调研考试数学（文科） 一、选择题 1.设全集 1,2,3,4,5,6,7U ，集合 1,3,5,6A ， 2,5,7B ，则 UA B ð （ ） A. 5 B. 1,3,7 C. 1,3,6 D. 1,3,5,7 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出 U Bð ，再与集合 A 取交集，即可求出答案. 【详解】因为 1,3,4,6U B ð ， 1,3,5,6A ，所以 1,3,6UA B I ð . 故选：C． 【点睛】本题考查集合的补集与交集，考查学生对基础知识的掌握. 2.在复平面内，复数 2 1 iz i 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标，则答案可求. 【详解】 2 (2 )(1 ) 1 3 1 (1 )(1 ) 2 2 i i iz ii i i Q ， z 对应的点位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题. 3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. y x B. 3xy C. 3y x D. 1y xx 【答案】C - 2 - 【解析】 【分析】 分别讨论四个函数的奇偶性及单调性，可选出答案. 【详解】对于选项 A， y x 是 R 上的偶函数，不符合题意； 对于选项 B， 3xy 是非奇非偶函数，不符合题意； 对于选项 C， 3y x 是奇函数，又是 R 上增函数，符合题意； 对于选项 D，因为函数 1y xx 在( ),0-¥ 和( )0,+¥ 上都单调递减，在其定义域上不是单 调函数，不符合题. 故选：C． 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题. 4.相关变量 ,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中 所有数据，得到线性回归方程 1 1y b x a ，相关系数为 1r ；方案二：剔除点 (10,21) ，根据剩 下数据得到线性回归直线方程： 2 2y b x a ，相关系数为 2r .则（ ） A. 1 20 1r r B. 2 10 1r r C. 1 21 0r r D. 2 11 0r r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义 作判断. 【详解】由散点图得负相关，所以 1 2, 0r r ，因为剔除点 10,21 后，剩下点数据更具有线性 - 3 - 相关性， r 更接近1，所以 2 11 0r r .选 D. 【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象 的考查.属基础题. 5.设 3log 0.2a ， 30.2b ， 0.23c ，则（ ） A. a b c B. a c b C. b a c D. c a b 【答案】A 【解析】 【分析】 结合指数函数及对数函数的性质，分别比较 , ,a b c 与 0，1 的大小关系，可选出答案. 【详解】对于 3log 0.2 ，由对数函数的图象与性质，可知 3 3log 0.2 log 1 0 ； 对于 30.2 ，由指数函数的图象与性质，可知 30 0.2 1 ； 对于 0.23 ，由指数函数的图象与性质，可知 0.2 03 3 1 ， 综上可知， 3 0.2 3log 0.2 0.2 3 ，即 a b c ． 故选：A. 【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查指数函数及对数函数的性质，考查学生的推理能 力，属于基础题. 6.某几何体的三视图如右图所示，图中的四边形都是边长为 1 的正方形，其中正(主)视图、 侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A. 5 6 B. 3 4 C. 1 2 D. 1 6 【答案】A 【解析】 - 4 - 由三视图还原可知，原图形为一个边长为 1 的正方体，挖去了一个高为 1 2 的，正四棱锥，所 以体积为 1 1 51 13 2 6V ．选 A. 7.2019 年春节假期，旅游过年持续火爆.特别是：东北雪乡、梦回大唐、江南水乡、三亚之行 这四条路线受到广大人民的热播.现有 2 个家庭准备去这四个地方旅游，假设每个家庭均从这 四条路线中任意选取一条路线去旅源，则两个家庭选择同一路线的概率为（ ） A. 1 16 B. 1 8 C. 1 4 D. 1 2 【答案】C 【解析】 【分析】 分别设“东北雪乡、梦回大唐、江南水乡、三亚之行”为 A，B，C，D，可列出两个家庭的选 择的所有情况，及两个家庭选择同路线的情况，结合古典概型的概率公式可求出答案. 