高中数学高频错题(供参考)
填充题专项训练(1)
1．已知 ( )f x 是定义在（-3，3）上的奇函数，当 0
0 的解集为
。
2,12,3
2．设不等式 0122 mxmx 对于满足 2|| m 的一切 m 的值都成立，x 的取值范
围 。 31,17
3．已知集合 A＝｛(x,y)｜
1
3
x
y ＝2,x、y∈R｝，B＝｛(x,y)｜4x+ay＝16,x、y∈R｝，
若 A∩B＝ ，则实数 a 的值为 4 或-2 .
4．关于函数
3( ) 2sin(3 )
4
f x x
，有下列命题：①其最小正周期是
2
3
；②其图象可由
xy 3sin2 的 图 象 向 左 平 移 4
个 单 位 得 到 ； ③ 其 表 达 式 可 改 写 为
)43cos(2 xy ；④在 x [ 12
， 12
5
]上为增函数．其中正确的命题的序号是：
1 ,4 ．
5．函数 3)4cos(222sin)( xxxf
的最小值是 222
6．对于函数 xxxf sincos)( ，给出下列四个命题：①存在 （0， 2
），使
3
4)( f ；
②存在 （0，
2
），使 )3()( xfxf 恒成立；③存在 R，使函数 )( xf
的图象关于 y 轴对称；④函数 )(xf 的图象关于（ 4
3
，0）对称．其中正确命题的序号是
1,3,4 ．
7．点 A 在以原点为圆心的圆周上依逆时针方向作匀速圆周运动。已知点 A 从 x 轴正半轴出发一
分钟转过θ(0<θ<π)角，2 分钟到达第三象限，14 分钟回到原来的位置，则θ=
7
5
7
4 或 。
8．函数 f(x)=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值为___7_____。
9．已知 的值为
26
3512 。
10．已知向量 )1,1(a
， )3,2(b
，若
b2ak 与
a 垂直，则实数k 等于 -1
备用题：
1．若 )(xf 是 R 上的减函数，且 )(xf 的图象经过点 A （0，4）和点 B （3，－2），则不等式
3|1)tx(f| 的解集为（－1，2）时， t 的值为 1
sin),2,0(12
5)3cos( 则且 ，
2．若 )cos(cos ，则α的取值范围是： zkkk )2
32,22(
3．已知向量 )sin,(cosa
,向量 )1,3(b
则 |ba2|
的最大值是 4 _____
4．有两个向量
1e )0,1( ，
2e )1,0( 。今有动点 P ，从 0 ( 1,2)P 开始沿着与向量
1e +
2e 相同
的方向作匀速直线运动，速度为|
1e +
2e |；另一动点 Q ，从 0 ( 2, 1)Q 开始沿着与向量 1 23 2e e 相
同的方向作匀速直线运动，速度为|3
1e +2
2e |．设 P 、 Q 在时刻 0t 秒时分
别在 0P 、 0Q 处，则当
00QPPQ 时， t 2 秒．
5．若平面向量
b 与向量
a )2,1( 的夹角是 180 ，且 53b
，则
b ＝(-3,6)
6． (.有一批材料可以建成 200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，
中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的
矩形最大面积为__2500____围墙厚度不计).
7．求函数 xxxxy cossincossin 的最大值为
2
22
8．向量
a ,
b 满足 4)ba2()ba(
，且 2a
， 4b
,则
a 与
b 夹角等于
3
2
9．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·(b/5) ＝-36，则 a 与 b 的夹角是_____ 120
作业
1．已知
,0,1
,0,1)( x
xxf 则不等式 )2()2( xfxx ≤5 的解集是 ]2
3,(
2．已知 f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0 的解集是(a2，b)，g(x)＞0 的解集是(
2
2a ，
2
b )，则 f(x)·g(x)
＞0 的解集是___ )2,(),2(
22 abba _______.
3．函数 xy sinlog
2
1 的定义域是 zkkk )2,2(
4．函数 xxy 2cos)1(tan 的最大值是___
2
12 ____________.
5．已知平面上直线l 的方向向量 )3,4(e
，点 O(0,0)和 A(1,-2)在l 上的射影分别是 O1 和 A1，
则
11AO 2
6．不等式 aa
1ax 的解集为 M ，且 M2 ，则 a 的取值范围为 ),12[
7．若 x∈[-1，1 ) ，则函数
2 2 2( ) 2( 1)
x xf x x
的最大值_____-1____________。
8．在△ABC 中，若∠B=40°，且 )sin()sin( CACA ，则 A 90 ；Ｃ＝ 50
9．在 ABC 中， A B C, , 为三个内角，若 cot cot 1A B ，则 ABC 是_______钝角三角形
(填直角三角形 钝角三角形锐角三角形 )
10．平面向量
a ,
b 中，已知
a )3,4( ， 1b
，且 5ba
，则向量
b = )5
3,5
4(
填充题专项训练(2)
1．对于函数 f1(x)=cos(π+x),f2(x)=x2sinx,f3(x)=|sinx|, f4(x)=cos(π/2-x),任取其中两个相乘所得的若干个
函数中，偶函数的个数为（3）
2．不等式 112 xx 的解集为
解：①当 012 x 即 1x 或 1x 时
原式变形为 112 xx 即 022 xx 解得 2x 或 1x ∴ 2x 或 1x
②当 012 x 即 11 x 时
原式变形为 11 2 xx 即 02 xx ∴ 10 x
综上知：原不等式解集为 2{ xx 或 0x 且 }1x
3．已知向量 ))3(,5(),3,6(),4,3( mmOCOBOA ．若△ABC 为直角三角形，且
∠A 为直角，则实数 m 的值为 。
解：若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则 ACAB ，∴3(2 ) (1 ) 0m m ，
解得
4
7m
4．已知ΔABC 中，A、B、C 分别是三个内角，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知 2 2（sin2A-sin2C）
=(a-b)sinB,ΔABC 的外接圆的半径为 2 ，则角 C= 。
解：2 2 （sin2A-sin2C）=(a-b)sinB,
又 2R=2 2 ，由正弦定理得：2 2
22 )2()2( R
c
R
a =(a-b)
R
b
2 ,
∴a2-c2=ab-b2, a2+b2-c2=ab
结合余弦定理得:2ab cosC=ab,∴cosC=
2
1 又∵0＜C＜π,
∴C=
3
5．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，且 cosA= 3
1 ，则 sin2
2
B C +cos2A 的值
解: ACB 2cos2sin 2 = )1cos2()]cos(1[2
1 2 ACB
= )1cos2()cos1(2
1 2 AA = )19
2()3
11(2
1 =
9
1
6 ． 已 知 平 面 向 量 ( 3, 1)a ， 1 3( , )2 2b ， 若 存 在 不 同 时 为 零 的 实 数 k 和 t ， 使 x
= a
)3( 2 t b
，y k a
tb ，且 x y，则函数关系式 k= （用 t 表示）；
7．已知向量 a＝(cos 2
3 x，sin 2
3 x)，b＝( 2sin2cos xx ， )，且 x∈[0，
2
]．若 f (x)＝a · b－2 ｜
a＋b｜的最小值是
2
3－ ，则 的值为 ．
解：a · b xxxxx 2cos2
1sin2
3sin2
1cos2
3cos
| a＋b | |cos|22cos22)2
1sin2
3(sin)2
1cos2
3(cos 22 xxxxxx
]20[ ，x ∴cos x≥0，因此| a＋b |＝2 cos x
∴f (x)＝a · b－2 ｜a＋b｜即 22 21)(cos2)( xxf
]20[ ，x ∴0≤cos x≤1
①若 ＜0，则当且仅当 cos x＝0 时，f (x)取得最小值－1，这与已知矛盾
②若 0≤ ≤1，则当且仅当 cos x＝ 时，f (x)取得最小值 221 ，
综上所述，
2
1 为所求
8．已知 BAx
xxBaxxA
若},12
12||},2||{ ，则实数 a 的取值范围为
. 解：由 ,222|| axaax 得 A={x|a-20）的定义域为 0, 2
，值域为 5,4 ，
则函数 ( ) sin 2 cosg x m x n x （ x R ）的最小正周期为 最大值为
最小值为 。
解： )62sin(22cos2sin3)( xmnmxmxmxf m n
0, 2x
72 ,6 6 6x
1sin(2 ) ,16 2x
因为 m ＞0， max( )f x 4)2
1(2 nmm ， 5)( min nmxf
解得 2,3 nm ，从而， ( ) 3sin 4cos 5sin( )g x x x x ( )x R ，
T= 2 ，最大值为 5，最小值为－5；
2．记函数 f(x)=
1
32
x
x 的定义域为 A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为 B.若 B A,
则实数 a 的取值范围是 。.
解: 2－
1
3
x
x ≥0, 得
1
1
x
x ≥0, x<－1 或 x≥1，即 A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞]
由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.
若 a<1,则 a+1>2a, 则 B=(2a,a+1).
因为 B A, 所以 2a≥1 或 a+1≤－1, 即 a≥
2
1 或 a≤－2, 而 a<1,
若
2
1 ≤a<1 或 a≤－2, 故当 B A 时, 实数 a 的取值范围是(－∞,－2)∪[
2
1 ,1]。
3．已知函数
x
xxxf 2cos
4sin5cos6)(
24 ，则函数 f(x)的值域 .
解：
2202cos kxx ，得 )(22 Zkkx
化简得 ).42(2
12cos2
3)( kxxxf
所以 ]2,2
1()2
1,1[, 值域为
4．设函数 f(x)=a·b，其中向量 a=(2cosx，1)，b=(cosx， 3 sin2x)，x∈R. f(x)=1- 3 且 x∈[-
3
，
3
]，则 x= 。
解：f(x)=2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+
6
).
由 1+2sin(2x+
6
)=1- 3 ，得 sin(2x+
6
)=-
2
3 .
∵-
3
≤x≤
3
，∴-
2
≤2x+
6
≤
6
5 ，∴2x+
6
=-
3
，
即 x=-
4
.
5．已知点 A(1, －2),若向量 AB 与 a =（2,3）同向, AB =2 13 ,则点 B 的坐标为
解：∵向量 AB 与 a ={2,3}同向， AB =2 13
∴ AB =（4，6）∴B 点坐标为：（1，-2）+（4，6）=（5，4）
6．不等式 1232
ax
ax 的解集为
解：原不等式等价于
1332
1332
ax
ax
ax
ax
；移项，通分得
( 3) 0
3[ ( 1)] 0
x a
x a
x a
x a
①
②
由已知 0a ，所以解①得 3 axa ；解②得 1 ax 或 ax
故原不等式的解集为 }31|{ axax
7． 已知| a |=4，|b |=3，（2 a －3b ）·（2 a +b ）=61，则 a 与b 的夹角θ= .
解：∵（2 a －3b ）·（2 a +b ）=61，∴ .61344
22
bbaa
又| a |=4，|b |=3，∴ a ·b =－6. ,2
1
||||
cos
ba
ba
∴θ=120°.
8．已知 x≥0，y≥0，则 )(4
1)(2
1 2 yxyx x xyy （比较大小）
可用特殊值法快速解答：令 x=y=0 和 x=0, y=1 可知道是大于或等于。
9．把函数 y=cosx- 3 sinx 的图象向左平移 m 个单位（m＞0）所得的图象关于 y 轴对称，则 m 的
最小值是 2π/3 。
解：由 y=cosx- 3 sinx 得 y=2cos(π/3+x)所以当 m=2π/3 时得 y=2cos(π+x)=2cosx
10. 已知二次项系数为正的二次函数 )(xf 对任意 Rx ，都有 )1()1( xfxf 成立，设向量
a （sinx，2），
b （2sinx，
2
1 ），
c （cos2x，1），
d （1，2），当 x [0， π ]时，不等式
f（
a b ）＞f（
c d ）的解集为 。
解：设 f（x）的二次项系数为 m，由 x 的任意性得 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称，
因 m＞0，则 x≥1 时，f（x）是增函数．
∵ (sin x
a b ， xsin2()2 ， 11sin2)2
1 2 x ，
(cos 2x
c d ， 1()1 ， )2 122cos x ，
∴ 2( ) ( ) (2sin 1) (cos 2 1)f f f x f x
a b c d 1sin2 2 x
02cos222cos12cos122cos xxxx 02cos x
2
ππ2 k 2
3ππ22 kx ， Zk ． ∵ π0 x ，
∴
4
π3
4
π x ．所以, ( ) ( )f f
a b c d 的解集是 }4
π3
4
π|{ xx ；
填空题训练（3）
复习目标：本专题为常规题型，通过本专题的复习，旨在培养学生解答填空题的基本素养：
审题要仔细，要求要看清，书写要规范，小题要小（巧）做。
一、典型例题
例 1.等差数列 na 的前 3 项和为 21，其前 6 项和为 24，则其首项 1a 为 ；数列｛︱
na ︳｝的前 9 项和等于 . ( 9 ; 41 )
例 2.数列 na 的前 n 项和 2 2 5nS n n ，则 6 7 8a a a =_________________。( 45 )
例 3. 设 x，y，z 为实数，2x，3y，4z 成等比数列，且
x
1 ，
y
1 ，
z
1 成等差数列，则
x
z
z
x 的值
是 . (
2
5 )
例 4. 在一次投篮练习中，小王连投两次，设命题 p ：“第一次投中”命题 q ：“第二次投中”。试
用 p 、 q 和联接词“或、且、非”表示命题“两次恰有一次投中”。______________________
( pq 或 pq )
例 5.设函数 )(xf = xx 22 log)1(log2 ，则 )(xf 的定义域是 .； )(xf 的最小
值是 .
( 0xx ; 2 )
例 6.已知 a ＞1，0＜x＜1，且 )1(log xba ＞1，那么 b 的取值范围是 . （0 ，1）
例 7.设函数 .)(
).0(1
),0(12
1
)( aaf
xx
xx
xf
若 则实数 a 的取值范围是 .
（ )1,( ）
例 8.若函数 )(xfy 的定义域为 R，且满足下列三个条件：
（1） 对于任意的 xR ，都有 )()4( xfxf ；
（2） 对于 2,0 内任意 21, xx ，若 21 xx ，则有 )21 ()( xfxf ；
（3） 函数 )(xfy 的图象关于 y 轴对称，
则 )5.4(f ， ),5.6(f )7(f 的大小顺序是
（ )5.4(f 〈 )7(f 〈 )5.6(f 〉
例 9.已知函数 )(xf 与 )(xg 的图象关于直线 xy 对称，函数 )(xh 的反函数是 )2( xg ，如果
7)3( f ，则 )3(h 的值为 。 （ 9 ）
例 10.等差数列 na 的前项和为 nS ,且 824 aa , 2653 aa .记 2
n
n
ST n
,如果存在正整数 M,
使得对一切正整数 n, MTn 都成立.则 M 的最小值是 . （ 2 ）
作业:
1.已知数列 na 的通项公式 11 2na n ，则 1 2 3 20a a a a _________________。
( 250 )
2. 若 互 不 相 等 的 实 数 a 、 b 、 c 成 等 差 数 列 ， a 、 c 、 b 成 等 比 数 列 ， 则 a ： b ：
c =_________________。 ( 4：1：（ 2 ） )
3. 若 ns 是数列 na 的前 n 项的和, 2
nS n ,则 765 aaa = （ 33 ）
4. 设数列 na 的通项公式为 2nan ( )n n N 且 na 满足 1a ＜ 2a ＜ 3a ＜…＜ na ＜ 1na
＜…，则实数 的取值范围是 . （ ＞－3 ）
5. 函 数 ]1,0[)1(log)( 2 在 xaxf a 上 的 最 大 值 和 最 小 值 之 和 为 a ， 则 a 的 值 为
________________ （
2
1 ）
6.已知 { | 1}A x x ， 2{ | ( 2) 2 0}B x x a x a ，且 { | 2}A B x x ，则 a 的取值范
围是_______________。 ( ( ,1] )
7.已知 a＞0，b＞0，a、b 的等差中项是
2
1 ，且
aa 1 ，
bb 1 则 的最小值
是 . （ 5 ）
8.函数 92 2 xy ( 3x )的反函数是 。
（ 1342 xxy )2( x ）
9. 已知函数 )(xfy 是奇函数，当 0x 时, 13)( xxf ，设 )(xf 的反函数是 y=g(x)，则 g(－
8)= . ( -3 )
10．在函数 f x ax bx c( ) 2 中，若 a，b，c 成等比数列且 f ( )0 4 ，则 f x( ) 有最______
值（填“大”或“小”），且该值为______
( 大 , -3 )
备用题
1、在项数为 2 1n 的等差数列中，所有奇数项和为 165，所有偶数项和为 150，则 n =___________
答：10
2、等差数列的前 15 项的和为 67 ，前 45 项的和为 405，则前 30 项的和为___________
答：68
3、设等差数列 na 的公差为 0d ，又 1a 、 2a 、 9a 成等比数列，则 1 3 9
2 4 10
a a a
a a a
=____________
答： 7
9
4、已知数列 na ， 98 ( )
99n
na n
n
N ，则在数列 na 的前 30 项中 ，最大项和最小项分
别为_________
答： 10a ， 9a
5、已知数列 na ， 1
1na n
n n
N ，且数列 na 的前 n 项和为 9ns ，那么 n 的值
为__________
答：99
6、等差数列 na 中， 20S =180，则 5 10 11 16a a a a =_______________。答：36
7 、 等 差 数 列 na 中 ， 1 2 60 600a a a ， 公 差 2d ， 则
1 4 7 58a a a a _________________。
答：160
8、设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 3a 12， 12 0S ， 13 0S ，则 1S ， 2S ，， 12S 中，
_________________最大。
答： 6S
9、关于数列有下面四个判断：
①若 a 、b 、 c 、 d 成等比数列，则 a b 、b c 、 c d 也成等比数列；
②若数列 na 既是等差数列，又是等比数列，则 na 是常数列；
③若数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1( )n
nS a a R ，则 na 为等差或等比数列；
④若数列 na 为等差数列，公差不为零，则数列 na 中不含有 ( )m na a m n ；
其中正确判断的序号是_____________
答：② ④
10、设函数 ( )f x 的定义域为 D ，如果对于任意 1x D ，存在唯一 2x D ，使 1 2( ) ( )
2
f x f x C
（ C 为 常 数 ） 成 立 ， 则 称 ( )y f x 在 D 的 均 值 为 C 。 给 出 下 列 四 个 函 数 ：
① 3y x ② 4siny x ③ lgy x ④ 2xy ，则满足在其定义域上均值为 2 的函数的序号是
____________
答：①③
11、不等式 3
2x ax 的解集为 (4, )b ，则 a ______ b ______
答： 1
8a 36b
12、设集合 ( 3)
2{5,log }, { , }aA B a b ，若 2A B ，则 A B ____________。
答：{5,1,2}
13、若函数 2( )f x x bx c 对任意实数t ，都有 (3 ) (3 )f t f t 。则 (0), (3), (4)f f f 的
大小关系是______________
答： (3) (4) (0)f f f
14、已知偶函数 ( )f x 在 0x 时有 4( )f x x x
，则在区间[ 3, 1] 内 ( )f x 的最大值与最小值
之差等于_______________
答：1
15、不等式 11
ax
x
的解集是{ | 1x x 或 2}x ，则 a _________。
答： 1
2
填空题（4）（集合、逻辑、函数、数列、导数）
复习目标：本专题主要为新颖填空题和导数部分，通过本专题的复习，旨在培养学生的阅
读能力、数形结合和运用数学知识解决实际问题的能力以及一些非常规问题的解法。
典型例题
例 1.已知下列四个函数:(1) 21 xy ; (2) )2(log
2
1 xy ; (3) 21
1
xy ; (4) 123 xy 其
中图象不经过第一象限的函数有 (注:把你认为符合条件的函数的序号都填上)
（ （2），（3） ）
例 2.设集合 2 2, 1, ,M x y x y x R y R ， 2, 0, ,N x y x y x R y R ， 则集合
M N 中元素的个数为 . （ 2 ）
例 3. 定 义 在 R 上 的 函 数 ( )f x 满 足 1 1( ) ( ) 22 2f x f x ， 则
1 2 7( ) ( ) ( )8 8 8f f f ____________。 ( 7 )
例 4. 已 知 函 数 kxyxy 与
4
1log 的 图 象 有 公 共 点 A ， 且 点 A 的 横 坐 标 为 2 ， 则
k = . （
4
1 ）
例 5.给出下面四个命题：
（1） 若 2)1()( xxf ，则 )(' xf )1(2 x ；
（2） 函数 )1lg()( 2 xxf 的值域为 R ；
（3） 数列 naaaa ,,,, 32 一定为等比数列；
（4） 两个非零向量 ),(),,( 2211 yxbyxa ，若 a ∥b ，则 01221 yxyx
其中正确的命题有 . （ （2），（4） ）
例 6.曲线 23
1 3 xy 在点（
3
5,1 ）处的切线的倾斜角是 . （
4
3 ）
例 7.若函数 )0(,1)1(3)( 223 kkxkkxxf 的单调递减区间是（0 ，4），则 k 的值
是 . （
3
1 ）
例 8.设 xR ， x 表示不大于 x 的最大整数，如 3 ， 22.1 ， 02
1
，则使
312 x 成立 x 的取值范围是 . （ 25 ， 52， ）
例 9.已知 1a ， 2a ， 3a ， 4a ， 5a ， 6a ， 7a ， 8a 为各项都大于零的数列，命题①： 1a ， 2a ， 3a ，
4a ， 5a ， 6a ， 7a ， 8a 不是等比数列；命题②： 81 aa ＜ 4a + 5a 则命题②是命题①
的 .条件。 （ 充分不必要 ）
例 10.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这
个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列{ }an 是等和数列，且 a1 2 ，公和为 5，那么 a18 的值为______________，这个数
列的前 n 项和 Sn 的计算公式为________________ （3，
为奇数）（
为偶数）
nn
nn
Sn
(22
)15
(2
5
）
作业:
1. 一张厚度为 0.1mm 的矩形纸，每次将此纸沿对边中点连线对折，一共折叠 20 次（假定这样的
折叠是可以完成的），这样折叠后纸的总厚度 1h 与一座塔的高度 2h =100m 的大小关系
为 . ( > )
2.删去正整数数列 1、2、3、4…中所有能被 100 整除的数的项，得到一个新数列，则这个新数列
的第 2005 项是 . ( 2025 )
3. 对任意实数 x、y，定义运算 x*y=ax+by+cxy，其中 a、b、c 为常实数，等号右边的运算是通常
意义的加、乘运算。现已知 1*2=3，2*3=4，且有一个非零实数 m，使得对任意实数 x，都有 x*m=x，
则 m= . ( 4 )
4. 函数 14 34 xxy 的极值是 . ( 极小值-26 )
5. 若直线 xy 是曲线 axxxy 23 3 的切线，则 a （1 或
4
13 ）
6. 已知曲线
3
2: 3 xxyc 及点 2(0, )3
,则过点 P 的曲线 c 的切线方程是 .
