2019届二轮复习抛物线提分秘籍学案（全国通用）

2019届二轮复习抛物线提分秘籍学案（全国通用）

题型一　抛物线的定义及应用 例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为 ．‎ ‎【解析】　如图，‎ 过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，‎ 则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为4.学 ‎ ‎【答案】　4‎ 引申探究 ‎1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．‎ ‎ ‎ ‎2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．‎ ‎【解析】　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．‎ 点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，‎ 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.‎ 易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，‎ 故d2＋|PF|的最小值为＝3，学, , ]‎ 所以d1＋d2的最小值为3－1.‎ 点评 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．‎ 巩固1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为 ．‎ 题型二　抛物线的标准方程和几何性质 ‎1　求抛物线的标准方程 例2　 (2017·深圳模拟)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x ‎【解析】　分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，‎ ‎【答案】　D 巩固2（2018北京文）已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 ．‎ ‎2　抛物线的几何性质 例3已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；‎ ‎(2)＋为定值；‎ ‎(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ ‎ ‎ ‎(2)＋＝＋＝.‎ 因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，‎ 得＋＝＝(定值)．‎ ‎(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，‎ 过M作准线l的垂线，垂足为N，‎ 则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.‎ 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．学 ‎ 点评(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．‎ ‎(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．‎ 巩固3 (1)(2017·广西三市调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离 的3倍，则p等于(　　)‎ A. B．1 C. D．2‎ ‎(2)(2017·郑州二模)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到 抛物线C的焦点的距离为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 题型三　直线与抛物线的综合问题 ‎1　直线与抛物线的交点问题 例4　已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．‎ 若·＝0，则k＝ .‎ ‎【答案】　2‎ 巩固4（2018全国新课标Ⅰ理）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交 于M，N两点，则=（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎2　与抛物线弦的中点有关的问题 例5(2016·全国Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点， ‎ 学 ]‎ 交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎ ‎ ‎(2) 【解析】　设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，‎ 则S△ABF＝|b－a FD|＝|b－a|，‎ S△PQF＝.‎ 由题意可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，‎ 由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)． 学 ]‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合，‎ 此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.‎ 所以所求轨迹方程为y2＝x－1.‎ 点评(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．学 ‎ ‎(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．‎ 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．‎ 变式：（2018北京理）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． ‎ ‎（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．‎ ‎（2）设，．‎ 由（1）知，，直线的方程为．‎ 令，得点的纵坐标为．‎ 同理得点的纵坐标为．‎ 由，得，．‎ ‎，‎ 所以为定值． 学 ‎ ‎【答案】（1）取值范围是；（2）证明过程见解析．‎ 巩固5(2018届武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.‎ ‎(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；‎ ‎(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程 答案与解析 巩固1【解析】如图，‎ ‎【答案】 巩固2【解析】，，由抛物线方程可得，，，，‎ 焦点坐标为．‎ ‎【答案】‎ 巩固3(1)【解析】由题意得3x0＝x0＋，即x0＝，‎ 即A，代入抛物线方程，得＝2，‎ ‎∵p>0，∴p＝2.故选D.‎ ‎【答案】　D ‎(2)【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D，E.∵|PA|＝‎ |AB|，‎ ‎∴又得x1＝，‎ 则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.‎ ‎【答案】　A 巩固4【解析】 由题意知直线的方程为，设，与抛物线方程联立有，可得或，‎ ‎∴，∴.学 ‎ ‎【答案】：D ‎ ‎ ‎(2)设切线AN为y＝x＋b，又切点A在抛物线y＝上，‎ ‎∴y1＝，∴b＝－＝－，‎ ‎∴yAN＝x－.同理yBN＝x－.‎ 又∵N在yAN和yBN上，‎ ‎∴解得N.∴N(pk，－1)．‎ ‎|AB|＝|x2－x1|＝，‎ 点N到直线AB的距离d＝＝，‎ S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，‎ ‎∴2＝4，∴p＝2，‎ 故抛物线C的方程为x2＝4y.‎