【详解】分别设“东北雪乡、梦回大唐、江南水乡、三亚之行”为 A，B，C，D. 则两个家庭的选择有“AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC， DD”共 16 种情况， 其中满足两个家庭选择同路线的情况有“AA，BB，CC，DD”，共 4 种， 所以两个家庭选择同一路线的概率为 4 1 16 4P ． 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 8.某程序框图如图所示，其中 1 1 g n n n ，若输出的 2020 1S ，则判断框内 应填入的条件为（ ） - 5 - A. 2020?n B. 2020?n C. 2020?n D. 2020?n 【答案】A 【解析】 【分析】 运行该程序，当 n 的值为 2019 时，满足判断框内的条件；当 n 的值为 2020 时，不满足判断 框内的条件，退出循环，输出 S 的值，结合选项可选出答案. 【详解】由题意， 1 1 1 g n n n n n ， 运行该程序， 输入 0, 1S n ，判断框成立； 则 0 1 2 1S g ， 2n ，判断框成立； 则 2 1 2 3 1S g ， 3n ，判断框成立； 则 3 1 3 4 1S g ， 4n ，判断框成立； … 则 2019 1S ， 2019n ，判断框成立； 则 2020 1S ， 2020n ，判断框不成立，输出 2020 1S . 故判断框内应填入的条件为 2020?n . 故选：A 【点睛】本题考查程序框图，考查学生的推理能力，属于中档题. 9.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，点 ,M x y 为阴影区域内动点（不包括边界），这里 πx ， πy ，则下列不等式恒成立的是（ ） - 6 - A. sin 0x y B. sin 0x y C. cos 0x y D. cos 0x y 【答案】B 【解析】 【分析】 结合图形，可知阴影区域有两部分，分别满足 π 2πx y 和 π 0x y ，进而判断 sin x y 和 cos x y 的符号，可选出答案. 【详解】由题意，阴影区域有两部分， 当阴影部分为三角形区域时，满足 π 2πx y ，此时 sin 0x y 恒成立，而 cos 1,1x y ， 当阴影部分为梯形区域时，满足 π 0x y ，此时 sin 0x y 恒成立，而 cos 1,1x y ， 所以只有 sin 0x y 恒成立. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数符号的判断，注意判断 x y 的范围，考查学生的推理能力，属于 中档题. 10.若函数 π2sin 6f x x 在区间 π0, 3 上存在最小值-2．则非零实数 的取值范围 是（ ） A. , 1 B. 5, C. , 1 5, D. , 1 2, - 7 - 【答案】C 【解析】 【分析】 分 0 及 0 两种情况，分别求出 π 6x 的范围，进而结合 f x 在区间 π0, 3 上存在 最小值-2，可列出不等式，求出 的取值范围. 【详解】当 0 时， π π π π,6 6 3 6x ． 函数 π2sin 6f x x 在区间 π0, 3 上存在最小值-2， π π 3π 3 6 2 ，可得 5 ； 当 0 时， π π π π,6 3 6 6x ， 函数 π2sin 6f x x 在区间 π0, 3 上存在最小值-2， π π π 3 6 2 ，可得 1 ． 综上所述，非零实数 的取值范围是 , 1 5, ． 故选：C． 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查分类讨论的数学思想的应用，考查学生的计算能力 与推理能力，属于中档题. 11.已知点 1 0,3A ， 2 0, 3A ，动点 P 满足 1 2 1 2PA PAk k ，点 Q 满足 1 1QA PA ， 2 2QA PA ．则 1 2 1 2 PA A QA A S S （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】 - 8 - 由 1 2 1 2PA PAk k ，可求出 P 的轨迹方程，设 0 0,P x y ， 1 1,Q x y ，由 1 1QA PA ，可求 出直线 1QA 的斜率 1QAk ，进而得到直线 1QA 的方程，同理可得 2QA 的方程，联立直线 1QA ， 2QA 的方程，可得 2 1 0 0 9x x y ，再将 0 0,P x y 代入曲线方程中，可求得 0 1 2 xx ，结合 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 1 2 1 2 PA A QA A A A xS S A A x ，可求出答案. 