（ 0233 yx ）
7. 设集合 2cos ,( , ) 2sin
xA x y y
( 20 )
,集合 222 )4()3(),( ryxyxB .
若 BA 中有且只有一个元素,则正数 r 的取值范围是 （ 3 或 7 ）
8. 如果函数 )1)(1( xxy 的图象在 x 轴上方,那么该函数的定义域可以是
（ （ ），（）， 111 的任一子集 ）
9.已知函数 )(xfy 的反函数为 )1(log1 xy a ( 1,0 aa 且 ),则函数 )(xfy 的图象必
过定点 . （ （1，0） ）
10. 设 )(1 xf 是 函 数 f(x)= x 的 反 函 数 ， 则 )(1 xf 与 12)( xxg 的 大 小 关 系
是 . （ ）
备用题
1. 定 义 符 号 函 数
1 ( 0)
sgn 0 ( 0)
1 ( 0)
x
x x
x
， 则 不 等 式 sgn( 2) (2 1) xx x 的 解 集 是
________________
答： 3 33( ,3)4
2.如果 3 23( ) 2f x x x a 在 [ 1,1] 上的最大值 是 2，那么 ( )f x 在 [ 1,1] 上的最小值 是
__________
答： 1
2
3.将正奇数按下表排成 5 列
那么，2005 应在
第______行______列。
答： 251 行第 4 列
4. 若数列 na n N 是等差数列，则有数列 1 2 n
n
a a ab n
n N 也为等差数列，
类 比 上 述 性 质 ， 相 应 的 ， 若 数 列 { }nc 是 等 比 数 列 ， 且 0nc n N ， 则 有
nd ____________ n N 也是等比数列。
答： 1 2
n
n nd c c c
5.从 2001 年到 2004 年间，王先生每年 7 月 1 日都到银行存入 a 元的一年定期储蓄，准备为孩子
读大学用。若年利率为 g（扣税后）保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年的
定期，到 2005 年 7 月 1 日，其不再去银行存款，而将所有存款本息取回，则取回的总金额
是______________
答：
5(1 ) (1 )a g a g
g
6.某林场去年年底木材存量为 a （立方米），若森林以每年 25%的增长率生长，每年冬天要砍伐
的 木 材 量 为 x （ 立 方 米 ）， 设 经 过 n 年 林 场 木 材 的 存 量 为 ( )f n ( )n N ， 则
( )f n =_____________
答： 5 54 44 4
n n
a x x
7. 2000 年某内河可供船只航行的河流段长为 1000 千米，由于水资源的过度使用，促使河水断
流。从 2000 起该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的 2
3
，则到 2009 年，该内河
可供船只行驶的河段长度为___________
答： 92 512000( ) 1000 263 19683
三角函数专题
第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列
第 1 行 1 3 5 7
第 2 行 15 13 11 9
第 3 行 17 19 21 23
第一课时
例 1. 的值。，求，已知 cos)24
3(5
32sin
解： ，，所以因为 22
3
24
3
，，又因为所以
24
3
5
42sin12cos 2
。所以
10
10
2
2cos1cos
例 2. 的值。，求，，且已知
x
xxx tan1
tan1)4
3
4(13
5)4sin(
解： ，，所以，，且因为
42)4
3
4(13
5)4sin( xxx
13
12)4cos( x所以 ，
tan tan1 tan 124 tan( ) cot( )1 tan 4 4 51 tan tan4
π xx π πx xπx x
所以 。
例 3. 的值。及、，求，，已知 33 cossincossin)0(3
2cossin
解： ，，，又因为平方得因为 )0(18
5cossin)1(3
2cossin
，，，由此可解得所以
6
142cos6
142sincos0sin
。
27
23)coscossin)(sincos(sincossin 2233
例 4. 的值。，求，已知 )42cos(22
3
5
3)4cos(
解： ，因为
22
3,25
71)4(cos2)4(2cos 2
，，从而，且
5
4)4sin(4
3
44
705
3)4cos(
，所以
25
24)4cos()4sin(2)4(2sin
。250
31)]4(2sin)4(2[cos2
2]4)4(2cos[)42cos(
备用题 1.
。，，已知 )20(2)tan1(cos)cot1(sin 22 求 tan 的值。
解：由 )20(2)tan1(cos)cot1(sin 22 ，，已知 得
，2tancoscoscotsinsin 2222 即
， 2222 cossintancoscotsin
两边同时除以 2cos 得 01tan2tan 2 ， 1tan 。
(本题也可以进行切割化弦，进而求 tan 的值。)
备用题 2.
的两根，是方程，且已知 02
140cos)40cos2(sin,sin900 2 xx
的值。求 )2cos(
解：由题设知，
40sin2)2
140(cos440cos2sinsin 222，因为方程的 ，
由求根公式，
， 5sin)4045sin()40sin40(cos2
2sin ，，所以又 5900
， 85sin)4045sin()40sin40(cos2
2sin ，，所以又 85900
。所以
4
2675cos)75cos()2cos(
作业 1. 的值。和，求，，已知 cossin13
5)sin(5
3cos20
解： ，，所以，因为
5
4cos1sin205
3cos 2
，，因为，所以又因为 013
5)sin(2
3
220
，所以
13
12)(sin1)cos( 2
。
65
16sin)sin(cos)cos(])cos[(cos
作业 2. 的值。，求已知 2cos)22cos(2tan
解： 2 2cos( 2 ) cos2 sin 2 cos2 cos 2sin cos sin2
π α α α α α α α α
2 2 2
2 2 2
cos 2sin cos sin 1 2tan tan 1
cos sin 1 tan 5
α α α α α α
α α α
。
作业 3.
的值。的两根，求是方程，若
tan1
cos
cot1
sin0)13(2cossin 2
mxx
解：
cossin
cossin
sincos
cos
cossin
sin
tan1
cos
cot1
sin 2222
。
2
13cossin
作业 4. ，，，且，已知
2022
1)2sin(7
72)2cos(
的值。的值；求： )tan()2(2cos)1(
解：(1)因为 02 2 4 2 4 2 2
π π π β π α πα π β α π β ， ，所以 ， ，
，，所以
2
3)2(sin1)2cos(7
21)2(cos1)2sin( 22
，又因为 )2()2(2
)2sin()2sin()2cos()2cos()]2()2cos[(2cos 所以
。
14
21
(2) ，，所以因为
14
75
2cos12sin4
3
24
2
。，所以
11
35
2tan1
2tan2
)tan(3
35
2tan
2
第二课时
例 1．已知 1 1tan tan7 3α β ， ，且 α β， 为锐角，试求 2α β 的值。
解： 1 1tan tan7 3α β < 1， < 1，且 α β， 为锐角，所以
30 0 0 24 4 4
π π πα β α β ， ， ， 2
2tan 3tan 2 1 tan 4
ββ β
，
tan tan 2tan( 2 ) 11 tan tan 2
α βα β α β
，所以 2 4
πα β 。
例 2．求证： 2 2 2(3 cos4 )tan cot 1 cos4
xx x x
。
证明：左边=
2 2 4 4 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
sin cos sin cos (sin cos ) 2sin cos
1cos sin sin cos sin 24
x x x x x x x x
x x x x x
2
2 2
11 sin 2 8 4sin 2 4 4cos 2 4 2(1 cos4 )2
1 1 cos4 1 cos4 1 cos4(1 cos4 )8
x x x x
x x xx
2(3 cos4 )
1 cos4
x
x
=右边，原式得证。
例 3．求函数 21 sin cos (sin cos )y x x x x 的值域。
解：设 sin cos 2 sin( ) [ 2 2]4
πt x x x ， ，则原函数可化为
2 21 31 ( )2 4y t t t ，因为 [ 2 2]t ， ，所以
当 2t 时， max 3 2y ，当 1
2t 时， min
3
4y ，
所以，函数的值域为 3[ 3 2]4y ， 。
例 4．已知 siny a x b 的最大值为 3，最小值为－１，求 a b， 的值。
解：当 0a 时，由 3 2
1 1
a b a
a b b
得 ，当 0a 时，由 3 2
1 1
a b a
a b b
得 ，
所以， 2 1a b ， 。
备用题 1．已知 1 1tan( ) tan (0 )2 7α β β α β π ， ，且 ， ， ，求 2α β 的值。
解： tan 2( ) tantan(2 ) tan[2( ) ] 1 tan 2( ) tan
α β βα β α β β α β β
，
又 2
2tan( ) 4tan 2( ) 1 tan ( ) 3
α βα β α β
，
4 1
3 7tan(2 ) 14 11 3 7
α β
，
而 tan( ) tan 1tan tan[( ) ] 1 tan( ) tan 3
α β βα α β β α β β
， (0 )α β π， ， ，所以 0 4
πα ，
所以 1 3tan 2 0 27 2 4
π πβ β π π α β α β ，所以 ， ，所以 。
备用题 2．已知 2tan 2 tan tanβ α β ，求证：| tan( ) | 1α β 。
证明： 2tan 2 tan tanβ α β ，所以
2
2 2
4tan tan (3 tan )tan 2tan 2 tan tan1 tan tan
β β βα β β ββ β
，1-
所以，
2
22
2 2 2
2
tan (3 tan ) tantan tan 2tan (1 tan )tantan( ) tan (3 tan )1 tan tan (1 tan )1 tantan
β β βα β β ββα β β βα β βββ
1-
1-
22
2
sin22tan cos sin 2sin1 tan 1 cos
β
β β βββ
β
又| sin 2 | 1β ，所以| tan( ) | 1α β 。
作业 1．已知 α β， 都是锐角，且 2 23sin 2sin 13sin 2 2sin 2 0α β α β ， ，求 2α β 。
解：由题意， 23sin cos2 sin 2 sin 2α β α β 3， ，2
所以 2 3cos( 2 ) cos cos2 sin sin 2 cos 3sin sin sin 22α β α β α β α α α α
2cos 3sin 3sin sin cos 0α α α α α ，又因为 α β， 都是锐角，所以 30 2 2
πα β ，
所以， 2 2
πα β 。(也可以用 sin( 2 )α β 、 tan( 2 )α β 来求)
作业 2．求函数 sin cos sin cosy x x x x 的值域。
解：设 sin cos 2 sin( ) [ 2 2]4
πt x x x ， ，则
21sin cos 2
tx x ，
原函数可化为
2
21 1 ( 1) 12 2 2
ty t t
当 t=1 时， max 1y ，当 2t 时， min
1 22y ，所以，函数值域为 1[ 21]2y ， 。
作业 3．求函数 3sin 1( ) sin 2
xf x x
的最大值与最小值。
解： 3sin 1 7( ) 3sin 2 sin 2
xf x x x
，当sin 1x 时， max
7 2( ) 3 1 2 3f x
，
当sin 1x 时， min
7( ) 3 41 2f x
。
作业 4．求证： sin sin(2 ) 2cos( )sin sin
β α β α βα α
。
证明： sin(2 ) sin[( ) ] 2cos( )sin2cos( )sin sin
α β α β α α β αα βα α
sin( )cos cos( )sin sin[( ) ] sin
sin sin sin
α β α α β α α β α β
α α α
，
所以，左边=右边，原式得证。
第三课时
例 1．求函数 2 2 7( ) 5 3 cos 3sin 4sin cos ( )4 24
π πf x x x x x x 的最小值，并求其单调
区间。
解： 2 2 7( ) 5 3 cos 3sin 4sin cos ( )4 24
π πf x x x x x x
3 3 2sin 2 2 3 cos2 3 3 4sin(2 )3
πx x x
因为 7
4 24
π πx ，所以 26 4 4
π π πx ，所以 1 2sin(2 ) [ ]3 2 2
πx ， ，
所以，当 2 3 4
π πx ，即 7
24
πx 时， ( )f x 的最小值为3 3 2 2 ，
因为 7sin(2 ) [ ]3 4 24
π π πy x 在 ， 是单调递增的，所以 7( ) [ ]4 24
π πf x 在 ， 上单调递增。
例 2．已知函数 2( ) 4sin 2sin 2 2f x x x x R ， 。
(1) 求 ( )f x 的最小正周期、 ( )f x 的最大值及此时 x 的集合；
(2) 证明：函数 ( )f x 的图像关于直线
8
πx 对称。
解： 2 2( ) 4sin 2sin 2 2 2sin 2(1 2sin )f x x x x x
2sin 2 2cos2 2 2 sin(2 )4
πx x x
(1)所以 ( )f x 的最小正周期T π ，因为 x R ，
所以，当 2 24 2
π πx kπ ，即 3
8
πx kπ 时， ( )f x 最大值为 2 2 ；
(2)证明： 欲证明函 数 ( )f x 的图像 关于直线
8
πx 对称， 只要证明 对任意 x R ，有
( ) ( )8 8
π πf x f x 成立，
因为 ( ) 2 2 sin[2( ) ] 2 2 sin( 2 ) 2 2 cos28 8 4 2
π π π πf x x x x ，
( ) 2 2 sin[2( ) ] 2 2 sin( 2 ) 2 2 cos28 8 4 2
π π π πf x x x x ，
所以 ( ) ( )8 8
π πf x f x 成立，从而函数 ( )f x 的图像关于直线
8
πx 对称。
例 3．已知函数 2( ) 2cos 3sin 2f x x x a ，若 [0 ]2
πx ， ，且| ( ) | 4f x ，求 a 的取值范围。
解： 2( ) 2cos 3sin 2 1 cos2 3sin 2 2sin(2 ) 16
πf x x x a x x a x a ，因为
[0 ]2
πx ， ，所以 726 6 6
π π πx ，所以 1 sin(2 ) 12 6
πx ，
所以 ( ) 3a f x a ，而| ( ) | 4f x ，即 4 ( ) 4f x ，
所以， 4
3 4
a
a
，解得： 4 1a ，所以 a 的取值范围是 ( 4 ) ，1 。
例 4．已知函数 2( ) 2cos sin( ) 3sin sin cos3
πf x x x x x x 。
(1) 求 ( )f x 的最小正周期；
(2) 求 ( )f x 的最小值及取得最小值时相应的 x 值；
(3) 若当 7[ ]12 12
π πx ， 时，求 1(1)f 的值。
解： 2( ) 2cos sin( ) 3sin sin cos3
πf x x x x x x
2 2cos sin 3 cos 3sin sin cosx x x x x x
sin 2 3 cos2 2sin(2 )3
πx x x
(1) 由上可知， ( )f x 得最小正周期为T π ；
(2) 当 2 23 2
π πx kπ ，即 5
12
πx kπ k Z ， 时， ( )f x 得最小值为－2；
(3) 因为 7[ ]12 12
π πx ， ，所以 322 3 2
π π πx ，令 2sin(2 ) 13
πx ，
所以
4
πx ，所以 1(1) 4
πf 。
备用题 1．已知函数 2( ) sin cos 3 cos3 3 3
x x xf x 。
(1) 将 ( )f x 写成含 sin( )( 0 )A ωx φ ω φ π ，0< 的形式，并求其对称中心；
(2) 如果三角形 ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对角为 x，试求 x 的范围及此时函数 ( )f x
的值域。
解：(1) 1 2 3 2 3 2 3( ) sin cos sin( )2 3 2 3 2 3 3 2
x x x πf x ，
令 2
3 3
x π kπ k Z ， 得 3 1 ( )2
kx π k Z ， ，即对称中心为 3 1 3( )2 2
k π k Z ， ，
(2)由 b2=ac，
2 2 2 2 1cos 2 2 2
a c b ac acx ac ac
，所以 1 cos 1 02 3
πx x ，即 ，此时
2 5
3 3 3 9
π x π π ，所以 3 2sin( ) 12 3 3
x π ，
所以 2 3 33 sin( ) 13 3 2 2
x π ，即 ( )f x 值域为 ( 3 ]3，1+ 2 。
备用题 2．已知函数 2 2sin 2sin cos 3cosy x x x x R x， ，求
(1) 当 x 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？
(2) 求将函数的图像按向量 ( 2)8
πa ， 平移后得到的函数解析式，并判断平移后函数的奇偶
性。
解：(1) 2 2sin 2sin cos 3cos sin(2 ) 24
πy x x x x x= = 2 ，
当 2 24
πx kπ ，即
8
πx kπ 时， max 2 2y ；
(2)按 ( 2)8
πa ， 平移，即将函数 sin(2 ) 24
πy x = 2 的图像向左平移
8
π 单位，再向下平
移 2 个单位得到所求函数的图像，所以得到解析式为
sin[2( ) ] 2 2 2 sin(2 ) 2 cos28 4 2
π π πy x x x = 2 ，
由 2 cos2( ) 2 cos2x x ，所以平移后函数为偶函数。
作业 1．已知函数 23sin cos cos ( )y ωx ωx ω x R ω R 3x+ ， ，2 的最小正周期为 π ，且当
6
πx 时，函数有最小值，(1)求 ( )f x 的解析式；(2)求 ( )f x 的单调递增区间。
解：(1) 2 3 1 33sin cos cos sin 2 (1 cos2 )2 2 2y ωx ωx ω ωx ωx 3x+ 2
sin(2 ) 16
πωx ，由题意 1ω ，
当 1ω 时， ( ) sin(2 ) 16
πf x x ， ( ) sin 16 6
π πf ，不是最小值。
当 1ω 时， ( ) sin( 2 ) 16
πf x x ， ( ) sin 16 2
π πf ，是最小值。
所以 ( ) sin( 2 ) 1 sin(2 ) 16 6
π πf x x x ；
(2)当 32 2 22 6 2
π π πkπ x kπ ，
即 2
6 3