【 详 解 】 设 动 点 0 0,P x y ， 由 1 2 1 2PA PAk k ， 得 0 0 0 0 3 3 1 2 y y x x ， 整 理 得 2 2 0 0 01 018 9 x y x ， 所以动点 P 的轨迹方程为 2 2 1 018 9 x y x ． 设 1 1,Q x y ，直线 1PA 的斜率为 1 0 0 3 PA yk x ，由 1 1QA PA ，所以直线 1QA 的斜率 1 0 0 3QA xk y ，于是直线 1QA 的方程为 0 0 33 xy xy ． 同理可得 2QA 的方程为 0 0 33 xy xy ． 联立两直线方程，得 0 0 0 0 3 33 3 x xx xy y ，解得 2 0 0 9yx x ，则 0 0 2 19y x x ． 因为 0 0,P x y 满足 2 2 0 0 01 018 9 x y x ，所以 2 2 0 0 9 2 xy ， 所以 2 0 1 0 2 xx x ，即 0 1 2 xx ． 所以 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 1 2 21 2 PA A QA A A A xS S A A x . 故选：A． 【点睛】本题考查点的轨迹，考查三角形的面积，考查直线的斜率，考查学生的计算求解能 - 9 - 力，属于中档题. 12.如图所示，在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 M 是正方体表面上一动点，则 下列说法正确的个数为（ ） ①若点 M 在平面 ABCD 内运动时总满足 1 1DD A DD M ，则点 M 在平面 ABCD 内的轨迹是圆 的一部分； ②在平面 ABCD 内作边长为 1 的小正方形 EFGA，点 M 满足在平面 ABCD 内运动，且到平面 1 1AA B B 的距离等于到点 F 的距离，则 M 在平面 ABCD 内的轨迹是抛物线的一部分； ③已知点 N 是棱 CD 的中点，若点 M 在平面 ABCD 内运动，且 1B M P 平面 1 1A NC ，则点 M 在平 面 ABCD 内的轨迹是线段； ④已知点 P、Q 分别是 1BD ， 1 1B C 的中点，点 M 为正方体表面上一点，若 MP 与 CQ 垂直，则点 M 所构成的轨迹的周长为8 4 5 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 对于①，结合圆锥的性质，可判断其正确；对于②，结合抛物线的定义，可知其正确；对于 ③，取 AB 的中点 I，BC 的中点 O，易证平面 1B IO P 平面 1 1A NC ，可知当 M 在线段 IO 上时， 满足题意；对于④，只需过点 P 作直线 CQ 的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即为动点 M 的轨迹，求出周长，即可判断④正确. 【详解】对于①，因为满足条件的动点 M 是以 1DD 为轴线，以 1D A为母线的圆锥与平面 ABCD - 10 - 的交线，即圆的一部分，故①是正确的； 对于②，依题意知点 M 到点 F 的距离与到直线 AB 的距离相等，所以 M 的轨迹是以 F 为焦点， AB 为准线的抛物线，故②是正确的； 对于③，如图（1），取 AB 的中点 I，BC 的中点 O，显然 1 1IO AC∥ ， 1 1IB NC∥ ，从而可以证 明平面 1B IO P 平面 1 1A NC ，当 M 在线段 IO 上时，均有 1B M P 平面 1 1A NC ，即动点 M 的轨迹 是线段 IO，故③是正确的； 对于④，如图（2），依题意，只需过点 P 作直线 CQ 的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即 为动点 M 的轨迹．分别取 1CC ， 1DD 的中点 R，S，由 1tan tan 2C QC BRC ，知 1C QC BRC ，易知CQ RB ，又CQ AB ， AB BR B ，所以CQ 平面 ABRS， 过 P 作平面 ABRS 的平行平面 1 1TUR S ，点 M 的轨迹为四边形 1 1TUR S ，其周长与四边形 ABRS 的周长相等，所以点 M 所构成的轨迹的周长为 2 22 4 2 4 2 8 4 5 ，故④是正确的． 因此说法正确的有 4 个. 故选：D． 【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，考查轨迹方程，考查空间中点线面的位置关系， 考查学生的空间想象能力与推理能力，属于难题. 