π πkπ x kπ k Z ， 时，函数单调递增。
作业 2．已知定义在 R 上的函数 ( ) sin cos ( 0 0 0)f x a ωx b ωx a b ω ， ， ， 的最小正周期
为 π ， ( ) 2f x ， ( ) 34
πf 。(1)写出函数 ( )f x 的解析式；(2)写出函数 ( )f x 的单调递增区
间；(3)说明 ( )f x 的图像如何由函数 2siny x 的图像变换而来。
解：(1) 2 2( ) sin cos sin( ) tan bf x a ωx b ωx a b ωx φ φ a
， ，由题意，
2 22 2 ( ) 2sin(2 )ω a b f x x φ ， ， ，代入 ( ) 34
πf ，有 2sin(2 ) 34
π φ ，所以
, ( ) 2sin(2 )6 6
π πφ f x x 即 ；
(2) 当 2 2 2 [ ]2 6 2 3 6
π π π π πkπ x kπ x kπ kπ ，即 ， ，k Z ，函数单调增；
(3) 将函数 2siny x 的图像向左平移
6
π 单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标不变，
横坐标缩短到原来的 1
2
倍，可得到函数 ( )f x 的图像。
作业 3．已知 2α β π ，求 cos 6siny β α 的最值。
解：因为 2α β π ，即 2β π α ，原函数化为
2 23 11cos( 2 ) 6sin 2sin 6sin 1 2(sin )2 2y π α α α α α ，
当sin 1α 时， max 7y ，当sin 1α 时， min 5y 。
作业 4．就三角函数 3( ) sin cos (sin cos )(sin cos )2f x x x x x x x x R ， 的性质，除定
义域外，请再写出三条。
解： 3( ) sin cos (sin cos )(sin cos ) sin(2 )2 3
πf x x x x x x x x
a. 奇偶性：非奇非偶函数；
b. 单调性：在 5[ ]12 12
π πkπ kπ k Z ， ， 上为单调增函数，
在 5 11[ ]12 12
π πkπ kπ k Z ， ， 上为单调减函数；
c. 周期性：最小正周期T π ；
d. 值域与最值：值域[ 11] ， ，当
12
πx kπ k Z ， 时， ( )f x 取最小值 1 ，
当 5
12
πx kπ k Z ， 时， ( )f x 取最大值1；
e.对称性：对称轴 5 ( )2 12
kπ πx k Z ， ，对称中心 ( 0) ( )2 6
kπ π k Z ，， 。
第四课时
例 1．在 ABC 中，角 A、B、C 满足的方程 2 2cos cos 2sin 02
Cx A Bx 的两根之和为两根
之积的一半，试判断 ABC 的形状。
解：由条件可知， 2cos cos sin 2
CA B ，即 2cos cos 1 cosA B C ，因为 A B C π ，所
以 2cos cos 1 cos( )A B A B ，即 cos cos sin sin 1A B A B ，所以 cos( ) 1A B ，所以
A=B，即 ABC 为等腰三角形。
例 2．在 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若 2 2 2 : ( 3 1) : 2a c b ac a c ，且 ，
求角 C 的值。
解： 2 2 2a c b ac ，所以
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
，所以
3
πB ，所以 2
3
πA C ，又
sin sin
a c
A C
，所以 2sin ( 3 1)sinA C ，即 22sin( ) ( 3 1)sin3
π C C ，
得 tan 1C ，所以
4
πC 。
例 3．在 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 cos 3
cos
C a c
B b
，
(1)求sin B 的值；
(2)若 4 2b ，且 a=c，求 ABC 的面积。
解：(1)由正弦定理及 cos 3
cos
C a c
B b
，有 cos 3sin sin
cos sin
C A C
B B
，
即sin cos 3sin cos sin cosB C A B C B ，所以sin( ) 3sin cosB C A B ，
又因为 A B C π ，sin( ) sinB C A ，所以sin 3sin cosA A B ，因为sin 0A ，所以
1cos 3B ，又 0 B π ，所以 2 2 2sin 1 cos 3B B 。
(2)在 ABC 中，由余弦定理可得 2 2 2 323a c ac ，又 a c ，
所以有 2 24 32 243 a a ，即 ，所以 ABC 的面积为
21 1sin sin 8 22 2S ac B a B 。
例 4．在 ABC 中，A、B、C 满足 : : 1: 2: 2A B C ，求1 cos cos cos cosA B A B 的值。
解：由 : : 1: 2: 2A B C ，且 A B C π ，所以 36 72A B C ， ，
1 cos cos cos cos (1 cos ) cos (1 cos ) (1 cos )(1 cos )A B A B B A B B A
2 2 22cos 2sin (2cos36 sin18 )2 2
B A
2cos36 sin18 cos18 cos36 sin36 sin 72 12cos36 sin18 cos18 cos18 2cos18 2
，
所以 21 11 cos cos cos cos ( )2 4A B A B 。
备用题 1．在 ABC 中，A、B、C 满足 cos sin cos 0B C A ，
(1)用 tan A 表示 tanC ； (2)求角 B 的取值范围。
解：(1) 因为 A B C π ，所以 cos cos( )B A C ，由 cos sin cos 0B C A ，
得 cos cos sin sin sin cos 0A C A C C A (1)，易知 cos 0 cos 0A C ， ，
若 cos 0A ，则 cos 0B ，所以
2
πA B ，不合题意，
若 cos 0C ，则sin 1 cos cos cos( ),C B A π A A B π ，所以 ，不合题意，
对(1)式两边同除以 cos cosA C 得， 11 tan tan tan 0 tan 1 tanA C A C A
， ；
(2)因为 C 为 ABC 的一个内角，所以sin 0C ，则由 cos sin cos 0B C A ，
知 cos cosB A、 异号，若 cos 0 cos 0A B ， ，则 A 为钝角，B 为锐角，此时
cos sin cos cos cos( )B C A A π A ，因为 B π A A B π ， ，不合题意；
若 cos 0 cos 0B A ， ，则 B 为钝角， A 为锐角，
则 2tan tantan tan( ) (tan tan 1)1 tan tan
A CB A C A AA C
，因为 A 为锐角，所以
tan 0A ，所以 tan 1B ，所以 3
2 4
π πB 。
备用题 2．已知 A、B、C 是 ABC 的三个内角，
2cos 2tan 2 sin cos2 2
A
Ay A B C
，若任意交换
两个角的位置，y 的值是否变化？证明你的结论。
证明：因为 A、B、C 是 ABC 的三个内角， A B C π ，所以
2 2 2
A π B C ，
2cos 2sin2 2tan tan2 2sin cos cos cos2 2 2 2
A B C
A Ay A B C B C B C
2(sin cos cos sin )2 2 2 2tan tan tan tan2 2 2 22cos cos2 2
B C B C
A A B C
B C
，
因此任意交换两个角的位置，y 的值不变。
作业 1．在 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 cos
cos 2
B b
C a c
，
(1) 求角 B 的大小；(2)若 13 4b a c ， ，求 a 的值。
解：(1)由正弦定理，条件 cos
cos 2
B b
C a c
可化成 cos sin
cos 2sin sin
B B
C A C
，
即 2sin cos sin cos cos sin 0 ( ) 0A B C B C B B C ，得2sinA cosB+ sin ，
因为 A B C π ，所以sin( ) sinB C A ，所以 2sin cos sin 0A B A ，
因为sin 0A ，所以 1cos 2B ，B 为三角形内角，所以 2
3
πB ；
(也可以用余弦定理进行角化边完成)
(2)将 13 4b a c ， ， 2
3
πB 代入余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B ，得
2 2 213 (4 ) 2 (4 )cos 3
πa a a a ，整理得 2 4 3 0a a ，解得 1 3a a 或 。
作业 2．在 ABC 中，tan tan 3 3 tan tanA B A B ，且 3sin cos 4A A ，判断三角形
形状。
解：因为 3sin cos 4A A ，则 3sin 2 2A ，则 30 60A 或 ，
又因为 tan tan 3 3 tan tanA B A B ，所以 tan tantan( ) 31 tan tan
A BA B A B
，所以
120A B ，若 30A ，则 90B ， tan B 无意义，
所以 60 60A B ， ，三角形为正三角形。
作业 3．在 ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，求 tan tan 3 tan tan2 2 2 2
A C A C 的值。
解：因为 A、B、C 成等差数列，则 120 60 tan( ) 32 2
A CA C B ， ， ，所以
tan tan 3 tan tan tan( )(1 tan tan ) 3 tan tan 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A C A C A C A C A C 。
作业 4．在 ABC 中， 2sin cos 2 32A A C AB ，A ， ，求 tan A 的值和三角形 ABC 面
积。
解：由 2 1sin cos sin( )2 4 2
πA A A ，得 ，因为 5 70 4 6 12
π π πA π A A ， ， ，
所以 7tan tan tan( ) (2 3)12 3 4
π π πA ，又因为
7 6 2sin sin sin( )12 3 4 4
π π πA ，
1 1 6 2 3( 6 2)sin 2 32 2 4 4ABCS AC AB A
第五课时
例 1．已知向量 2 5(cos sin ) (cos sin ) | | 5a α α b β β a b ， ， = ， ， ，
(1)求 cos( )α β 的值；(2)若 50 0 sin sin2 2 13
π πα β β α ， ，且 ，求 的值。
解：(1)因为 (cos sin ) (cos sin )a α α b β β ， ， = ， ，
所以 (cos cos sin sin )a b α β α β ， ，
又因为 2 5| | 5a b ，所以 2 2 2 5(cos cos ) (sin sin ) 5α β α β ，
即 4 32 2cos( ) cos( )5 5α β α β ， ；
(2) 0 0 02 2
π πα β α β π ， ， ，
又因为 3cos( ) 5α β ，所以 4sin( ) 5α β ，
5sin 13β ，所以 12cos 13β ，所以 63sin sin[( ) ] 65α α β β 。
例 2．已知向量 2(2cos sin ) ( sin cos ) ( 3)a α α b α α x a t b ，2 ， = ， ， ，
y ka b ，且 0x y ，
(1)求函数 ( )k f t 的表达式；
(2)若 [ 13]t ， ，求 ( )f t 的最大值与最小值。
解：(1) 2 4a ， 2 1b ， 0a b ，又 0x y ，
所以 2 2 2 2 2[ ( 3) ] ( ) ( 3) [ ( 3)] 0x y a t b ka b ka t b t k t a b ，
所以 31 3
4 4k t t ，即 31 3( ) 4 4k f t t t ；
(2)由(1)可得，令 ( )f t 导数 23 3 04 4t ，解得 1t ，列表如下：
t －1 (－1，1) 1 (1，3)
( )f t 导数 0 － 0 +
( )f t 极大值 递减 极小值 递增
而 1 1 9( 1) (1) (3)2 2 2f f f ， ， ，所以 max min
9 1( ) ( )2 2f t f t ， 。
例 3．已知向量 ( ) (cos sin )a m n b ωx ωx ， ， ， ，其中 m n ω， ， 是常数，且 0ω x R ， ，
函数 ( )y f x a b 的周期为 π ，当
12
πx 时，函数取得最大值 1。
(1)求函数 ( )y f x 的解析式； (2)写出 ( )y f x 的对称轴，并证明之。
解：(1) 2 2( ) cos sin sin( ) (tan )nf x a b m ωx n ωx m n ωx φ φ m
， ，
由周期为 π 且最大值为 1，所以 2 22 1ω m n ， ，由 ( ) 112
π πf φ ，得 = 3 ，
所以 ( ) sin(2 )3
πf x x ；
(2)由(1)知，令 2 ( )3 2
π πx kπ k Z ， ，解得对称轴方成为 ( )2 12
kπ πx k Z ， ，
[2( ) ] ( ) sin[2( ) ] sin(2 ) ( )2 12 6 6 3 3
kπ π π π π πf x f kπ x kπ x x f x ，所以
( )2 12
kπ πx k Z ， 是 ( )y f x 的对称轴。
例 4．已知向量 (2sin cos ) ( 3 cos 2cos )m x x n x x ， ， ， ，定义函数 ( 1)( ) log ( 1)m n
af x a ， 。
(1)求函数 ( )y f x 的最小正周期；
(2)确定函数 ( )y f x 的单调区间。
解：(1) 22 3sin cos 2cos 3sin 2 cos2 1 2sin(2 ) 16
πm n x x x x x x ，
所以 [2sin(2 )]( 1) 6( ) log log ( 1)
πxm n
a af x a
= ， ，所以最小正周期为 π ；
(2)令 5( ) 2sin(2 ) 0 ( ) ( )6 12 12
π π πg x x x kπ kπ k Z ，有 ， ， ，
而 ( )g x 在区间 ( ( )12 6
π πx kπ kπ k Z ， ]， 上单调递增，
在区间 5[ ) ( )6 12
π πx kπ kπ k Z ， ， 上单调递减，
所以函数 ( )y f x 在区间 ( ( )12 6
π πx kπ kπ k Z ， ]， 上单调递增，
在区间 5[ ) ( )6 12
π πx kπ kπ k Z ， ， 上单调递减。
备用题 1．已知 5| | 5 | | 8 011AC AB AD DB CD AD ， ， ， ，(1)求| |AB AC ；
(2)设 BAC θ ，且已知 4cos( ) 5 4
πθ x π x ， ，求 sin x 。
解：(1)由已知， 5| | | 016AD AB CD AD 5|= ，且 ，2 即CD AD ，
所以 1cos 2BAC ，由余弦定理
2 2 1| | | | 5 8 2 5 8 72AB AC BC ；
(2)由(1)， 1 4cos cos( ) cos( )2 3 3 5
π πθ θ θ x x ， ， ，所以 3sin( )3 5
π x ，
2
4 3 3 12
π π π ππ x x 而 ， ，
如果 0 3 12
π πx ，则 1 3sin( ) sin sin3 12 6 2 5
π π πx ，所以 3sin( )3 5
π x ，
此时 3 4 3sin sin[( ) ]3 3 10
π πx x 。
备用题 2．已知向量 (1 cos sin ) (1 cos sin ) (1 0)a α α b β β c ， ， ， ， ，， (0 )α π ， ，
( 2 )β π π ， ， a c 与 的夹角为 1θ ，b c
与 的夹角为 2θ ，且 1 2 6
πθ θ ，求 α β 的值。
解： (0 )α π ， ， ( 2 )β π π ， ，所以 (0 ) ( )2 2 2 2
α π β π π ， ， ， ，所以 cos 0 sin 02 2
α β ， ，所以
2 2 2 2| | (1 cos ) (sin ) cos | | (1 cos ) (sin ) sin2 2
α βa α α b β β = 2 ， = 2 ，
而| | 1c ，又因为 2 21 cos 2cos 1 cos 2sin2 2
α βa c α b c β ， ，
所以 1 2cos cos cos sin| | | | 2 2| | | |
a c α b c βθ θa c b c
， ，又 (0 )2 2
α π ， ，所以 1 2
αθ ，又因为
( )2 2
β π π ， ， 0 2 2 2
β π π ， 2cos sin cos( )2 2 2
β β πθ ，所以 2 2 2
β πθ ，
1 2 6
πθ θ ， ( )2 2 2 6
α β π π ，所以 2
3
πα β 。
作业 1．已知 0 为坐标原点， 2(2cos 1) (1 3sin 2 ) (OA x OB x a x R ，， ， ， ，a R a ， 是常数)，
若 y OA OB ，
(1)求 y 关于 x 的函数解析式 ( )f x ；
(2)若 [0 ]2
πx ， 时，函数 f(x)的最大值为 2，求 a 的值。
解：(1) 22cos 3sin 2y OA OB x x a ，所以 2( ) 2cos 3sin 2f x x x a ；
(2) 2( ) 2cos 3sin 2 cos2 3sin 2 1 2sin(2 ) 16
πf x x x a x x a x a
令 2 [0 ]6 2 6 2
π π π πx x ，即 ， 时，f(x)的最大值为 3+a，解得 a=－1。
作业 2．已知 1(sin cos ) (cos sin ) (2cos 0) 2a α α b β β b c β a b ， ， = ， ， ，， ，
1
3a c ，求 cos2( ) tan cotα β α β 的值。
解：设 ( )c x y ， ， (cos sin ) ( ) (cos sin ) (2cos 0)b c β β x y β x β y β ， ， ， ， ，所以
(cos sin )c β β ， ，因为 1
2a b ， 1
3a c ，
所以
1sin cos cos sin 2
1sin cos cos sin 3
α β α β
α β α β
，所以
5sin cos 12
1cos sin 12
α β
α β
，所以 tan cot 5α β ，
又因为 21 1sin( ) cos2( ) 1 2sin ( )2 2α β α β α β ， ，
所以 11cos2( ) tan cot 5α β α β 。
作业 3．已知向量 1 3( 3 1) ( ) (sin 2 2cos )2 2a b c a α α b ， ， ， ， ，
21( sin 2 ) (cos ) (0 )4 2
πd α a α b α ， ， ，若 c d ，求 cosα 的值。