二．填空题 13.已知点 4 1M , ， 1,3N ，则 MN _______；与 MN 同方向的单位向量为_______． 【答案】 (1). 3,4 (2). 3 4,5 5 【解析】 - 11 - 【分析】 由 ,M N 的坐标，可求出 MN ，与 MN 同方向的单位向量为 MN MN ，求解即可. 【详解】 MN 1 4,3 1 3,4 ， 所以与 MN 同方向的单位向量为 MN MN 1 3 43,4 ,5 5 5 . 故答案为： 3,4 ； 3 4,5 5 . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查单位向量，属于基础题. 14.已知等差数列 na 中． 7 9 12a a ， 11 1a ，则 5a 的值是________． 【答案】11 【解析】 【分析】 由等差数列的性质，可知 7 9 5 11a a a a ，从而可求出答案. 【详解】由等差数列的性质，可知 7 9 5 11a a a a ，所以 5 7 9 11 12 1 11a a a a . 故答案为：11 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 15.已知函数 2 ,0 1 ln , 1 x xf x x x ，若存在实数 1x ， 2x 满足 1 20 x x ，且 1 2f x f x ， 则 2 14x x 的最小值为________． 【答案】 2 2ln 2 【解析】 【分析】 作出 f x 的图象，由 1 2f x f x ，可知 1 22 lnx x ，从而 2 1 2 24 2lnx x x x ， 2 21 ex ，构造函数 22ln 1 eg t t t t ，求出最小值即可. 【详解】作出 f x 的图象，如下图所示， 当 0 1x 时， 0,2f x ；当 1x 时， 0,f x ， - 12 - 因为 1 2f x f x ，所以 1 22 lnx x ， 令 ln 2x ，得 2ex ， 则 2 21 ex ，故 2 1 2 24 2lnx x x x ，令 22ln 1 eg t t t t ． 则 2 21 tg t t t ，易知函数 2lng t t t 在 1,2 上单调递减，在 22,e 上单调递增， 所以 min 2 2 2ln 2g t g ． 故答案为： 2 2ln 2 . 【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数单调性及最值的应用，利用构造函数是解决本 题的关键，属于中档题. 16.已知一簇双曲线 nE ： 2 2 2 2020 nx y （ n N 且 2020n ），设双曲线 nE 的左、右焦 点分别为 1nF 、 2nF ， nP 是双曲线 nE 右支上一动点，三角形 1 2n n nP F F 的内切圆 nG 与 x 轴切于 点 ,0n nA a ，则 1 2 2020a a a __________． 【答案】 2021 2 【解析】 【分析】 设 1n nP F 、 2n nP F 与 圆 nG 分 别 切 于 点 nB 、 nC ， 可 知 1 2 1 2 2 2020n n n n n n n n nP F P F F A F A ， 再 结 合 1 1n n n nF A F O a ， 2 2n n n nF A F O a ，可求得 2020n na ，进而可求出答案. 【详解】如图，设 1n nP F 、 2n nP F 与圆 nG 分别切于点 nB 、 nC ， 根据内切圆的性质可得 n n n nP B PC ， 1 1n n n nF B F A ， 2 2n n n nF C F A ， - 13 - 又点 nP 在双曲线的右支上，所以有 1 2 2 2 2020n n n n nP F P F a ． 则 1 2 1 2 1 2 2 2020n n n n n n n n n n n n n n n n nP F P F P B F B P C F C F A F A ． 又 1 1n n n nF A F O a ， 2 2n n n nF A F O a ， 1 2n nF O F O ， 所以 1 2 2n n n n nF A F A a ， 所以 2 2 2020n na ，即 2020n na ， 因此 1 2 2020 1 2020 20201 2 2020 1 2021 2020 2020 2020 2020 2 2a a a L ． 故答案为： 2021 2 . 【点睛】本题考查双曲线的性质，考查三角形内切圆的性质，考查数列求和，考查学生的计 算求解能力，属于中档题. 三、解答题 17.