解 ： 由 已 知 得 2 2 2 20 | | 4 | | 1a b a a b b ， ， ， 因 为 c d ， 所 以 0c d ， 即
21[ (sin 2 2cos ) ][( sin 2 ) (cos ) ] 04a α α b α a α b ，
化 简 得 2 2sin 2 sin 2 cos 2cos 0α α α α ， (sin 2 2cos )(sin 2 cos ) 0α α α α ， 因 为
(0 )2
πα ， ，所以sin 2 cosα α ，所以 1 3sin cos2 2α α ， 。
作业 4．设平面内两个向量 (cos sin ) (cos sin )a α α b β β α β π ， ， = ， ，0< < < ，
(1)证明： ( ) ( )a b a b ；
(2)若有| | | |ka b a kb ，求 ( 0 )β α k k R ， 的值。
(1)证明： (cos cos sin sin ) (cos cos sin sin )a b α β α β a b α β α β ， ， ， ，
所以 ( ) ( ) 1 1 0a b a b ，所以 ( ) ( )a b a b ；
(2)解： 2 2 2 2 2| | ( ) 2ka b ka b k a ka b b ，
2 2 2 2 2| | ( ) 2a kb a kb a ka b k b ，又因为| | | |ka b a kb ，
所以 2 2 2 2 2 22 2k a ka b b a ka b k b ，即 2 2 2 2( 1) 4 (1 ) 0k a ka b k b ，又因为
| | | | 1 cos( )a b a b α β ， ，所以 4 cos( ) 0k α β ，
0k k R ， ， 所以 cos( ) 0α β ，又 α β π0< < < ，则
2
πα β ，即
2
πβ α 。
第六课时
例 1．已知偶函数 ( ) cos sin sin( ) (tan 2)sin sinf x θ x x θ θ x θ 的最小值为 0，求 ( )f x
的最大值及此时 x 的集合。
解： ( ) cos sin sin( ) (tan 2)sin sinf x θ x x θ θ x θ
sin cos (tan 2)sin sinθ x θ x θ ，因为 ( )f x 为偶函数，
所以，对 x R ，有 ( ) ( )f x f x ，即
sin cos( ) (tan 2)sin( ) sin sin cos (tan 2)sin sinθ x θ x θ θ x θ x θ ，
亦即 (tan 2)sin 0θ x ，所以 tan 2θ ，由
2 2sin cos 1
sin tan 2cos
θ θ
θ θθ
，
解得
2 5 2 5sin sin5 5
5 5cos cos5 5
θ θ
θ θ
或 ，此时 ( ) sin (cos 1)f x θ x ，
当 2 5sin 5θ 时， 2 5( ) (cos 1)5f x x ，最大值为 0，不合题意，
当 2 5sin 5θ 时， 2 5( ) (cos 1)5f x x ，最小值为 0，
当 cos 1x 时， ( )f x 由最大值 4 5
5
，此时自变量 x 的集合为：
{ | 2 }x x kπ π k Z ， 。
例 2．已知函数 ( ) sin cos ( )f x a b x c x x R 的图像过点 (01) ( 1)2
πA B，， ， ，且 b>0，又 ( )f x
的最大值为 2 2 1 ，(1)求函数 ( )f x 的解析式；(2)由函数 y= ( )f x 图像经过平移是否能得到一
个奇函数 y= ( )g x 的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。
解 ： (1) 2 2( ) sin cos sin( )(tan )cf x a b x c x a b c x φ φ b
， 由 题 意 ， 可 得
2 2
1
1
2 2 1
a c
a b
a b c
，解得
1
2
2
a
b
c
，所以 ( ) 1 2sin 2cosf x x x ；
(2) ( ) 1 2sin 2cos 2 2 sin( ) 14
πf x x x x ，将 ( )f x 的图像向上平移 1 个单位得到函
数 2 2 sin( )4
πy x 的图像，再向右平移
4
π 单位得到 2 2 siny x 的图像，故将 ( )f x 的图像
先向上平移 1 个单位，再向右平移
4
π 单位就可以得到奇函数 y= ( )g x 的图像。
例 3．已知函数 2 sin( )
1 cos2
xf x
x
，
(1)求函数 ( )f x 的定义域、值域、最小正周期；
(2)判断函数 ( )f x 奇偶性。
解：(1)
tan (2 2 )2 sin sin 2 2( ) 3| cos |1 cos2 tan (2 2 )2 2
π πx x kπ kπx xf x k Zπ πxx x x kπ kπ
， ，
， ，
，
定义域：{ | }2
πx x kπ k Z ， ，值域为：R，最小正周期为 2T π ；
(2) sin( ) sin( ) ( )| cos( ) | | cos |
x xf x f xx x
，且定义域关于原点对称，
所以 ( )f x 为奇函数。
例 4．已知 2a ，求 (sin )(cos )y x a x a 的最值。
解： 2(sin )(cos ) (sin cos ) sin cosy x a x a a x x x x a ，
令 sin cos [ 2 2]t x x ， ，则有
2 1sin cos 2
tx x ，
所以 2 21 1( ) ( 1)2 2y t a a ，因为 2a ，则
当 2t 时， 2
min
12 2y a a ，当 2t 时， 2
max
12 2y a a 。
备用题 1．设函数 ( ) sin 3 cos (0 1) ( ) tan( )(0 1)6
πf x ax ax a g x mx m ， 已知函
数 ( ) ( )f x g x， 的最小正周期相同，且 (1) 2 (1)f g ，(1)试确定 ( ) ( )f x g x， 的解析式；(2)求函
数 ( )f x 的单调增区间。
解： ( ) sin 3 cos 2sin( )(0 1)3
πf x ax ax ax a ，由函数 ( ) ( )f x g x， 的最小正周期相
同，有 2π π
a m
，即 a=2m，又 (1) 2 (1)f g ，即 2sin( ) 2tan( )3 6
π πa m ，把 a=2m 代入上
式，得sin(2 ) tan( )3 6
π πm m ，
所以有
sin( )62sin( )cos( )6 6 cos( )6
πmπ πm m πm
，
所以sin( ) 06
πm 或 2cos( )6 2
πm ，
若sin( ) 06
πm ，则有 ,6
πm kπ 这与 0 1m 矛盾，
若 2cos( )6 2
πm ，则有
6 4 6 4
π π π πm kπ m kπ 或 ，
于是有 5 ( )12 12
π πm kπ m kπ k Z 或 ，又 0 1m ，所以
12 6
π πm a ， ，
所以 ( ) 2sin( ) ( ) tan( )6 3 12 6
π π π πf x x g x x ， ；
(2)由 2 2 [12 512 1]2 6 3 2
π π π πkπ x kπ x k k ，即 ， ，
所以，函数 ( )f x 的单调递增区间为 [12 512 1]( )x k k k Z ， 。
备用题 2．已知函数 ( ) 4 sin cos2 ( )f x m x x x R ，若函数 ( )f x 的最大值为 3，求实数 m 的
值。
解： 2 2 2( ) 4 sin cos2 2sin 4 sin 1 2(sin ) (2 1)f x m x x x m x x m m ，
令 sin [ 11]t x ， ，则函数变为 2 22( ) (2 1)y t m m ，分类讨论如下：
(1)当 0m 时，在 t=1 时， max
11 4 3 2y m m ， ；
(2)当 0m 时，在 t=－1 时， max
11 4 3 2y m m ， ；
综上所述， 1
2m 。
作业 1．已知函数 2 3 1( ) 4 sin( )cos( ) 1 [ ]2 2 2 2 2 2
π α π αf x x x x ， ， ，
[ ]2 2
π πα ， ，求 α 得取值范围，使函数 ( )f x 在区间 3 1[ ]2 2
， 上是单调函数。
解： 2 2 2 2( ) 4 sin( )cos( ) 1 2 sin 1 ( sin ) cos2 2 2 2
π α π αf x x x x x α x α α ，所以
( )f x 的图像的对称轴为 sinx α ，因为函数 ( )f x 在区间 3 1[ ]2 2
， 上是单调函数，所以
3 1sin sin2 2α α 或 ，即 3 1sin sin2 2α α 或 ，
又因为 [ ]2 2
π πα ， ，所以 α 得取值范围是[ ] [ ]2 6 3 2
π π π π ， ， 。
作业 2．已知函数 ( ) 1 sin 1 sinf x x x ，
(1)判断函数的奇偶性；(2)证明 π 是函数的一个周期。
解：(1)定义域 x R ，
( ) 1 sin( ) 1 sin( ) 1 sin 1 sin ( )f x x x x x f x ，
所以函数为偶函数；
(2) 2 ( ) 1 sin 1 sin 2 | cos |f x x x x ，所以 ( ) 2(1 cos | |)f x x ，
所以 ( ) 2(1 cos | |) 2(1 cos | |) ( )f x π x π x f x ，
所以 π 是函数的一个周期。
作业 3．已知 1sin cos (0 )5x x x π ， ， ，求 cot x 的值。
解：由 1sin cos 5x x ……(1)，所以 1 241 2sin cos 2sin cos25 25x x x x ， ，
因为 (0 )x π ， ，所以sin 0 cos 0x x ， ，
2 24 49(sin cos ) 1 2sin cos 1 25 25x x x x ，
所以 7sin cos 5x x ……(2)，联立(1)(2)解得 4 3sin cos5 5x x ， ，
所以 cos 3cot sin 4
xx x
。
作业 4．函数 sin( )( 0 0 0 )y A ωx φ A ω φ π ， ， 的图像一部分如图所示，
(1)求此函数解析式；
(2)将(1)中的函数图像如何变化才能得到函数 siny x 图像。
解：(1) 依题意知，
2 2 6 2 4 164 8
T πA T ω ， ， ， 将点
(2 2 2)， 代 入 2 2 sin( )8
πy x φ 得
2 2 sin( 2 ) 2 28
π φ ，又
0 φ π ，所以
4
πφ ，所求函数解析式 为
2 2 sin( )8 4
π πy x ；
(2)先把函数 2 2 sin( )8 4
π πy x 的图像横坐标缩短为原来的
8
π 倍(纵坐标不变)， 得函数
2 2 sin( )4
πy x 的图像，再把函数 2 2 sin( )4
πy x 上所有点向右平移
4
π 单位得到函数
2 2 siny x 的图像，最后将 2 2 siny x 的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的 1
2 2
倍，
(横坐标不变)，得到函数 siny x 图像。
数 列
第一课时
x
y
2
6
2 2
1、 设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 2
3S ＝9S2，S4＝4S2，求
数列的通项公式．
2、已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 1,)1(2 naS n
nn ．
（1） 写出数列 na 的前三项 321 ,, aaa ；
（2） 求证数列
n
na )1(3
2 为等比数列，并求出 na 的通项公式．
3、 已知公差大于零的等差数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，且满足： .22,117 5243 aaaa
（Ⅰ）求通项 na ；
（Ⅱ）若数列 }{ nb 是等差数列，且
cn
Sb n
n ，求非零常数 c ；
4、数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1=1,an+1= n
n 2 Sn(n=1,2,3，…)．
证明：(i)数列{ n
Sn }是等比数列；(ii)Sn+1=4an.
答案：
1、设数列 na 的公差为 d
由题意得：
)2(464
)2(9)33(
11
1
2
1
dada
dada
0
01
d
a 或
9
8
9
4
1
d
a
因为 0d 所以
9
8,9
4
1 da 9
4
9
8 nan
2、（1）在 1,)1(2 naS n
nn 中分别令 3,2,1n 得：
12
12
12
3321
221
11
aaaa
aaa
aa
解得：
2
0
1
3
2
1
a
a
a
（2）由 1,)1(2 naS n
nn 得： 2,)1(2 1
11
naS n
nn
两式相减得： 2,)1(2)1(2 1
1
naaa n
n
n
nn
即： 2,)1(22 1 naa n
nn
nn
n
nn
nn aaa )1(3
2)1(3
42)1(3
2)1(3
42 1
11
)2)()1(3
2(2)1(3
2 1
1
naa n
n
n
n
故数列
n
na )1(3
2 是以
3
1
3
2
1 a 为首项，公比为 2 的等比数列．
所以 123
1)1(3
2 nn
na nn
na )1(3
223
1 1
3、（1）设数列 na 的公差为 d
由题意得：
2252
117)3)(2(
1
11
da
dada
4
11
d
a 或
4
211
d
a （舍去）
所以： 34 nan
（2） nnnnSn 222
)341(
由于
cn
Sn
是一等差数列 故 bancn
Sn
对一切自然数 n 都成立
即： bcnbacanbancnnn )())((2 22
0
1
2
bc
bac
a
2
1
0
2
c
b
a
或
0
1
2
c
b
a
（舍去）
所以
2
1c
4、（1）由 nn Sn
na 2
1
得： nnn Sn
nSS 2
1
即 nn Sn
nS 22
1
所以
n
S
n
S nn
1
1
所以数列
n
Sn 是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列．
（2）由（1）得 12 nn
n
S 12 n
n nS n
n nS 2)1(1
所以 2
2
1
2)1(
)2(2)1(
)1(1
)2(
)1(1
n
n
nn
n n
nn
n
nSS
na
所以 nn aS 41
第二课时
1、已知等差数列｛an｝，公差大于 0，且 a2、a5 是方程 x2—12x+27=0 的两个根，数列｛bn｝的前
n 项和为 Tn，且 Tn=1— nb2
1 ．
（1）求数列｛an｝、｛bn｝的通项公式；
（2）记 cn= an·bn，求证： nn cc 1 ．
2、设 }{ na 是由正数组成的无穷数列，Sn 是它的前 n 项之和，对任意自然数 nan, 与 2 的等差中
项等于 Sn 与 2 的等比中项.
（1）写出 321 ,, aaa ；
（2）求数列的通项公式（要有推论过程）；
2、 已知数列 }{ na 成等差数列， nS 表示它的前 n 项和，且 6531 aaa ， 124 S .
⑴求数列 }{ na 的通项公式 na ；
⑵数列 }{ nn Sa 中，从第几项开始(含此项)以后各项均为负数？
4、设数列{an}和{bn}满足 a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列{an+1－an }（n∈N*）是等差数列，
数列{bn－2}(n∈N*)是等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在 k∈N*，使 ak－bk∈（0，
2
1 ）？若存在，求出 k；若不存在，说明理由.
答案：
1、 （1）设 na 的公差为 d
由题意得：
0
27
12
52
52
d
aa
aa
即：
0
27)4)((
1252
11
1
d
dada
da
解得：
2
11
d
a
所以： 12 nan
由 nn bT 2
11 得： 11 2
11 nn bT
两式相减： )2
11()2
11( 1 nnn bbb 即： 13
1
nn bb
所以 nb 是
3
1 以为公比b 为首项的等比数列．
在 nn bT 2
11 中令 1n 得： 11 2
11 bb 所以
3
2
1 b
所以
1
3
1
3
2
n
nb
（2） 1)3
1(3
2)12( n
nnn nbac
所以： )1()3
1(9
8)3
1(3
2)12()3
1(3
2)12( 11
1
nnncc nnn
nn
因为了 1n 所以 nn cc 1
2、 （1）由题意得：
0
22
2
n
n
n
a
Sa
令 3,2,1n 得：
0,0,0
)(22
2
)(22
2
22
2
321
321
3
21
2
1
1
aaa
aaaa
aaa
aa
解得： 10,6,2 321 aaa
（2）将 n
n Sa 22
2 两边平方得： nn Sa 8)2( 2
用 1n 代替 n 得： 1
2
1 8)2( nn Sa
两式相减得： nnn aaa 8)2()2( 2
1
2 即： 0)2()2( 2
1
2 nn aa
即： 0)4)(( 11 nnnn aaaa 由于 0na 所以 41 nn aa
所以 na 是以 2 为首项公差为 4 的等差数列
所以 24 nan
3、（1）设数列 na 的公差为 d ，由题意得：
1264
663
1
1
da
da 解得：
2
61
d
a
所以： 82 nan )7(2
)286( nnnnSn
（2）令 nnn Sab 所以 nnnbn )7)(82(
解不等式 0)7)(82( nnn 得： 47 nn 或
所以数列从第 8 项开始（含此项）以后各项均为负数．
4、（1）由题意得： )()()1()( 1223121 aaaanaaaa nn
= 3)1(2 nn
所以 )4()5()4( 21 nnanaa nnn
92
7
2
1
2
)4()2()1(6
)4()5(0)1()2(6
)4()5(0)1()2(
2
1
nnnn
nn
nna
（ 2n ）
上式对 1n 也成立
所以 92
7
2
1 2 nnan
311
1
2
1 )2
1()4
2(4)2
2)(2(2
nnn
n b
bbb
所以 3)2
1(2 n
nb
（2） 32
3
2 )2
1(72
7
2
1
2
1292
7
2
1
k
k
kkk kkkkbac
当 3,2,1k 时 0kc
当 4k 时
2
1)2
1(4
7)2
74(2
1)2
1(4
7)2
7(2
1 34232
k
k kc
故不存在正整数 k 使
2
1,0kk ba
第三课时
1、设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ；设 1 4a ，问 2
3
nn
n
S S
S
是否可能为一与 n 无关的常数？
若不存在，说明理由．若存在，求出所有这样的数列的通项公式．
2、已知等比数列 na 及等差数列 nb ，其中 01 b ，公差 0d ，将这两个数列对应项相加得
到一个新的数列 1,1,2,…,求这个新数列的前 10 项之和．
3、设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.(n∈N*)．
（Ⅰ）若数列{an}单调递增，且 a2 是 a1、a5 的等比中项，证明： .2 12 nnn SSS
（Ⅱ）设{an}的首项为 a1，公差为 d，且 )0(2
3
1 dda ，问是否存在正常数 c，使
cScScS nnn 12 2 对任意自然数 n 都成立，若存在，求出 c(用 d 表示)；若不存在，
说明理由.