在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a、b、c，且 24 cos 2 22 Ba a b c （1）求 A； （2）若 2b ， ABC 的面积为 3+ 3 2 ，M 是 AB 的中点，求 2CM ． 【答案】（1） π 3A ；（2） 34 2 【解析】 【分析】 - 14 - （1）将 2 1 coscos 2 2 B B ，代入原式，整理可得 2 2 cosc b a B ，再结合正弦定理，及 sin sinC A B ，可求得 cos A的值，进而可求出角 A ； （2）由 1 sin2ABCS bc AV ，可计算求出 AB ，从而可求出 AM ，在 AMC 中，由余弦定理 可得， 2 22 2 cosCM b AM b AM A ，即可求出答案. 【详解】（1）由题意， 1 cos4 2 22 Ba a b c ，即 2 2 cosc b a B ． 由正弦定理得， 2sin sin 2cos sinC B B A ， 即 2sin sin 2cos sinA B B B A ， 所以 2sin cos 2sin cos sin 2cos sinA B B A B B A ， 即 2sin cos sinB A B ． 又sin 0B ，所以 1cos 2A ， 因为 0,πA ，所以 π 3A ． （2）由 2b ， π 3A ， 1 3 3sin2 2ABCS bc A V ，得 1 3c AB ． 因为 M 是 AB 的中点，所以 1 3 2AM ， 在 AMC 中，由余弦定理得， 2 2 22 1 3 1 3 1 32 cos 4 2 2 42 2 2 2CM b AM b AM A ． 【点睛】本题考查三角形的面积公式的应用，考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考 查学生的计算求解能力，属于基础题. 18.如图，在直角梯形 ABCP 中， AP BC ， AP AB ， 1 22AB BC AP ，D 是 AP 的 中点，E，G 分别为 PC，CB 的中点，点 F 是线段 PD 上一动点，将 PCD 沿 CD 折起，使得平 面 PCD 平面 ACD． - 15 - （1）证明： AC BF ； （2）若点 F 为 PD 的中点，求三棱锥 P-EFG 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2） 1 6 【解析】 【分析】 （1）连接 BD，易知 BD AC ，进而证明 AC PD ，从而可知 AC 平面 PBD，再结合 BF 平面 PBD，即可证明 AC BF ； （2）先证明CG 平面 PEF，再由 1 3P EFG G EFP EFPV V S GC V ，求解即可. 【详解】（1）连接 BD，易知四边形 ABCD 是正方形，则 BD AC ， 平面 PCD 平面 ACD ， PD CD ， PD 平面 ABCD，又 AC 平面 ABCD， AC PD ． 又 BD PD D Q ， AC 平面 PBD． 又∵ BF 平面 PBD， AC BF . （2）由（1）知 PD 底面 ABCD ，CG 平面 ABCD，所以 PD CG ． 又CD CG ， PD CD D ，所以CG 平面 PEF． 1 3P EFG G EFP EFPV V S GC V ， 1 1 2 2EFPS EF PF V ， 1GC ， 故 1 1 113 2 1 3 6P EFG G EFP EFPV V S GC V ． - 16 - 【点睛】本题考查三棱锥的体积，考查垂直关系的证明，考查学生的空间想象能力与计算求 解能力，属于中档题. 19.已知抛物线 E： 2 2x py 过点 1,1 ，过抛物线 E 上一点 0 0,P x y 作两直线 PM，PN 与圆 C： 22 2 1x y 相切，且分别交抛物线 E 于 M、N 两点． （1）求抛物线 E 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）若直线 MN 的斜率为 3 ，求点 P 的坐标． 【答案】（1）抛物线 E 的方程为 2x y ，焦点坐标为 10, 4 ，准线方程为 1 4y ；（2） 3,3 或 3 1,3 3 【解析】 【分析】 （1）将点 1,1 代入抛物线方程，可求出抛物线 E 的方程，进而可求出焦点坐标及准线方程； （2）设 2 1 1,M x x ， 2 2 2,N x x ，可表示出直线 PM 及 PN 的斜率的表达式，进而可表示出 两直线的方程，再结合直线和圆相切，利用点到直线的距离等于半径，可得 1x ， 2x 满足方程 2 2 2 0 0 01 2 3 0x x x x x ，从而得到 0 1 2 2 0 2 1 xx x x ，又直线 MN 的斜率为 1 2 3x x ， 可求出 0x 的值，即可求出点 P 的坐标. 【详解】（1）将点 1,1 代入抛物线方程得，1 2 p ，所以抛物线 E 的方程为 2x y ，焦点坐 标为： 10, 4 ，准线方程为： 1 4y ． - 17 - （2）由题意知， 2 0 0y x ，设 2 1 1,M x x ， 2 2 2,N x x ， 则直线 PM 的斜率为 2 2 0 1 0 1 0 1 PM x xk x xx x ，同理，直线 PN 的斜率为 0 2x x ， 直线 MN 的斜率为 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x ，故 1 2 3x x ， 于是直线 PM 的方程为 2 0 0 1 0y x x x x x ，即 0 1 1 0 0x x y x xx ， 由直线和圆相切，得 1 0 2 1 0 2 1 1 x x x x ， 即 2 2 2 0 1 0 1 01 2 3 0x x x x x ， 同理，直线 PN 的方程为 0 2 2 0 0x x x y x x ， 可得 2 2 2 0 2 0 2 01 2 3 0x x x x x ， 故 1x ， 2x 是方程 2 2 2 0 0 01 2 3 0x x x x x 的两根． 故 0 1 2 2 0 2 1 xx x x ，即 0 2 0 2 31 x x ， 所以 2 0 03 2 3 0x x ，解得 0 3x 或 3 3 ． 当 0 3x 时， 0 3y ；当 0 3 3x 时， 1 3y ． 故点 P 的坐标为 3,3 或 3 1,3 3 ． - 18 - 【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查直线的方程，考 查学生的计算求解能力，属于中档题. 20.自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，各地医疗物资缺乏，各生产企业纷纷加班加 点生产，某企业准备购买三台口罩生产设备，型号分别为 A，B，C，已知这三台设备均使用同 一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价 格为 100 元；也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为 200 元．为 了决策在购买设备时应同时购买的易耗品的件数，该单位调查了这三种型号的设备各 60 台， 调查每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示． 每台设备一个月中使用的易耗品的件数 6 7 8 频数 型号 A 30 30 0 型号 B 20 30 10 型号 C 0 45 15 将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立． （1）求该单位一个月中 A，B，C 三台设备使用的易耗品总数超过 21 件（不包括 21 件）的概 率； （2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同 时购买 20 件还是 21 件易耗品? 【答案】（1） 1 6 ；（2）该单位在购买设备时应同时购买 21 件易耗品 【解析】 【分析】 （1）由题中表格数据，分别求出三个型号设备在一个月使用易耗品的件数所对应的频率，设 该 单 位 三 台 设 备 在 一 个 月 中 使 用 的 易 耗 品 的 总 件 数 为 X ， 可 知 21 22 23P X P X P X ，分别求出 22P X 和 23P X ，即可求出答 案； （2）分别求出两种情况下，一个月购买易耗品所需总费用的所有可能值，并求出对应的概率， - 19 - 从而可求出两种情况的期望，比较二者大小，可得出结论. 【详解】（1）由题中表格可知， A 型号的设备一个月中使用易耗品的件数为 6 和 7 的频率均为 1 2 ； B 型号的设备一个月中使用易耗品的件数为 6，7，8 的频率分别为 1 3 ， 1 2 ， 1 6 ； C 型号的设备一个月中使用易耗品的件数为 7 和 8 的频率分别为 3 4 ， 1 4 ， 设该单位一个月中 A，B，C 三台设备使用易耗品的件数分别为 x，y，z，则 16 7 2P x P x ， 16 3P y ， 17 2P y ， 18 6P y ， 37 4P z ， 18 4P z ． 设该单位三台设备一个月中使用的易耗品的总件数为 X， 则 21 22 23P X P X P X ． 