4、Ⅰ．已知数列 nc ，其中 nn
nc 32 ，且数列 nn pcc 1 为等比数列，求常数 p ．
Ⅱ．设 na ， nb 是公比不相等的两个等比数列， nnn bac ，证明数列 nc 不是等比数列．
答案：
1、设等差数列 na 的公差为 d ，并假设存在 d 使
n
nn
S
SS
3
2 是与 n 无关的常数 k
令 kS
SS
n
nn
3
2
所以
dnnnakdnnnadnnna 2
)13(332
)1(
2
)12(22 111 恒成立
化简得： 02
1)2
1(3)2
3
2
9( 11
2
ndadaknkd 对一切自然数 n 恒成立
所以
02
14)2
14(3
02
3
2
9
ddk
kd
即
1824
3
1
dk
kd
解得： 739 d 解得：
)739(3
1
k
故存在等差数列 na 使是一与 n 无关的常数
)1)(739(4 nan
2、设等比数列 na 的公比为 q
由题意得：
2)2(
1)(
1
0
1
2
1
11
11
1
dbqa
dbqa
ba
b
解得：
1
2
1
0
)(
0
1
1
0
1
1
1
1
d
q
a
b
q
d
a
b
或舍去
所以 1,2 1 nba n
n
n
所以新数列的前 10 项的和为 9782
)90(10
12
1210
10
S
3、（1）设等差数列 na 的公差为 d
由题意得：
0
51
2
2
d
aaa 即：
0
)4()( 11
2
1
d
daada 解得： 12ad
所以 111 2)1( anadnaan 1
2anSn
所以 1
22
11
2
1
2
2 )1(4))2(()2()( anananSSS nnn
0)1(4)1(4 1
2
1
2 anan
所以 12 2 nnn SSS
（2）假设存在正常数 c 使得 cScScS nnn 12 2 恒成立
dndndnnnddnnnaSn 2
1 2
1
2
)1(
2
3
2
)1(
令 1n ，则有 cScScS 231 2 恒成立
即： 042)2
15
2
3( 22 cdcdcd
化简得： cdcdcd
2
15
2
3227
两边平方化简得： dc 2
1 ．
以下证明当 dc 2
1 时， cScScS nnn 12 2 恒成立．
02222321
2
1112
122
1222
1
2
1
2
1
2
222
12
dndndn
dndnddndndddndn
cScScS nnn
故 存 在
正常数 dc 2
1 使 cScScS nnn 12 2 恒成立．
4、（1）由题意得： qpcc
pcc
nn
nn
1
1 恒成立．对一切正整数 n 恒成立（ q 为常数）
即： 1111 3232)32(32 nnnnnnnn pqp
化简得： 033932242 11 pqqppqqp nn 对一切正整数恒成立
所以：
0339
0224
pqqp
pqqp 解得：
3
2
q
p 或
2
3
q
p
所以： 2p 或 3p
（2）设数列 ,na nb 的公比分别为 1q 与 2q ， 21 qq
并假设数列 ,nc 是等比数列，其公比为 q
则有： nnnn baqba 11 即： 1
21
1
112111
nnnn qqbqqaqbqa
化简得： 01
221
1
111 nn qqqbqqqa
即 021
1
2
1
11
qqbq
qqqa
n
对一切正整数 n 恒成立
所以：
0)(
0)(
21
11
qqb
qqa 即： qqq 21 这与 21 qq 互相矛盾
故 ,nc 不是等比数列．
函数专题
第一课时
1、 设函数 .10,||)( 为常数其中 aaxaxxf
（1）解不等式 f(x)<0;
（2）试推断函数 f(x)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由.
2、已知函数 ,4)( 2 bxaxxf （a＜0， ,a bR ，设关于 x 的方程 0)( xf 的两根为 21, xx ，
xxf )( 的两实根为 、 ．
（1）若 1|| ，求 a，b 关系式
（2）若 a，b 均为负整数，且 1|| ，求 )(xf 解析式
（3）若 ＜1＜ ＜2，求证： )1)(1( 21 xx ＜7
3、已知函数 xbxaxxf 3)( 23 在 1x 处取得极值．
(I)讨论 )1(f 和 )1(f 是函数 )(xf 的极大值还是极小值；
）
(II)过点 )16,0(A 作曲线 )(xfy 的切线，求此切线方程．
4、已知 )(xf 是定义在 ),( 上且以 2 为周期的函数，当 ]2,0[x 时，其解析式为
1)( xxf ．
（1）作出 )(xf 在 ),( 上的图象；
（2）写出 )(xf 在[2 ,2 2]( )k k k Z 上的解析式，并证明 )(xf 是偶函数．
答案：
1、（1）由 0)( xf 得： )10(0 aaxax
该不等式等价于：
0)1( axa
ax 或
0)1( axa
ax
等价于：
a
ax
ax
1
或
a
ax
ax
1
即：
a
axa
1
或 axa
a
1
所以不等式的解集是：
a
axa
ax 11
（2）
axaxa
axaxaxf 当
当
)1(
)1()(
因为 10 a ，所以当 ax 时， )(xf 为增函数；当 ax 时， )(xf 为减函数．
所以当 ax 时， 2
min)( axf
2、（1） xxf )( 即 032 bxax
由题意得：
1
3
a
b
a
消去 , 得： 942 aba
（2）由于 ba, 都是负整数，故 ba 4 也是负整数，且 54 ba
由 942 aba 得： 9)4( baa
所以 94,1 baa 所以 2,1 ba
所以 24)( 2 xxxf
（3）令 bxaxxg 3)( 2 ，则 21 的充要条件为：
0)2(
0)1(
g
g 即：
064)2(
03)1(
bag
bag 又
a
bxx
axx
21
21
4
所以
a
gg
a
ba
aa
bxxxxxx
)2(3
7)1(3
10
46646)(7)1)(1( 212121
因为 0,0)2(,0)1( agg 所以 07)1)(1( 21 xx
即： 7)1)(1( 21 xx
3、（1） 323)( 2' bxaxxf 由于 )(xf 在 1x 处取得极值
所以：
0)1(
0)1(
'
'
f
f 即：
0323
0323
ba
ba 解得：
0
1
b
a
所以： xxxf 3)( 3 33)( 3' xxf
当 11 xx 或 时， 0)(' xf ，此时 )(xf 为增函数；
当 11 x 时， 0)(' xf ，此时 )(xf 为减函数．
所以 )1(f 是极小值， )1(f 是极大值．
（2）设切点为 0
3
00 3, xxxB
由题意得： 33163 2
0
0
0
3
0 xx
xx 解得： 20 x
所以切线的斜率为 9)( 0
' xfk
所以过点（0，16）的切线方程为： 169 xy
4、（1）略
（2）当 22,2 kkx 时，有 2,02 kx ，因为 2 为函数的周期，
所以： 12)2()( kxkxfxf
对于 , 内的任一 x ，必定存在整数 k ，使得： 22,2 kkx
此时 2,022,2,22 kxkkx ，又因为 2 为函数的周期
所以： )(12122)22()( xfkxkxkxfxf
所以： )(xf 是偶函数
第二课时
1、设 f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b.
（1）求证：函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个交点；
（2）设 f(x)与 g(x)的图象交点 A、B 在 x 轴上的射影为 A1、B1，求｜A1B1｜的取值范围；
（3）求证：当 x≤－ 3 时，恒有 f(x)＞g(x).
2、已知函数
xa
axxf
1)( )( Ra ．
（1）证明函数 )(xfy 的图象关于点（a，－1）成中心对称图形；
（2）当 1[ ax ， ]2a 时，求证： 2[)( xf ， ]2
；
3、已知函数 2
0,
( ) ( ) ,
1,
x a
x af x a x ba b
x b
当 时,
当 时,
当 时.
（Ⅰ）证明：对任意
2
a bx ，都有 1
4f x ；
（Ⅱ）是否存在实数 c ,使之满足 2
a bf c ？若存在，求出它的取值范围；若不存在，请
说明理由．
4、 知函数 )0(1)(
2
xx
xxf ．
a) 求函数 )(xf 的反函数 )(1 xf ；
b) 若 2x 时，不等式 )()()1( 1 xaaxfx 恒成立，试求实数 a 的范围．
答案：
1、（1）由题意得：
cba
cba 0 所以 0,0 ca
化简方程： baxcbxax 2 得： 0)(2 bcxabax
acabbcaab 4)()(4)( 22
因为 0,0 ca 所以 0
所以：函数 )(xfy 与 )(xgy 的图象有两个不同的交点
（2）设方程 0)(2 bcxabax 的两根为 21, xx ，
则：
a
cbxxa
baxx 2121 ,
所以：
a
acabxxBA 4)( 2
2111
由于 )( cab
所以：
42
4444)(
2
2
2
222
2111
a
c
a
c
a
c
a
acc
a
acc
a
acabxxBA
将 )( cab 代入 cba 得：
cca
caa
)(
)( 解得：
2
12
a
c
所以： 322
3
11 BA
2、(1)函数 )(xfy 的图象关于点 )1,( a 对称的充分必要条件为：
2)()( xafxaf
由于
211
)(
1)(
)(
1)()()(
x
x
x
x
xaa
axa
xaa
axaxafxaf
所以：函数 )(xfy 的图象关于点 )1,( a 对称
(2)易证明 )(xfy 在 2,1 aa 上为增函数
所以 )2()()1( afxfaf
即：
2
3)(2 xf
3、（1）因为 bbaa
2
所以当 bx 时，
4
11)( xf
当 bxba
2
时， )(xfy 为增函数
所以
4
1)2()( bafxf
（2）易求得函数的值域为 1,0
所以当 0 ba 时，对一切实数 c，都有
2)( baxf
当 2 ba 时，对 bc 一切实数 c，都有
2)( baxf
当 2 ba 时，不存在实数 c，使
2)( baxf 成立
当 20 ba 时，解不等式组：
bxa
ba
ba
ax
2
2
得：
当 ab 3 时， bxbaab
2)(
当 ab 3 ，无解
下结论略．
4、（1）因为 0x ，所以： 11
x
x
由
21
x
xy 得： yx
x 1 解得：
1
1
y
x
所以函数 )(xf 的反函数是 )1(
1
1)(1
x
x
xf
（1） 不等式 )()()1( 1 xaaxfx 恒成立
即 )1)((
1
1)1(
xxaa
x
x 恒成立
即： )1)(()1( xxaax 恒成立
即： )1(0)1()1( 2 xaax 恒成立
所以： 0)1()1( 2 aa
解得： 21 a
第三课时
1、已知函数 babxaxxf ,(1)( 2 为实数）， xR ，
)0)((
)0)(()( xxf
xxfxF
（1）若 f (－1) = 0，且函数 ( )f x 的值域为 0, ，求 )(xF 表达式；
（2）在（1）的条件下，当 kxxfxgx )()(,]2,2[ 时 是单调函数，求实数 k 的取值范围；
2、设 f(x)=x3+3x2+px, g(x)=x3+qx2+r，且 y=f(x)与 y=g(x)的图象关于点（0，1） 对称．（I）求 p、
q、r 的值；
（II）若函数 g(x)在区间(0，m)上递减，求 m 的取值范围；
（III）若函数 g(x)在区间 n, 上的最大值为 2，求 n 的取值范围．
3、已知二次函数 2 1 0,f x ax bx a b R ，设方程 f x x 有两个实数根 1 2,x x ．
①如果 1 22 4x x ，设函数 f x 的对称轴为 0x x ，求证： 0 1x ；
②如果 10 2x ，且 f x x 的两实根的差为 2，求实数b 的取值范围．
4、某商品在近 30 天内每件的销售价格 P（元）与时间 t（天）的函数关系是：
20 (0 25, )
100(25 30, )
t t tP t t t
N
N
该商品日销售量 Q（件）与时间 t（天）的函数关系式是：
40(0 30, )Q t t t N ，求这种商品的日销售额的最大值.
答案：
1、（1）由题意得：
12
01
a
b
ba
解得：
2
1
b
a
所以：
)0(12
)0(12)( 2
2
xxx
xxxxF
（2） 1)2()( 2 xkxxg
当 2,2x 时， )(xg 是单调函数的充要条件是：
2
2
22
2
2 kk 或 解得: 26 kk 或
2、（1） pxxxxf 23 3)( 关于点（0，1）对称的函数为： 23 23 pxxxy
所以： 2,3,0 rqp
（2） 23)( 23 xxxg xxxg 63)( 2'
所以：当 063)( 2' xxxg 即： 02 xx 或 时， )(xg 是增函数
当 063)( 2' xxxg 即： 20 x 时， )(xg 是减函数
所以当 )(xg 在（0，m）上是减函数的充要条件为： 2m
(3)由（2）得：当 30 xx 或 时， 2)( xf
所以： n 的取值范围是 30 n
3、（1） xxf )( 即为： 1)1()( 2 xbaxxg
它的两根满足 42 21 xx 的充要条件是：
03416)4(
0124)2(
42
1
bag
bag
b
又
a
bx 20 ，所以：
a
gg
a
bax 8
)2()4(
2
210
因为： 0)4(,0)2(,0 gga ，所以： 010 x ，即： 10 x
（2） 由题意得：
24)1(
0)2()0(
2
a
ab
gg
即： )0(
44)1(
0124
22
a
aab
ba
消去 a 得： bb 231)1(2 2 ，此不等式等价于：
22 23114
023
bb
b
解得：
4
1b
4、 售额 Z=PQ=
),3025)(40)(100(
),250)(40)(20(
Ntttt
Ntttt
=
),3025(4000140
),250(80020
2
2
Ntttt
Ntttt
当 250 t 时，此时当 900,10 max Zt
当 3025 t 时，Z 为减函数，此时当 1125,25 max Zt
所以：当 1125,25 max Zt
概 率
第一课时
概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结：
类型一 “非等可能”与“等可能”混同
例 1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为 6 的概率．
错解 掷两枚骰子出现的点数之和 2，3，4，…，12 共 11 种基本事件，所以概率为 P= 1
11
剖析 以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有(1，1)，而点数之和为 6 有(1，5)、(2，
4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共 5 种．事实上，掷两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可
能的，所以“所得点数之和为 6”的概率为 P= 5
36
．
类型二 “互斥”与“对立”混同
例 2 把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每个人分得 1 张，事件“甲
分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
错解 A
剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在 ：
(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念
只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生
其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个
发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选 C．
类型三 “互斥”与“独立”混同
例 3 甲投篮命中率为 O．8，乙投篮命中率为 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是
多少?
错解 设“甲恰好投中两次”为事件 A，“乙恰好投中两次”为事件 B，则两人都恰好投中两次为
事件 A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)： 2 2 2 2
3 30.8 0.2 0.7 0.3 0.825c c
剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中 2
次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时
发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽
然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．
解： 设“甲恰好投中两次”为事件 A，“乙恰好投中两次”为事件 B，且 A，B 相互独立，
则两人都恰好投中两次为事件 A·B，于是 P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169
类型四 “条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率 P(A·B)”混同
例 4 袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次
才取到黄色球的概率．
错解 记“第一次取到白球”为事件 A，“第二次取到黄球”为事件 B,”第二次才取到黄球”为事件 C,
所以 P(C)=P(B/A)= 6 2
9 3
.
剖析 本题错误在于 P(A B)与 P(B/A)的含义没有弄清, P(A B)表示在样本空间 S 中,A 与 B 同时
发生的概率；而 P（B/A）表示在缩减的样本空间 SA 中，作为条件的 A 已经发生的条件
下事件 B 发生的概率。
解: P（C）= P(A B)=P（A）P（B/A）= 4 6 4
10 9 15
.
备用
1. 某班数学兴趣小组有男生和女生各３名，现从中任选２名学生去参加校数学竞赛，求
（I） 恰有一名参赛学生是男生的概率；
（II）至少有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率。
解：基本事件的种数为 2
6c =15 种
（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有 1
3
1
3 cc =9 种 所求事件概率 P1=
15
9 =0.6
（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛学生是男生
和两名参赛学生都是男生,所求事件概率 P2= 8.015
12
15
9 2
3 c
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没有男生和恰
有一名参赛学生是男生,所求事件概率 P3= 8.015
12
15
92
3 c
2. 已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击 10 次，其中甲击中目标 7 次，乙
击中目标 6 次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击 3 次中，求：（1）甲运动员恰好击中目
标 2 次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标 2 次的概率是多少？（结果保留两
位有效数字）
解. 甲运动员向目标靶射击 1 次，击中目标的概率为 7/10=0.7
乙运动员向目标靶射击 1 次，击中目标的概率为 6/10=0.6
(1)甲运动员向目标靶射击 3 次，恰好都击中目标 2 次的概率是
44.0)7.01(7.0 122
3 c
(2)乙运动员各向目标靶射击 3 次，恰好都击中目标 2 次的概率是
19.0)6.01(6.0)7.01(7.0 122
3
122
3 cc
作业
1. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 p1，乙解决这个问题的概率
是 p2，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是 ( )
（A） 21 pp （B） )1()1( 1221 pppp （C） 211 pp （D） )1)(1(1 21 pp
2. 连续掷两次骰子，以先后得到的点数 m、n 为点 P（m，n）的坐标，那么点 P 在圆 x2+y2＝
17 外部的概率应为（ ）
（A）
3
1 （B）
3
2 （C）
18
11 （D）
18
13
3. 从含有 500 个个体的总体中一次性地抽取 25 个个体，假定其中每个个体被抽到的概率
相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_______。
4. 若在二项式（x+1）10 的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 .
（结果用分数表示）
5. 袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球，从中任意摸出 4 个，求下列事件发生的概率.
（Ⅰ）摸出 2 个或 3 个白球 ; （Ⅱ）至少摸出一个黑球.
6. 已知甲、乙两人投篮的命中率分别为 0.4 和 0.6．现让每人各投两次，试分别求下列事件的概
率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球.
作业答案
1. B 2. D 3. 0.05 4.
11
4
5.（Ⅰ）P（A+B）= P（A）+P（B）＝ 4
8
1
3
2
5
4
8
2
3
2
5
C
CC
C
CC
=
7
6 ; （Ⅱ） P=1- 4
8
4
5
C
C =
14
13
14
11
6.（Ⅰ）Ｐ（两人都投进两球）＝ 022
2 )6.0()4.0(C 202
2 )6.0()4.0(C = .0576.036.016.0
（Ⅱ）P（两人至少投进三个球）＝ 3072.01728.00768.00576.0
第二课时
例题
例 1 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个，
甲、乙二人依次各抽一题.
（Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？(2000 年新课程卷)
例 2 如图,用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、N2.当元件 A、B、C 都正常工作时,
系统 N1 正常工作；当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时,系统 N2 正常
工作.已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90.分别求系统 N1、N2 正常工
作的概率 P1、P2. (2001 年新课程卷)
例 3 某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是 0.5（相互独立）.
（Ⅰ）求至少 3 人同时上网的概率；
（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于 0.3？(2002 年新课程卷)
例 4 有三种产品，合格率分别是 0.90，0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到 0.001） (2003 年新课程卷)
备用 从分别写有 0，1，2，3，4，5，6 的七张卡片中，任取 4 张，组成没有重复数字的四位数，
计算：
(1)这个四位数是偶数的概率；
(2)这个四位数能被 9 整除的概率；
(3)这个四位数比 4510 大的概率。
解： （1）组成的所有四位数共有 7203
6
1
6 AC 个。四位偶数有：个位是 0 时有 1203
6 A ,个
位不是 0 时有 3002
5
1
5
1
3 CCC ,共有 120+300=420 个.
组成的四位数为偶数的概率为
12
7
720
420
(2)能被 9 整除的数，应该各位上的数字和能被 9 整除.数字组合为：1，2，6，0 1，3，
5，0 2，4，5，0 3，4，5，6 2，3，4，0 此时共有 9624724 4
4
3
3
1
3 AAC .
能被 9 整除的四位数的概率为
15
2
720
96
(3)比 4510 大的数分别有：千位是 4，百位是 5 时，有 1552
5 A ;千位是 4，百位是 6
时，有 202
5 A ;千位大于 4 时，有 2403
6
1
2 AC ;故共有 240+20+18=278.
四位数且比 4510 大的概率为
360
139
720
278
作业
1. 一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000,有四台这中型号的自
动机床各自独立工作,则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是 ( )
（A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.9728
2. 种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为 p 和 q，则恰有一株存活的概率为 ( )
(A) p+q－2p q (B) p+q－pq (C) p+q (D) pq
3. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各 3 面，在每种颜色的 3 面旗帜上分别标上号码 1、2 和
3，现任取出 3 面，它们的颜色与号码不相同的概率是 .
4. 某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正副班长,其中至少有 1 名女
生当选的概率是 (用分数作答)
5. 某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品的概率为 0.1，将次口错误地鉴定
为正品的概率为 0.2，如果这位检验员要鉴定 4 件产品，这 4 件产品中 3 件是正品，1 件是次
品，试求检验员鉴定成正品，次品各 2 件的概率.