而 22 6, 8, 8 7, 7, 8 7, 8, 7P X P x y z P x y z P x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 3 7 2 6 4 2 2 4 2 6 4 48 ， 1 1 1 123 7, 8, 8 2 6 4 48P X P x y z ， 故 7 1 121 48 48 6P X ， 即该单位一个月中 A，B，C 三台设备使用的易耗品总数超过 21 件的概率为 1 6 ． （2）该单位三台设备一个月中使用的易耗品的总件数为 X，可能的取值为 19，20，21，22， 23． 1 1 3 119 6, 6, 7 2 3 4 8P X P x y z ， 20 6, 6, 8 6, 7, 7 7, 6, 7P X P x y z P x y z P x y z 1 1 1 1 1 3 1 1 3 17 2 3 4 2 2 4 2 3 4 48 ， 21 6, 7, 8 6, 8, 7 7, 6, 8P X P x x z P x y z P x y z 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 177, 7, 7 2 2 4 2 6 4 2 3 4 2 2 4 48P x y z ， 由（1）知， 722 48P X ， 123 48P X ． - 20 - 若该单位在购买设备的同时购买了 20 件易耗品，设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用 为Y 元， 则Y 的所有可能取值为 2000，2200，2400，2600． 232000 19 20 48P Y P X P X ， 172200 21 48P Y P X ， 72400 22 48P Y P X ， 12600 23 48P Y P X ， 所以 23 17 7 1 64252000 2200 2400 260048 48 48 48 3E Y ． 若该单位在购买设备的同时购买了 21 件易耗品，设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用 为 Z 元， 则 Z 的所有可能取值为 2100，2300，2500． 52100 19 20 21 6P Z P X D X P X ， 72300 22 48P Z P X ， 12500 23 48e Z P X ， 所以 5 7 12100 2300 2500 2137.56 48 48E Z ． 因为 6425 2142 2137.53 ，即 E Y E Z ，所以该单位在购买设备时应同时购买 21 件 易耗品． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的期望，考查学生的计算能力 与推理能力，属于中档题. 21.已知函数 2e 1xf x a x ． （1）若函数 f x 有两个零点，证明： 0 e 2a ； （2）设函数 f x 的两个零点为 1x ， 2 1 2x x x ．证明： 1 2 2e ex x a ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 - 21 - 【分析】 （1）参变分离可得 2 1 e x xa ，构造函数 2e 1 x xg x ，判断 g x 的单调性及图象特征，使 g x 与直线 y a 有两个交点，即满足题意，从而可证明结论； （2）易知 12 1e 1xa x ， 22 2e 1xa x ，两式相减得 1 2 1 2 2 2e ex x x xa ，要证 1 2 2e ex x a ， 即证 1 2 2 2 e ex x a ，进而可将问题转化为证明 1 2 1 21 2 2 e 1 e 1 x x x xx x ，令 1 2t x x ，则 0t ，即证 2 e 1 e 1 t tt ，进而构造函数 e 1 2e 2t tT t t ，只需证明 0T t 即可. 【详解】（1）证明：由 2e 1 0xf x a x ，可得 2 1 e x xa ， 令 2e 1 x xg x ，则 2 2 1 e x xg x ， 当 1, 2x 时， ( ) 0g x¢ > ， g x 单调递增； 当 1 ,2x 时， ( ) 0g x¢ < ， g x 单调递减； 所以 max 1 e 2 2g x g ． 又因为当 1x 时， 0g x ； 当 1x 时， 0g x ，且当 x 时， 0g x ； 所以 f x 有两个零点时， 0 e 2a ． （2）由题意知， 12 1e 1xa x ， 22 2e 1xa x ， 两式相减得： 1 22 2 1 2e ex xa x x ， 则 1 2 1 2 2 2e ex x x xa ． 