6. 如图，用 DCBA ,,, 表示四类不同的元件连接成系统 M .当元件 BA, 至少有一个正常工作且
元件 DC, 至少有一个正常工作时，系统 M
正常工作.已知元件 DCBA ,,, 正常工作的概率
依次为 0.5，0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系
统 M 正常工作的概率 )(MP .
例题答案
1. (Ⅰ)
15
4 ; (Ⅱ)
15
13 . 2. 0.648; 0.792. 3. (Ⅰ)
32
21 ; (Ⅱ) 5 人. 4. (Ⅰ) 0.176 ; (Ⅱ) 0.012 .
作业答案
1. D 2. A 3.
14
1 4.
7
5 5．解：有两种可能：将原 1 件次品仍鉴定为次品，原 3 件正品中 1 件错误地
鉴定为次品;将原 1 件次品错误地鉴定为正品，原 3 件正品中的 2 件错误地鉴定为次品. 概率为
P＝ 9.01.02.09.01.08.0 22
3
21
3 CC ＝0.1998
6．解： )(MP )](1[ BAP )](1[ DCP =0.752
第三课时
例题
例 1 从 10 位同学（其中 6 女，4 男）中随机选出 3 位参加测验.每位女同学能通过测验的概率
均为
5
4 ，每位男同学能通过测验的概率均为
5
3 .试求：
（Ⅰ）选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率；
（Ⅱ）10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
(2004 年全国卷Ⅰ)
例 2 已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组,每组 4 支.求：
（Ⅰ）A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；
（Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. (2004 年全国卷Ⅱ)
C
DB
A
M
例 3 某同学参加科普知识竞赛，需回答 3 个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得
100 分、100 分、200 分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别
为 0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.
（Ⅰ）求这名同学得 300 分的概率；
（Ⅱ）求这名同学至少得 300 分的概率. (2004 年全国卷Ⅲ)
例 4 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛.
（Ⅰ）求所选 3 人都是男生的概率；
（Ⅱ）求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率；
（Ⅲ）求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率. (2004 年天津卷)
备用 A、B、C、D、E 五人分四本不同的书，每人至多分一本，求：
(1)A 不分甲书，B 不分乙书的概率；
(2)甲书不分给 A、B，乙书不分给 C 的概率。
解： （1）分别记“分不到书的是 A，B 不分乙书”，“分不到书的是 B，A 不分甲书”，“分不到书
的是除 A,B 以外的其余的三人中的一人，同时 A 不分甲书，B 不分乙书”为事件 A1,B1,C1，
它们的概率是
20
7)(3)(,20
33)(,20
73)( 4
5
1
2
1
2
1
21
2
3
314
5
3
3
14
5
3
3
1
A
AAAAACPA
ABPA
AAP .
因为事件 A1,B1,C1 彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，A 不分甲书，B 不分乙书的概
率是：
20
13
20
7
20
3
20
3)()()()( 111111 CPBPAPCBAP
(2) 在乙书不分给 C 的情况下，分别记“甲书分给 C”，“甲书分给 D”，“甲书分给 E”为
事件 A2,B2,C2 彼此互斥，有互斥事件的概率加法公式，甲书不分给 A,B，乙书不分给 C 的
概率为：
2
1
20
3
20
3
5
1)()()()( 222222 CPBPAPCBAP
5
1)( 4
5
3
4
2
A
AAP 20
3)()( 4
5
2
3
1
3
22
A
ACCPBP
作业
1. 将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数 1，2，3，4，5，6 的正方体玩
具）先后抛掷 3 次，至少出现一次 6 点向上的概率是 ( )
（A） 5
216
（B） 25
216
（C） 31
216
（D） 91
216
2. 在 5 张卡片上分别写着数字 1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的
数能被 5 或 2 整除的概率是( )
(A) 0.8 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.2
3. 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判曰原来的９名增至 14
名，但只任取其中７名裁判的评分作为有效分，若 14 名裁判中有 2 人受贿，则有效分中没
有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）
4. 某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成。现从中随机
选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为
（结果用分数表示）
5. 已知 10 件产品中有 3 件是次品.
（I）任意取出 3 件产品作检验，求其中至少有 1 件是次品的概率；
（II）为了保证使 3 件次品全部检验出的概率超过 0.6，最少应抽取几件产品作检验？
6. 冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶，每次饮用时从中任意取 1 瓶甲种或乙种饮料，取用甲种
或乙种饮料的概率相等.
（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下 3 瓶的概率；
（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多 4 瓶的概率.
例题答案
1（Ⅰ）
6
5 ;（Ⅱ）
125
4 2（Ⅰ）
7
6 ;（Ⅱ）
2
1 . 3（Ⅰ）0.228;（Ⅱ）0.564. 4（Ⅰ）
5
1 ;（Ⅱ）
5
3 ;（Ⅲ）
5
4 .
作业答案
1. D 2. B 3.
13
3
4.
190
119 5. 解：（Ⅰ）
24
171 3
10
3
7
C
C （Ⅱ）最少应抽取 9 件产品作检验.
6. 解：（I）
128
21)1()5( 255
77 PPCP . （II）P6(5)+P5(5)+P4(4) =C65P5(1－P)+C55P5+C44P4=
16
3
第四课时
例题
例 1 某地区有 5 个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电
（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.
（Ⅰ）求 5 个工厂均选择星期日停电的概率；
（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. (2004 年浙江卷)
例 2 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，
乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题
才算合格.
（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. (2004 年福建卷)
例 3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机
床加工的零件不是一等品的概率为
4
1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是
一等品的概率为
12
1 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为
9
2 .
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
(2004 年湖南卷)
例 4 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用
甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为 P）和所需费用如下:
预防措施 甲 乙 丙 丁
P 0.9 0.8 0.7 0.6
费用（万元） 90 60 30 10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过 120 万元的前
提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.(2004 年湖北卷)
备用 一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为 25%，为实验一种新药是否有效，把它给 10 个病
人服用，且规定若 10 个病人中至少有 4 个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无
效，试求：
(1)虽新药有效，且把痊愈率提高到 35%，但通过试验被否定的概率；
(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率。
解： 记一个病人服用该药痊愈为事件 A，且其概率为 P，那么 10 个病人服用该药相当于 10 次
重复试验.
(1)因新药有效且 P=0.35，故由 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率公式知，试验
被否定（即新药无效）的概率为
5138.0)1()1()1()1(
)3()2(P)1()0(
733
10
822
10
911
10
1000
10
10101010
PPCPPCPPCPPC
PPP
(2)因新药无效，故 P=0.25，试验被认为有效的概率为
.2242.0)3()2()1()0(1)10(P...)5()4( 10101010101010 PPPPPP
答： 新药有效，但通过试验被否定的概率为 0.5138；而新药无效，但通过试验被认为有效的
概率为 0.2242
作业
1. 从 1，2，…，9 这九个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为偶数的概率是
（A）
9
5 （B）
9
4 （C）
21
11 （D）
21
10 ( )
2. 甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是 0.4，乙解决这个问题的概率是 0.5，
那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 ( )
(A)0.9 (B)0.2 (C)0.8 (D)0.7
3. 一个袋中有带标号的 7 个白球，3 个黑球．事件 A：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，
后摸的是白球．那么事件 A 发生的概率为________．
4. 口袋内装有 10 个相同的球，其中 5 个球标有数字 0，5 个球标有数字 1，若从袋中摸出
5 个球，那么摸出的 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是 .（以数值作答）
5. 张华同学骑自行车上学途中要经过 4 个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是
5
1 （假
设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）.
（Ⅰ）求张华同学某次上学途中恰好遇到 3 次红灯的概率.
（Ⅱ）求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过 2 个交叉路口的概率.设
6. 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是
4
3 ，甲、丙两人都做错的概
率是
12
1 ，乙、丙两人都做对的概率是
4
1 .
（Ⅰ）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率.
例题答案
1．（Ⅰ）
16807
1
7
1
5 ； （Ⅱ）
2401
2041
7
1 5
5
7 A . 2．（Ⅰ）
15
14 ;（Ⅱ）
45
44 .
3．（Ⅰ）
3
2
4
1
3
1 ，， ；（Ⅱ）
6
5 4．联合采用乙、丙、丁三种预防措施
作业答案
1. C 2. D 3.
30
7 4.
63
13 5. （Ⅰ）
625
16 （Ⅱ）
125
16 6. （Ⅰ）
8
3 ,
3
2 （Ⅱ）
32
21
第五课时
例题
例 1 某厂生产的 A 产品按每盒 10 件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法
规定：从每盒 10 件 A 产品中任抽 4 件进行检验，若次品数不超过 1 件，就认为该盒产品
合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒 A 产品中有 2 件次品．
（Ⅰ）求该盒产品被检验合格的概率；
（Ⅱ）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．
(2004 年南京市一模)
例 2 一个通信小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通信.每套设备由 3
个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段
内每个部件不出故障的概率为 p，计算在这一时间段内
（Ⅰ）恰有一套设备能正常工作的概率；
（Ⅱ）能进行通信的概率. (2004 年南京市二模)
例 3 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人 100m 跑(互不
影响)的成绩在 13s 内(称为合格)的概率分别是
5
2 ，
4
3 ，
3
1 .如果对这 3 名短跑运动员的 100m
跑的成绩进行一次检测. 问
（Ⅰ）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？
（Ⅱ）出现几人合格的概率最大？ (2004 年南京市三模)
例 4 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0.7、0.6 和 0.5.
（Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（Ⅱ）
若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率. (2004 年重庆卷)
备用 若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为 0.6，乙胜的概率为 0.4，比赛
时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛制度下，甲获胜的可能性较大.
解： 三局两胜制的甲胜概率：
甲胜两场： 4.0)6.0( 22
3 C ,甲胜三场： 33
3 )6.0(C ,
甲胜概率为 4.0)6.0( 22
3 C + 33
3 )6.0(C =0.648
五局三胜制：
甲胜三场： 233
5 )4.0()6.0( C ,甲胜四场： 4.0)6.0( 44
5 C ,甲胜五场： 55
5 )6.0(C ,
甲胜概率为 233
5 )4.0()6.0( C + 4.0)6.0( 44
5 C + 55
5 )6.0(C =0.682
由 0.648<0.682，知五局三胜制中甲获胜的可能性更大.
作业
1. 已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现
需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第 3 次才取得卡口
灯炮的概率为 ( )
（A） 21
40
（B） 17
40
（C） 3
10
（D） 7
120
2. 从 5 名演员中选 3 人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（ ）
(A) 20
3
(B) 10
3
(C) 20
1
(D) 10
1
3. 15 名新生，其中有 3 名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班 5 人，则每班都分到
优秀生的概率是 ．
4. 如图，已知电路中 3 个开关闭合的概率都是 0.5， 且是相互独立的，则灯亮的概率为
5. 甲、乙、丙 3 人一起参加公务员选拔考试，根据 3 人的初试情况，预计他们被录用的概率
依次为 0.7、0.8、0.8. 求:
(Ⅰ)甲、乙 2 人中恰有 1 人被录用的概率；(Ⅱ)3 人中至少的 2 人被录用的概率.
6. 对 5 副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最
后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套； ②B：乙正
好取得两只配对手套；（Ⅱ）A 与 B 是否独立？并证明你的结论．
例题答案
1. (Ⅰ)
4 3 1
8 8 2
4
10
C C C
C
13
15
; (Ⅱ) 1
2
13 13C (1 )15 15
52
225
2. (Ⅰ) 63 22 pp (Ⅱ) 632 pp
3.（Ⅰ）
10
1 ，
10
1 ；（Ⅱ）1 人 . 4. （Ⅰ）0.94, 0.44; （Ⅱ）0.441
作业答案
1. D 2. A 3. 5
10
5
15
4
8
4
12
3
3
CC
CCA 4. 0.625 5. (Ⅰ) 38.0 ; (Ⅱ)0.416+0.448=0.864.
6.(Ⅰ)①
9
1AP ,②
9
1BP ; (Ⅱ) 63ABP , ABPBPAP ,故 A 与 B 是不独立的．
备用课时一 随机事件的概率
例题
例 1 某人有 5 把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：
(1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？
(2)三次内打开的概率是多少？
(3)如果 5 把内有 2 把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
解 5 把钥匙，逐把试开有 5
5A 种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果是等
可能的。
(1)第三次打开房门的结果有 4
4A 种，故第三次打开房门锁的概率 P(A)= 5
5
4
4
A
A =
5
1
(2)三次内打开房门的结果有 4
43A 种，因此所求概率 P(A)= 5
5
4
43
A
A =
5
3
(3)方法 1 因 5 把内有 2 把房门钥匙，故三次内打不开的结果有 2
2
3
3 AA 种，从而三次内打
开的结果有 2
2
3
3
5
5 AAA 种，从而三次内打开的结果有 2
2
3
3
5
5 AAA 种，所求概率 P(A)=
5
5
2
2
3
3
5
5
A
AAA =
10
9 .
方法 2 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果 3
3
1
2
1
3
1
2 AAAC 种；三次内恰
有两次打开的结果 3
3
2
3 AA 种.因此，三次内打开的结果有（ 3
3
2
3
3
3
1
2
1
3
1
2 A AAAAC ）种，所求概
率 P(A)=
10
9
5
5
3
3
2
3
3
3
1
2
1
3
1
2
A
AAAAAC
例 2 某商业银行为储户提供的密码有 0，1，2，…，9 中的 6 个数字组成.
(1)某人随意按下 6 个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
(2)某人忘记了自己储蓄卡的第 6 位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的
概率是多少？
解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个 6 位密码上的每一个数字都有 0，1，2，…，9
这 10 种，正确的结果有 1 种，其概率为 610
1 ，随意按下 6 个数字相当于随意按下 610 个，
随意按下 6 个数字相当于随意按下 610 个密码之一，其概率是 610
1 .
(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前 5 个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能
性的结果为 0，1，2，…，9 这 10 种，正确的结果有 1 种，其概率为
10
1 .
例 3 一个口袋内有 m 个白球和 n 个黑球，从中任取 3 个球，这 3 个球恰好是 2 白 1 黑的概率是
多少？（用组合数表示）
解 设事件 I 是“从 m 个白球和 n 个黑球中任选 3 个球”，要对应集合 I1，事件 A 是“从 m 个白
球中任选 2 个球，从 n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且 Card(I1)=
123 )(, nmnm CCACardC ，于是 P(A)= 3
12
1)(
)(
nm
nm
C
CC
ICard
ACard
.
例 4 将一枚骰子先后抛掷 2 次，计算:
(1)一共有多少种不同的结果.
(2)其中向上的数之积是 12 的结果有多少种？
(3)向上数之积是 12 的概率是多少？
解 （1）将骰子向桌面先后抛掷两次，一共有 36 种不同的结果.
(2)向上的数之积是 12，记（I,j）为“第一次掷出结果为 I，第二次掷出结果为 j”则相乘
为 12 的结果有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）4 种情况.
(3)由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷 2 次的所有 36 种结果是等可能的，其中“向上
的数之积是 12”这一事件记为 A.Card(A)=4.所以所求概率 P(A)=
36
4 =
9
1 .
作业
1． 袋中有 a 只黑球 b 只白球，它们除颜色不同外，没有其它差别，现在把球随机地一只一只摸
出来，求第 k 次摸出的球是黑球的概率.
解法一：把 a 只黑球和 b 只白球都看作是不同的，将所有的球都一一摸出来放在一直线上的 a+b
个位置上，把所有的不同的排法作为基本事件的全体，则全体基本事件的总数为（a+b）！，
而有利事件数为 a(a+b-1)!故所求概率为 P=
ba
a
ba
baa
)!(
)!1( 。
解法二：把 a 只黑球和 b 只白球看作是不同的，将前 k 次摸球的所有不同可能作为基本事件全体，
总数为 k
baA ，有利事件为 1
1
k
baaA ，故所求概率为 P=
ba
a
A
aA
k
ba
k
ba
1
1
解法三：把只考虑 k 次摸出球的每一种可能作为基本事件，总数为 a+b，有利事件为 a,故所求概
率为
ba
aP .
备用课时二 互斥事件有一个发生的概率
例题
例 1 房间里有 6 个人，求至少有 2 个人的生日在同一月内的概率.
解 6 个人生日都不在同一月内的概率 P( A )= 6
6
12
12
A .故所求概率为 P(A)=1-P( A )=1- 6
6
12
12
A .
例 2 从一副 52 张的扑克牌中任取 4 张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。
解法 1 任取四张牌，设至少有两张牌的花色相同为事件 A；四张牌是同一花色为事件 B1；有 3
张牌是同一花色，另一张牌是其他花色为事件 B2；每两张牌是同一花色为事件 B3；只有两张
牌是同一花色，另两张牌分别是不同花色为事件 B4 ，可见，B1,B2,B3,B4 彼此互斥，且
A=B1+B2+B3+B4。
P(B1)= 0106.04
52
4
13
1
4
C
CC , P(B2)= 1648.04
52
1
13
1
3
3
13
1
4
C
CCCC ,
P(B3)= 1348.04
52
2
13
2
2
2
13
2
4
C
CCCC , P(B4)= 5843.0)(
4
52
21
13
2
3
2
13
4
4
C
CCCC ,
P(A)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4) 0.8945
解法 2 设任取四长牌中至少有两张牌的花色相同为事件 A，则 A 为取出的四张牌的花色各不相
同， P（ A ）= 1055.0)(
4
52
41
13
C
C ， 8945.0)(1)( APAP
答：至少有两张牌花色相同的概率是 0.8945
例 3 在 20 件产品中有 15 件正品，5 件次品，从中任取 3 件，求：
（1）恰有 1 件次品的概率；（2）至少有 1 件次品的概率.
解 （1）从 20 件产品中任取 3 件的取法有 3
20C ，其中恰有 1 件次品的取法为 1
5
2
15CC 。
恰有一件次品的概率 P=
76
35
3
20
1
5
2
15
C
CC .
(2)法一 从 20 件产品中任取 3 件，其中恰有 1 件次品为事件 A1,恰有 2 件次品为事件 A2，3
件全是次品为事件 A3,则它们的概率
P(A1)= 3
20
1
5
2
15
C
CC =
228
105 ,
228
2)( 3
20
1
15
2
5
2
C
CCAP ,
228
2)( 3
20
3
5
3
C
CAP ,
而事件 A1、A2、A3 彼此互斥，因此 3 件中至少有 1 件次品的概率
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
228
137 .
法二 记从 20 件产品中任取 3 件，3 件全是正品为事件 A，那么任取 3 件，至少有 1 件次品
为 A ，根据对立事件的概率加法公式 P( A )=
228
1371)(1 3
20
3
15
C
CAP
例 4 1 副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块 4 种花色，每种 13 张，共 52 张，从 1 副洗好的牌
中任取 4 张，求 4 张中至少有 3 张黑桃的概率.
解 从 52 张牌中任取 4 张，有 4
52C 种取法.“4 张中至少有 3 张黑桃”，可分为“恰有 3 张黑桃”
和“4 张全是黑桃”，共有 4
13
1
39
3
13 CCC 种取法 4
52
4
13
1
39
3
13
C
CCC
注 研究至少情况时，分类要清楚。
作业
1． 在 100 件产品中，有 95 件合格品，5 件次品，从中任取 2 件，求：
(1) 2 件都是合格品的概率；
(2) 2 件都是次品的概率；
(3)1 件是合格品，1 件是次品的概率。
解 从 100 件产品中任取 2 件的可能出现的结果数，就是从 100 个元素中任取 2 个元素的组合数
2
100C ，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等. 49502
100 C 为基本事件总数.
（1）00 件产品中有 95 件合格品，取到 2 件合格品的结果数，就是从 95 个元素中任取 2 个
组合数 2
95C ，记“任取 2 件都是合格品”为事件 A1，那么
990
893)( 2
100
2
95
1
C
CAP
（2）由于在 100 件产品中有 5 件次品，取到 2 件次品的结果数为 2
5C .记“任取 2 件都是次
品”为事件 A2,那么事件 A2 的概率为：
495
1)( 2
100
2
5
2
C
CAP
（3）记“任取 2 件，1 件是次品，1 件是合格品”为 1
5
5
9 CC 种，则事件 A3 的概率为：
198
19)P(A 2
100
1
5
1
95
3
C
CC
备用课时三 相互独立事件同时发生的概率
例题
例 1 猎人在距离 100 米处射击一野兔，其命中率为 0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二
次射击，但距离 150 米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间
距离为 200 米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.
解 记三次射击依次为事件 A，B，C，其中
2
1)( AP ,由 2100)(2
1 kAP ，求得 k=5000。
8
1
200
5000P(C),9
2
150
5000P(B) 22 ,命中野兔的概率为
.144
95
8
1)9
21)(2
11(9
2)2
11(2
1
)()()()()()()()AP(P(A)
CPBPAPBPAPAPCBAPB
例 2 1 个产品要经过 2 道加工程序，第一道工序的次品率为 3%，第二道工序次品率为 2%，求产
品的次品率.
解 设“第一道工序出现次品“为事件 A，“第二道工序出现次品”为事件 B，“至少有一道工序
出现次品”该产品就是次品，所求概率为
0494.0)02.01)(03.01(1)()(1)( BPAPBAP
例 3 如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有六个焊接点 A、B、C、D、E、F，如
果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。每个焊接点脱落的概率均是 1
2
，现在发现电路
不通了，那么至少有两个焊接点脱落的概率是多少？
解：
64
57
2
1
2
11 6
1
66 C
例 4 要制造一种机器零件，甲机床废品率为 0.05，而乙机床废品率为 0.1，而它们的生产是独
立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率.
解： 设事件 A 为“从甲机床抽得的一件是废品”；B 为“从乙机床抽得的一件是废品”.
则 P（A）=0.05, P(B)=0.1,
（1）至少有一件废品的概率
145.090.095.01)()(1)(1)( BPAPBAPBAP
（2）至多有一件废品的概率
995.09.095.01.095.09.005.0)( BABABAPP
作业
1． 假设每一架飞机引擎飞机中故障率为 P，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少 50%
的引擎能正常运行，问对于多大的 P 而言，4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全？
解 飞机成功飞行的概率：
4 引擎飞机为：
2322
44
4
33
4
222
4
)1(4)1(6
)1()1(
PPPPP
PCPPCPPC
2 引擎飞机为： 222
2
1
2 )1(2)1( PPPPCPPC
要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全，只要
02783)1(2)1(4)1(6 2324322 pPPPPPPPPPP
所以
3
2,023 PP
立体几何
1 平行关系
例题讲解：
例 1：已知四面体 ABCD 中，M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，求证：
(1)MN∥平面 ABD；
(2)BD∥平面 CMN。
答案与提示：连 CM、CN 分别交 AB、AD 于 E、F，连 EF，易证
MN∥EF∥BD
例 2.已知边长为 10 的等边三角形 ABC 的顶点 A 在平面α内，顶点 B、C 在平面α的上方，BD
为 AC 边上的中线，B、C 到平面α的距离 BB1=2，CC1=4．
(1)求证：BB1∥平面 ACC1
(2)求证：BD⊥平面 ACC1
(3)求四棱锥 A-BCC1B1 的体积
答案与提示：（3）30 7
例 3.已知 PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，M、N 分别是 AB、PC 的中点.
(1) 求证：MN∥平面 PAD；
(2) 求证：MN⊥CD；
(3) 若平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角为θ，问能否确定θ的值，使得 MN 是异面直线 AB 与
PC 的公垂线.
答案与提示：（3）45°
D
CB
M
A N
P
备用题
如图,在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥面 ABC，△ABC 为正三角形， D、E 分别为 BC、AC 的中点，
设 AB=2PA=2，
(1)如何在 BC 上找一点 F，使 AD∥平面 PEF？说明理由；
(2)对于(1)中的点 F，求二面角 P-EF-A 的大小；
答案与提示：（1）F 为 CD 中点（2）arctan2
作业
在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1=1
2 AB，点 E、M 分别为 A1B、C1C
的中点，过 A1，B，M 三点的平面交 C1D1 于点 N。
(1)求证：EM∥平面 ABCD；
(2)求二面角 B-A1N-B1 的正切值。
答案与提示：（2）arctan 5
4
2 垂直关系
例题讲解：
例 1：如图,在三棱锥 P-ABC 中，AB=BC=CA，PA⊥底面 ABC，D 为 AB 的中点．
(1)求证：CD⊥PB；
(2)设二面角 A-PB-C 的平面角为α，且 tanα= 7，若底面边长为 1，求三棱锥 P-ABC 的体积．
答案与提示：（2）1
8
例 2：已知 ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，E、F 分别是棱 AA1 和 CC1 的中点，G
是 A1C1 的中点．
(1)求证平面 BFD1E⊥平面 BGD1；
(2)求点 G 到平面 BFD1E 的距离；
(3)求四棱锥 A1-BFD1E 的体积．
答案与提示：（2） 6
6 a (3) 1
6a3
例 3：四边形 ABCD 中．AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，
∠BAD=90°，将△ABD 沿对角线 BD 折起，记折起点 A 的位置为 P，且使平面 PBD⊥平
面 BCD．
(1)求证：CD⊥平面 PBD；
(2)求证：平面 PBC⊥平面 PDC；
(3)求二面角 P—BC—D 的大小．
答案与提示：(2)先证 PB⊥面 PCD (3)arctan 2
B
A
P
D
C
E
备用题
在三棱锥 S-ABC 中，已知 SA=4，AB=AC，BC=3 6 ,∠SAB=∠SAC=45°,SA 与底面 ABC 所
的角为 30°.
(1)求证：SA⊥BC；
(2)求二面角 S—BC—A 的大小；
(3)求三棱锥 S—ABC 的体积．
答案与提示：(2)arctan2
3 3 (3)9 2
作业
1.在四棱锥 P-ABCD 中，已知 PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为等腰梯形,且∠DAB=60°，AB=2CD，
∠DCP=45°，设 CD=a．
(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积．
(2)求证：AD⊥PB．
答案与提示：(1) 3
4 a3
2.如图，正三角形 ABC 与直角三角形 BCD 成直二面角，且∠BCD=90°，∠CBD=30°.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求二面角 D—AB—C 的大小；
答案与提示：(2)arctan2
3
3 空间角
例 1 、 如 图 1 ， 设 ABC-A 1 B 1 C 1 是 直 三 棱 柱 ， F 是 A 1 B 1 的 中 点 ， 且
S
C
C
B
A
A
A
B C
D
(1)求证：AF⊥A 1 C； (2)求二面角 C-AF-B 的大小．
解：(1)如图 2，设 E 是 AB 的中点，连接 CE，EA 1 ．由 ABC-A 1 B 1 C 1 是直三棱柱，知 AA 1 ⊥
平面 ABC，而 CE 平面 ABC，所以 CE⊥AA 1 ，
∵AB=2AA 1 =2a，∴AA 1 =a，AA 1 ⊥AE，知 AA 1 FE 是正方形，从而 AF⊥A 1 E．而 A 1 E 是
A 1 C 在平面 AA 1 FE 上的射影，故 AF⊥A 1 C；
(2)设 G 是 AB 1 与 A1E 的中点，连接 CG．因为 CE⊥平面 AA 1 B 1 B，AF⊥A 1 E，由三垂线定
理，CG⊥AF，所以∠CGE 就是二面角 C-AF-B 的平面角．∵AA 1 FE 是正方形，AA 1 =a，
∴ 1
1 2
2 2EG EA a ， ∴ 2 21 62 2 2CG a a a ，
∴tan∠CGE=
6
2 3
2
2
aCG
EG a
，∠CGE＝ 60 ，从而二面角 C-AF-B 的大小为 60 。
例 2、 一条长为 2 的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB 与成 45o 角，与成30
角，过 A、B 两点分别作两平面交线的垂线 AC、BD，求平面 ABD 与平面 ABC 所成的二面角的
大小．
以 CD 为轴，将平 以 AB 为轴，将平
面 BCD 旋转至与 面 ABD 旋转至与
平面 ACD 共面 平面 ABC 共面
图 1 图 2 图 3
解法１、过 D 点作 DE⊥AB 于 E，过 E 作 EF⊥AB 交 BC 于 F(图 1)，连结 DF，则∠DEF
即为二面角 D－AB－C 的平面角．
为计算△DEF 各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图 2 中，可计算得 DE＝1，
EF＝
3
1 ，BF＝ 030cos
BE ＝
3
2 ．在移出图 3 中，
∵ cosB＝
BC
BD ＝
3
2 ,
在△BDF 中，由余弦定理：
DF 2＝BD 2＋BF 2－2BD ﹒ BF ﹒ cosB
45o
30o
A
B
C F
HE
D
β
A B
C
D
F
o45
03 o
2√
1
1
1
1E
√
2
A
B
C D
F
1
2√
＝( 2 )2＋(
3
2 )2 －2 2 ﹒
3
2 ﹒
3
2 ＝
3
2 ．
（注：其实，由于 AB⊥DE，AB⊥EF，∴ AB⊥平面 DEF，∴ AB⊥DF．
又∵ AC⊥平面， ∴ AC⊥DF． ∴ DF⊥平面 ABC， ∴ DF⊥BC，即 DF 是 Rt△BDC
斜边 BC 上的高，于是由 BC ﹒ DF＝CD ﹒BD 可直接求得 DF 的长．）
在△DEF 中，由余弦定理：
cos∠DEF＝
EFDE
DFEFDE
2
222
＝
3
112
3
2)
3
1(1 2
＝
3
3 .
∴ ∠DEF＝arccos 3
3 .此即平面 ABD 与平面 ABC 所成的二面角的大小．
解法２、过 D 点作 DE⊥AB 于 E，过 C 作 CH⊥AB 于 H，则 HE 是二异面直线 CH 和 DE 的
公垂线段，CD 即二异面直线上两点 C、D 间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得：
CD 2＝DE 2＋CH 2＋EH 2－2DE CH cos (*)
（注：这里的是平面 ABD 与平面 ABC 所成的二面角的大小，当 0＜ o≤90o， 亦即异面
直线 CH 与 DE 所成的角；当 90o＜ ＜180o，异面直线所成的角为 180o－ .）
∵ CD＝DE＝1，CH＝
2
3 ，HE＝
2
1 ，
从而算得 cos＝
3
3 ， ∴ ＝arccos 3
3 .
例 3、如图 1，直三棱柱 ABC－A 1 B 1 C 1 的各条棱长都相等，
D 为棱 BC 上的一点，在截面 ADC 1 中，若∠ADC 1 ＝90 ，
求二面角 D－AC1－C 的大小．
解：由已知，直三棱柱的侧面均为正方形， 图 7
∵ ∠ADC1＝90o，即 AD⊥C1D．又 CC1⊥平面 ABC，
∴ AD⊥CC1. ∴ AD⊥侧面 BC1，∴ AD⊥BC， 图 1
∴ D 为 BC 的中点．
过 C 作 CE⊥C1D 于 E，∵ 平面 ADC1⊥侧面 BC1，
∴ CE⊥平面 ADC1．取 AC1 的中点 F，连结 CF，则 CF⊥AC1．
连结 EF，则 EF⊥AC1(三垂线定理)
∴ ∠EFC 是二面角 D－AC1－C 的平面角．
在 Rt△EFC 中，sin∠EFC＝
CF
CE . ∵ BC＝CC1＝a
易求得 CE＝
5
a ，CF＝ a2
2 .
∴ sin∠EFC＝
5
10 ， ∴ ∠EFC＝arcsin 5
10 .
∴ 二面角 D－AC1－C 的大小为 arcsin 5
10 .
例 4、（2004 年北京春季高考题）如图，
四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，
1A
B
C
D
B1
C1
F
EA
D
A B
S
C
图（1）
SD 垂直于底面 ABCD，SB=√3。
（I）求证 BC SC ；
（II）求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小；
（III）设棱 SA 的中点为 M，求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小。
(Ⅳ)求 SD 与面 SAB 所成角的大小。
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能
力和运算能力。
（I）证明：如图 1
∵底面 ABCD 是正方形 BC DC
SD⊥底面 ABCD DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影
由三垂线定理得 BC SC
（II）解：SD⊥底面 ABCD，且 ABCD 为正方形
可以把四棱锥 S ABCD 补形为长方体 A B C S ABCD1 1 1 ，如图 2
面 ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面 ADSA1 与面 BCSA1 所成的二面角，
SC BC BC A S
SC A S
， / / 1
1
又 SD A S 1 CSD 为所求二面角的平面角
在 Rt SCB 中，由勾股定理得 SC 2 在 Rt SDC 中，由勾股定理得 SD 1
CSD 45 即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为 45
C1
C
A
D
B
A1
S
B1
BA
D
S
l
C
图 2 图 3
（III）解：如图 3 SD AD SDA 1 90，
SDA 是等腰直角三角形 又 M 是斜边 SA 的中点
DM SA
BA AD BA SD AD SD D ， ，
BA 面 ASD，SA 是 SB 在面 ASD 上的射影
由三垂线定理得 DM SB 异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90
(Ⅳ) 45°
练习：1.设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且 AB=BC=BD，∠ABC=
∠DBC=120º.求：
(1).直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小.
(2).异面直线 AD 与 BC 所成的角.
(3) .二面角 A-BD-C 的大小.
答案：（1）45°（2）90°（3）180°-arctan2
2..如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 6，D,E 分别为 AA1,B1C1 的中点.
(1)求证：平面 AA1E⊥平面 BCD；
(2)求直线 A1B1 与平面 BCD 所成的角．
答案：（2）30°
3.如图,四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，
PD=a，PA=PC= 2a，
(1)求证：PD⊥平面 ABCD；
(2)求异面直线 PB 与 AC 所成角的大小；
(3)求二面角 A-PB-D 的大小；
(4)在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径．
答案：（2）90°（3）60°(4)(2-√2)a/2
4. 在 三 棱 锥 S-ABC 中 ， 已 知 SA=4 ， AB=AC ，
BC=3 6,∠SAB=∠SAC=45º,SA 与底面 ABC 所成的角为 30º.
(1)求证：SA⊥BC；
(2)求二面角 S—BC—A 的大小;
(3)求三棱锥 S—ABC 的体积．
答案：（3）9
4 距离
例 1、如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面 ABC 为等腰直
角三角形，∠ACB=900，AC=1，C 点到 AB1 的距离为
CE=
2
3 ，D 为 AB 的中点.
（1）求证：AB1⊥平面 CED；
A B
C
D
A1
E
B1
C1
（2）求异面直线 AB1 与 CD 之间的距离；
（3）求二面角 B1—AC—B 的平面角.
解:（1）∵D 是 AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形，
∠ABC=900，∴CD⊥AB 又 AA1⊥平面 ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面 A1B1BA ∴CD⊥AB1，又 CE⊥AB1，
∴AB1⊥平面 CDE；
（2）由 CD⊥平面 A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面 CDE ∴DE⊥AB1,
∴DE 是异面直线 AB1 与 CD 的公垂线段
∵CE=
2
3 ，AC=1 , ∴CD= .2
2 ∴
2
1)()( 22 CDCEDE ；
（3）连结 B1C，易证 B1C⊥AC，又 BC⊥AC ,
∴∠B1CB 是二面角 B1—AC—B 的平面角.
在 Rt△CEA 中，CE=
2
3 ，BC=AC=1,∴∠B1AC=600
∴ 2
60cos
1
21 AB ， ∴ 2)()( 22
11 ABABBB ,
∴ 21
1
BC
BBCBBtg , ∴ 21 arctgCBB .
例 2、如图，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC
上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN= a ).20( a
（1） 求 MN 的长；
（2） 当 a 为何值时，MN 的长最小；
（3） 当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 的大小。
例 3. 如图，平面∩平面＝MN，
二面角 A－MN－B 为 60°,点 A∈，
B∈，C∈MN，∠ACM＝∠BCN＝45°.
AC＝1,
(1) 求点 A 到平面的距离；
(2) 求二面角 A－BC－M 的大小．
答案(1) 4
6 ； (2)arctan 3
6 (提示：求出点 A 在平面 的射影到直线 BC 的距离为
4
3 ).
A F
B E
D
C
M
N
A
C B
M
N
β
例 4、已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱 AA1＝4cm，
它的底面△ABC 中有 AC＝BC＝2cm，∠C＝90°,E 是 AB 的
中点．
(1) 求证：CE 和 AB1 所在的异面直线的距离等于
3
32 cm；
(2) 求截面 ACB1 与侧面 ABB1A1 所成的二面角的大小．
答案 (2) arccos 5
10 .
练习：1.已知：如图，△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P是平面ABC外一点，且
PA=PB=PC=6cm．
(1)求点P到平面ABC的距离；
(2)求PA与平面ABC所成角的余弦．
2.如图，正三棱柱 A1B1C1-ABC 中，底面边长和侧棱长都是 1，D、E 分别是 C1C 和 A1B1
的中点．
(1)求点 E 到平面 ABD 的距离：
(2)求二面角 A—BD—C 的正切值．
3.如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的九条棱均相等，D 是 BC 上一
点，AD⊥C1D.
(1).求证：截面 ABC1⊥侧面 BCC1B1.
(2)求二面角 C-AC1-D 的大小.
(3)若 AB=2，求直线 A1B 与截面 ADC1 的距离.
.
4.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BC、A1D1 的中点.
(1)求证：四边形 B1EDF 是菱形；
(2)求直线 A1C 与 DB 的距离；
(3)求直线 AD 与平面 B1EDF 所成的角.
(4)求平面 B1D1C 与 A1DB 的距离
A
B
B
E
C
A1
1C
1
D
C
B
A
C1
B1
A1
P
A
B
C
D
OE
F
P
A
B
C
D
E
F
G
5 多 面 体
例 1．斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 b，
侧棱 AA1 和 AB、AC 都成 45°的角，求棱柱的侧面积和体积.