要证 1 2 2e ex x a ，即证 1 2 2 2 e ex x a ， - 22 - 只需证 1 2 1 2 1 2 22 2 2 e e e ex x x x x x ， 即证 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 2 1 2 2 2 e e 2 e e 2 e 1 e e e 1e e x x x x x x x x x xx x x x . 令 1 2t x x ，则 0t ，即证 2 e 1 e 1 t tt ， 令 e 1 2e 2t tT t t ，则 1 e +1tT t t ，令 1 e +1th t t ，则 e 0th t t ， 所以 h t 在( )0,+¥ 上单调递增， 0 0h t h ，即 0 0T t T ， 所以 ( )T t 在( )0,+¥ 上单调递增， 所以 0 0T t T ，即 e 1 2e 2 0t tt ， 所以 2 e 1 e 1 t tt ， 故 2e ex x a 成立. 【点睛】本题考查函数的零点，考查利用导数证明不等式，考查学生的推理论证能力，属于 难题. 22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 14 3 2 2 3 x t y t （其中 t 为参数）.以坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 4cos ． （1）求 l 和 C 的直角坐标方程． （2）设点 4,0M ，直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，求 2 2MA MB 的值． 【答案】（1） l 的直角坐标方程为 2 2 8 2 0x y ；曲线 C 的直角坐标方程为 2 4y x ； （2）153 4 【解析】 - 23 - 【分析】 （ 1 ） 将 直 线 l 的 参 数 方 程 消 去 t 可 得 l 的 直 角 坐 标 方 程 ， 由 2sin 4cos ， 得 2 2sin 4 cos ，结合极坐标方程与直角坐标方程间的关系，转化即可. （2）将直线l 的参数方程，代入 C 的直角坐标方程中，得到关于t 的一元二次方程，结合根与 系数关系，及 22 2 2 2 1 2 1 2 1 22MA MB t t t t t t ，可求出答案． 【详解】（1）直线 l 的参数方程为 14 3 2 2 3 x t y t （其中t 为参数）， 消去t 可得l 的直角坐标方程为 2 2 8 2 0x y ； 由 2sin 4cos ，得 2 2sin 4 cos ， 则曲线C 的直角坐标方程为 2 4y x . （2）将直线 l 的参数方程 14 3 2 2 3 x t y t ，代入 2 4y x ， 得 22 3 36 0t t ，设 A，B 对应的参数分别为 1t ， 2t ， 则 1 2 3 2t t ， 1 2 18t t ， 所以 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1532 4MA MB t t t t t t ． 【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的转化，考查直线参数方程中参 数含义的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 23.已知函数 2 7 2 5f x x x （1）求函数 f x 的最小值 m； （2）在（1）的条件下，正数 a，b 满足 2 2a b m ，证明 2a b ab ． 【答案】（1） 2m ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 - 24 - （1）由 2 7 2 5 2 7 2 5x x x x ，可求出 f x 的最小值； （2）利用基本不等式可得 2 2 2a b ab ，从而可得 1ab ，即 1ab ，再结合 2 a bab ， 可得 1 2 ab a b ，结合 1ab ，可证明结论. 【详解】（1） 2 7 2 5 2 7 2 5 2f x x x x x ， 函数 f x 的最小值 2m ． （2）证明：正数 a，b 满足 2 2 2a b ， 又 2 2 2a b ab ，当且仅当 a b 时取等号，所以 1ab ，即 1ab ， 因为 2 a bab ，当且仅当 a b 时取等号， 所以 1 2 ab a b ， 又因为 1ab ，所以 1 2 ab a b ， 故 2a b ab ． 【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求最值，考查不等式的证明，考查基本不等式的应 用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题. - 25 -查看更多