例 2．三棱锥各侧面与底面均成 45°角，底面三角形三内角 A、B、C 满足 2B＝A＋C，最大边与
最小边是方程 3x2－27x＋32=0 的两根．
（1）求棱锥的高；（2） 求棱锥的侧面积．
例 3．如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 4，M 是 BC 的中点，N 是 CC1 上一点，满足
MN⊥AB1
（1）试求三棱锥 AMNB 1 的体积；
（2）求点 C1 到平面 AMN 的距离。
例 4．如图，三棱柱 111 CBAABC 的底面是边长为 a 的正三角形，侧面 11AABB 是菱形且垂直于
底面，∠ ABA1 ＝60°，M 是 11BA 的中点．
（1）求证：BM⊥AC；
（2）求二面角 111 ACBB 的正切值；
（3）求三棱锥 CBAM 1 的体积．
习题
1．正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 a，E、F 分别是侧棱 PB、PC 的中点，且 E、A、F 三点的截
面垂直于侧面 PBC．
（1） 求棱锥的全面积；（2） 侧面与底面所成的角的余弦值．
2．如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD AC B D 的侧棱 1AA 的长是 a，底面 ABCD 是 边 长
AB=2a，BD=a 的矩形，E 为 1 1C D 的中点。
(.1)求二面角 E-BD-C 的大小;
(2)求三棱锥 1B BDE 的体积.
3．如图，正三棱柱 111 CBAABC 的底面边长为 a，点 M 在边 BC 上，
MB
A
B1
A1 C1
C
N
△ 1AMC 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证点 M 为边 BC 的中点；
（2）求点 C 到平面 1AMC 的距离；
（3）求二面角 CACM 1 的大小．
答案：
例题
1． abS ）＋＝（侧 21 ，
bav 2
4
1＝体
2．作 PO面 ABC，作 OD,OE,OF 分别垂直于三边，连结 PD，PE，PF，，易得，B＝600
3
32,9 acca , 0222 60cos2accab =7, )(2
1sin2
1 cbarBacS ,
3
3r ,
3
68
3
6
2
1,3
6,3
3 ）（ ＝侧 cbaSPFPEPDPOh
3．三棱锥 AMNB 1 的体积为
3
310 ， 点 C1 到平面 AMN 的距离为
5
56
4．（1）证明：∵ 11AABB 是菱形，∠ ABA1 ＝60° △ BBA 11 是正三角形
又∵ 111
11111
111 CBABMCBABBAA
BABMBAM 平面
平面平面又
的中点是 ，
ACBECAAC
CABM
11
11
//又
（2） 11
111
11 CBBE
CBABM
ECBMEM
平面
且交于点作过
∴ ∠BEM 为所求二面角的平面角
△ 111 CBA 中， sin1 MBME 60° a4
3 ，Rt△ 1BMB 中， tan1 MBMB 60° a2
3
∴ 2tan
ME
MBBEM ， ∴ 所求二面角的正切值是 2；
（3） 32
16
1
2
3
4
3
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
11111
aaaVVVV ABCACBAACBABCBAM
习题
1． 2
4
23
4
3 aS ）＋＝（全 ，
6
6cos
2. 二面角 E-BD-C 的大小为 45°，三棱锥 1B BDE 的体积为 2
6
1 a
3．（1）∵ △ 1AMC 为以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形，∴
MCAM 1 且 MCAM 1 ．∵ 正三棱柱 111 CBAABC ， ∴
1CC 底面 ABC．
O
CA
B
O
A
B
C
H
∴ MC1 在底面内的射影为 CM，AM⊥CM．
∵ 底面 ABC 为边长为 a 的正三角形，∴ 点 M 为 BC 边的中点．
（2）过点 C 作 CH⊥ 1MC ，由（1）知 AM⊥ MC1 且 AM⊥CM，
∴ AM⊥平面 CMC1 ∵ CH 在平面 CMC1 内， ∴ CH⊥AM，
∴ CH⊥平面 AMC1 ，由（1）知， aCMAM 2
3 ， aCM 2
1 且 BCCC 1 ．
∴ aaaCC 2
2
4
1
4
3 22
1 ． ∴ a
a
aa
MC
CMCCCH 6
6
2
3
2
1
2
2
1
1
．
∴ 点 C 到平面 1AMC 的距离为底面边长为 a6
6 ．
（3）过点 C 作 CI⊥ 1AC 于 I，连 HI， ∵ CH⊥平面 AMC1 ，
∴ HI 为 CI 在平面 AMC1 内的射影，
∴ HI⊥ 1AC ，∠CIH 是二面角 CACM 1 的平面角．
在直角三角形 1ACC 中， a
aa
aa
AC
ACCCCI 3
3
)2
2(
2
2
221
1
， CIHsin
CI
CH
2
2
3
3
6
6
a
， ∴ ∠CIH＝45°， ∴ 二面角 CACM 1 的大小为 45°
6 球
例 1．设地球是半径为 R 的球，地球上 A、B 两地都在北纬 45上，A、B 两点的球面距离是1
3
R，
A 在东经 20，求点 B 的位置
例 2．半径为 13cm 的球面上有 A、B、C 三点，每两点间的距离是
AB=6cm，BC=8cm，CA=10cm，求这三点所在的平面到球心的距
离.
例 3．半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为 6 ，
求半球的表面积和体积。
A
B
C
S
E
D
例 4．如图，A、B、C 是半径为 1 的球面上的三点，B、C 两点间的球面距离为
3
1 π，点 A 与 B、
C 两点间的球面距离均为
2
，O 为球心，求：
（1）∠BOC、∠AOB 的大小；
（2）球心 O 到截面 ABC 的距离.
习题
1．已知正方体的全面积为 24，求：（1）求外接球的表面积； （2）求内切球的表面积.
2．一个正四面体的棱长为 2 6 ，求该四面体的外接球的体积.
3．在 120°的二面角内放一个半径为 5 的球，分别切两个半平面于点 A、B，求这两个切点 A、B
在球面上的最短距离
答案：
例题
1．东径 1100，或者西径 70° 2．12cm
3. 18π，， 18π
4. ∠BOC=
3
, ∠AOB=
2
, 球心 O 到截面 ABC 的距离为
7
21
习题
1．外接球的表面积为 12π，内切球的表面积为 4π， 2．36π
3．
3
5
7 综合应用(1)
例题讲解：
例 1：如图，在斜四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，∠DAB＝60°，
若点 A1 在平面 ABCD 上的射影是 BD 的中点，设点 E 是 CC1 上的中点，AA1＝4．
(1)求证：BB1D1D 是矩形；
(2)求二面角 E—BD—C 的大小；
(3)求四面体 B1—BDE 的体积．
答案与提示：(2)arccos 3
14 21 (3) 16
3 3
例 2：三棱锥 S—ABC 中，底面△ABC 是顶角为∠ABC=α、
AC=a 的等腰三角形，SCA= π
2
，SC=b，侧面 SAC 与底面
ABC 所成二面角为θ（0<θ≤ π
2
）,E、D 分别为 SA 和 AC 的
中点.
（1）求证无论θ，α为何值时，点 S 到截面 BDE 的距离为定值;
（2）求三棱锥 S—ABC 的体积.
A
B
D
C
O
A 1
B1
C1
D1
E
答案与提示：(1)a
2 (2) 1
12c2bcotα
2sinθ
例 3：如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD=DC，E
是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.
(1)求证：PA∥平面 EBD；
(2)求证：PB⊥平面 EFD；
(3)求二面角 C-PB-D 的大小.
答案与提示：(3)60°
备用题：
1.如图，已知四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形，BD 和 AC 相交于 O 点，侧面 SAB 是
等边三角形，且平面 SAB 平面 ABCD。
(1)求 SO 与平面 SAB 所成的角；
(2)求二面角 B－SA－C 的大小；
(3)求点 C 到平面 SBD 的距离。
答案与提示：(1)30°(2)arctan2
3 3
作业
1.已知矩形 ABCD 中，AB=1，BC=a(a>0)，PA⊥平面 ABCD，且 PA=1.
(1)问 BC 边上是否存在点 Q，使得 PQ⊥QD；
(2)若 BC 边上有且仅有一个点 Q，使得 PQ⊥QD ，求这时二面角 Q-PD-A 的大小.
答案与提示：(1)当 a≥2 时存在，当 a<2 时不存在 (2)arctan1
2 5
2.如图，四棱锥 P-ABCD 中，PB⊥底面 ABCD，CD⊥PD，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，
AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点 E 在棱 PA 上，且 PE=2EA.
(1) 求异面直线 PA 与 CD 所成的角；
(2) 求证：PC∥平面 EBD；
(3) 求二面角 A-BE-D 的大小.
答案与提示：(1) 60° (3)arctan 5
A
B C
D
S
O
P
D
A B
C
EF
D
CQB
A
P
C
D A
B
E
P
8 综合应用(2)
例题讲解：
例 1：已知斜三棱柱 ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α
（0°<α<90°），B’在底面上的射影 D 落在 BC 上。
（1）求证：AC⊥面 BB’C’C。
（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得 D 恰为 BC 的中点。
答案与提示：(2) 60°
例 2：如图，已知 PA 面 ABC ， BCAD 于 D， 1 ADCDBC 。
（1）令 xPD ， BPC ，试把 tan 表示为 x 的函数，并求其最大值；
（2）在直线 PA 上是否存在一点 Q，使得 BACBQC ？
答案与提示：(1) tan = x
x2+2
最大值为1
4 2 (2)存在
例 3：长方体 1111 DCBAABCD 中， 1 BCAB ， 21 AA ， E 是侧棱
1BB 中点．
（1）求直线 1AA 与平面 EDA 11 所成角的大小；
（2）求二面角 BACE 1 的大小；
（3）求三棱锥 EDCA 11 的体积．
答案与提示：(1)45°(2)
3
6arctan (3) 1
6
备用题：
如图，直四棱柱中 ABCD-A1B1C1D1，底面 ABCD 为直角梯形，AB∥CD，
∠ABC=90° ， AA1=2AB=4 ， E 、 F 分 别 为 AA1 、 DD1 上 的 点 ， 且
A1E=DF=1=BC=CD.
(1) 求直线 EF 与平面 ABB1A1 所成的角；
(2) 求证：平面 CEF⊥平面 ADD1A1.
答案与提示：(1)arctan1
5 5(2)证 AF⊥面 CEF
作业
1.如图，已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，过 BC1 的平面 BC1D∥AB1，平面 BC1D
交 AC 于 D.
（1）求证 BD⊥平面 ACC1A1；
AB
D
P
C
1
1
1
1
FB
D1
B1A1
E
A
DC
B1C1
B1
（2）若二面角 C1—BD—C 等于 60°，求平面 BC1D 与平面 BCC1B1 所成二面角的大小.（结果用
反三角函数表示）
答案与提示：(2)arctan1
3 7
2.如图，已知四边形 ABCD 为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面 ABCD，CD=2，
PA=AD=AB=1，E 为 PC 的中点.
（1）求证：EB∥平面 PAD；
（2）求直线 BD 与平面 PCD 所成的角；
（3）求二面角 A—PC—D 的大小.
答案与提示：(2)30°(3) arctan1
2 6
解析几何
高考第一问训练（第一课时）
高考解答题中解析几何是在第二问中加大区分度的，因此第一问的训练对于普通学校来说还是非
常重要的，而第一问常考查动点的轨迹，求直线方程 ，圆锥曲线方程中的基本量，近年来，又
加入了向量，但只是考察向量知识为主，以向量方法去做题在第一问中考查的还不多。
例一．（2004. 辽宁卷）（本小题满分 12 分）
设椭圆方程为 14
2
2 yx ，过点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 是坐标原点，
点 P 满足 )(2
1 OBOAOP ，点 N 的坐标为 )2
1,2
1( ，当 l 绕点 M 旋转时，求：
（1）动点 P 的轨迹方程；
解答：．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以
及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分 12 分.
（1）解法一：直线 l 过点 M（0，1）设其斜率为 k，则 l 的方程为 .1 kxy
记 ),( 11 yxA 、 ),,( 22 yxB 由题设可得点 A、B 的坐标 ),( 11 yx 、 ),( 22 yx 是方程组
14
1
2
2 yx
kxy
的解.…………………………2 分
将①代入②并化简得， 032)4( 22 kxxk ，所以
.
4
8
,
4
2
221
221
k
yy
k
kxx
于是
).
4
4,
4
()2,2()(2
1
22
2121
kk
kyyxxOBOAOP
…………6 分
设点 P 的坐标为 ),,( yx 则
①
②
.
4
4
,
4
2
2
k
y
k
kx
消去参数 k 得 04 22 yyx ③
当 k 不存在时，A、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点 P 的轨迹方
程为 .04 22 yyx ………………8 分
解法二：设点 P 的坐标为 ),( yx ，因 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 在椭圆上，所以
,14
2
12
1 yx ④ .14
2
22
2 yx ⑤
④—⑤得 0)(4
1 2
2
2
1
2
2
2
1 yyxx ，所以
.0))((4
1))(( 21212121 yyyyxxxx
当 21 xx 时，有 .0)(4
1
21
21
2121
xx
yyyyxx ⑥
并且
.1
,2
,2
21
21
21
21
xx
yy
x
y
yyy
xxx
⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .04 22 yyx ⑧
当 21 xx 时，点 A、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点 P 的坐标为（0，0）
也满足⑧，所以点 P 的轨迹方程为
.1
4
1
)2
1(
16
1
2
2
yx ………………8 分
例二（2004.湖南理）（本小题满分 12 分）
如图，过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于 A，B 两点，
点 Q 是点 P 关于原点的对称点.
（I）设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ，证明: )( QBQAQP ；
31．解：（Ⅰ）依题意，可设直线 AB 的方程为 ,mkxy 代入抛物线方程 yx 42 得
.0442 mkxx ①
设 A、B 两点的坐标分别是 ),( 11 yx 、 122 ),,( xyx 则 、x2 是方程①的两根.
所以 .421 mxx
由点 P（0，m）分有向线段 AB 所成的比为 ，
得 .,01 2
121
x
xxx
即
又点 Q 是点 P 关于原点的对称点，
故点 Q 的坐标是（0，－m），从而 )2,0( mQP .
).)1(,(),(),( 21212211 myyxxmyxmyxQBQA
])1([2)( 21 myymQBQAQP
2
21
21
2
1
2
2
2
1
2
1
4
4)(2])1(44[2 x
mxxxxmnx
xx
x
xxm
.04
44)(2
2
21
x
mmxxm
所以 ).( QBQAQP
例三．(2004. 天津卷)（本小题满分 14 分）
椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 22 ，相应于焦点 )0)(0,( ccF 的准线l 与 x 轴相交
于点 A， ||2|| FAOF ，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点。
(I) 求椭圆的方程及离心率；
(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算:
(I)解：由题意，可设椭圆的方程为
2 2
2 2 1( 2).x y aa b
由已知得
2 2
2
2,
2( ).
a c
ac cc
解得 6, 2.a c
所以椭圆的方程为
2 2
16 2
x y ，离心率 6 .3e
（课后训练）
1.（2004.江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为1
2
，一个焦点是 F（-m,0）(m 是大于 0 的常数).
(Ⅰ)求椭圆的方程；：答案：（1）
2 2
2 2 14 3
x y
m m
2．（2004. 福建理）（本小题满分 12 分）
如图，P 是抛物线 C：y=
2
1 x2 上一点，直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q.
（Ⅰ）若直线 l 与过点 P 的切线垂直，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程；
答案：. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法
解：（Ⅰ）设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意 x1≠0，y1>0，y2>0.
由 y=
2
1 x2， ①
得 y＇=x.
∴过点 P 的切线的斜率 k 切= x1，
∴直线 l 的斜率 kl=－
切k
1 =-
1
1
x
，
∴直线 l 的方程为 y－
2
1 x12=－
1
1
x
(x－x1)，
方法一：
联立①②消去 y，得 x2+
1
2
x x－x12－2=0.
∵M 是 PQ 的中点
x0=
2
21 xx =-
1
1
x
，
∴
y0=
2
1 x12－
1
1
x
(x0－x1).
消去 x1，得 y0=x02+ 2
02
1
x
+1(x0≠0)，
∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 2
02
1
x
+1(x≠0).
方法二：
由 y1=
2
1 x12，y2=
2
1 x22，x0=
2
21 xx ，
得 y1－y2=
2
1 x12－
2
1 x22=
2
1 (x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，
则 x0=
21
21
xx
yy
=kl=-
1
1
x
，
∴x1=－
0
1
x
，
将上式代入②并整理，得
y0=x02+ 2
02
1
x
+1(x0≠0)，
∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 2
02
1
x
+1(x≠0).
3．（2004.湖北理）（本小题满分 12 分）
直线 12:1: 22 yxCkxyl 与双曲线 的右支交于不同的两点 A、B.
（I）求实数 k 的取值范围；
答案：．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，
满分 12 分.
解：（Ⅰ）将直线 整理得后的方程代入双曲线的方程 ,121 22 yxCkxyl
.022)2( 22 kxxk ……①
依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故
.22
.0
2
2
0
2
2
,0)2(8)2(
,02
2
2
22
2
kk
k
k
k
kk
k
的取值范围是解得
5. （04. 上海春季高考）(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6
分，第 3 小题满分 8 分.
已知倾斜角为 45 的直线 l 过点 )2,1( A 和点 B ， B 在第一象限， 23|| AB .
(1) 求点 B 的坐标；
(2) 若直线 l 与双曲线 1: 2
2
2
y
a
xC )0( a 相交于 E 、 F 两点，且线段 EF 的中点坐标为
)1,4( ，求 a 的值；
答案： (1) 直线 AB 方程为 3 xy ，设点 ),( yxB ，由
18)2()1(
3
22 yx
xy 及 0x ， 0y 得 4x ，
1y ，点 B 的坐标为 )1,4( 。
（2）由
1
3
2
2
2
y
xy
a
x 得 0106)1( 21
2 xxa
，设 ),(,),( 2211 yxFyxE ，则 42
2
1
6
21 a
axx ，得 2a 。
。
解析几何第一问(第二课时)
例一椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1、F2 在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2 的
最大值为 90°，直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点，△ABF2 的面积最大值为 12．
（1）求椭圆 C 的离心率；
答案：）设 c
F
F
r
P
F
r
P
F
2
|
|
,
|
|
,
|
|
2
1
2
2
1
1
, 对 ,21FPF 由余弦定理, 得
1
)2(2
4412
44
2
42)(
2
4cos
221
22
21
22
21
2
21
2
21
21
22
2
1
1
21
rr
ca
rr
ca
rr
crrrr
rr
crrPFF
021 2 e ，
解出 .2
2e
例二知直线 1 xy 与椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点
在直线 02: yxl 上.
（１）求此椭圆的离心率；
答案：设 A、B 两点的坐标分别为
1
1
).,(),,(
2
2
2
2
2211
b
y
a
x
xy
yxByxA
，
则由 得
02)( 2222222 baaxaxba ,
根据韦达定理，得
,22)(,2
22
2
212122
2
21 ba
bxxyy
ba
axx
∴线段 AB 的中点坐标为（ 22
2
22
2
,
ba
b
ba
a
）.
由已知得 222222
22
2
22
2
2)(22,02 cacaba
ba
b
ba
a
故椭圆的离心率为
2
2e .
例三线l 过抛物线 )0(22 ppxy 的焦点，且与抛物线相交于 A ),(),( 2211 yxByx 和 两点.
（1）求证： 2
214 pxx ;
讲解: （1）易求得抛物线的焦点 )0,
2
(PF .
若 l⊥x 轴，则 l 的方程为
4,2
2
21
PxxPx 显然 .
若 l 不 垂 直 于 x 轴 ， 可 设 )2( Pxky , 代 入 抛 物 线 方 程 整 理 得
4,04)21(
2
21
2
2
2 PxxPxk
PPx 则 .
综上可知 2
214 pxx .
