【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业

【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业

‎ 2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 ‎1、如图，已知与圆相切，为切点，为割线，弦，相交于点，为上一点，且.‎ ‎（1）求证：四点共圆；‎ ‎（2）若，，求的长.‎ ‎2、如图，是圆外一点，是圆的切线，为切点，割线与圆交于，，，为中点，的延长线交圆于点.‎ 证明：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎3、如图，是的直径,是上一点,切于交于,且.‎ ‎（1）求证：与相切；‎ ‎（2）已知与交于,,求的长.‎ ‎4、如图，在的内接四边形中，，过点作的切线，交的延长线于点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，，求的长．‎ ‎5、如图所示，已知和相交于两点，过点作的切线交于点，过点作两圆的割线，分别交、于点与相交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若是的切线，且，求的长.‎ ‎6、如图，切圆于点，点为的中点，过作圆的割线交圆于点，连接并延长交圆于点，连接并交圆于点，求证：.‎ ‎7、如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若.‎ ‎（1）求证:△∽△；‎ ‎（2）求证:四边形是平行四边形.‎ ‎8、如图，的外接圆为⊙，延长至，再延长至，使得成为，的等比中项.‎ ‎（1）求证：为⊙的切线；‎ ‎（2）若恰好为的平分线，，，求的长度.‎ ‎9、已知点是圆外的一点，过作圆的切线，切点为，过作一割线交圆于点，若，取的中点，连接，并延长交圆于．‎ ‎（1）求证：四点共圆；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎10、如图，是⊙的一条切线，切点为，、都是⊙的割线，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎11、如图,是⊙上的两点，为⊙外一点，连结分别交⊙于点，且，连结并延长至，使.‎ ‎（Ⅰ）求证：;‎ ‎（Ⅱ）若，且，求.‎ ‎12、如图,是的外接圆,的平分线交于,交于,连接并延长,交于,交于.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若求的长.‎ ‎13、如图，是圆的直径，，是圆上的两点，，过点作圆的切线交的延长线于点，连接交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求圆的面积.‎ ‎14、如图，已知、是圆的两条弦，且是线段的垂直平分线，已知，，求线段的长度．‎ ‎15、如图，和相交于两点，过作两圆的切线分别交两圆于两点，连结并延长交于点，已知．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求线段的长．‎ ‎16、已知中，，是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至，延长至.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，中边上的高为，求外接圆的面积.‎ ‎17、如下图,是圆的两条互相垂直的直径,是圆上的点,过点作圆的切线交的延长线于。连结交于点。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若圆的半径为,求的长。‎ ‎18、如下图，已知为的直径，为上的两点，，过点作的切线交的 延长线于点，连接交于点。‎ 求证：。‎ ‎19、如下图，是圆上两点，延长至点，满足，过作直线与圆相切于点，的平分线交于点。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的值。‎ ‎20、如下图，已知与圆相切，为切点，为割线，弦，相交于点，为上一点，且。‎ ‎（1）求证：四点共圆；‎ ‎（2）若，，求的长。‎ 参考答案 ‎1、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）要证明四点共圆，也就是证同弦所对的圆周角相等，本题中也即是证.通过证明∽，可有，又，∴，故；（2）由相交弦定理得：，，由，，有，，由切割线定理得：，.‎ 试题 ‎（1）∵，∴，又，∴∽.‎ ‎∴.‎ 又，∴，故，‎ 所以四点共圆.‎ ‎（2）由相交弦定理得：，∵，∴.‎ ‎∵，∴.‎ 又，∴.‎ ‎∴.‎ 由切割线定理得：，‎ 所以为所求.‎ 考点：几何证明选讲. 2、答案：试题分析：对问题（1），根据切割线定理以及为中点，并结合三角形的外角与内角的关系，可以证出，进而可得；对问题（2）利用问题（1）的结论并结合相交弦定理，进而可证明所需结论.‎ 试题（1）证明：连接，由题设知，故，因为，，由弦切角等于同弦所对的圆周角，，所以，从而弧弧，因此.‎ ‎（2）由切割线定理得：，因为，所以，，由相交弦定理得：，所以.‎ 考点：切割线定理，相交弦定理.‎ ‎【方法点晴】本题是一个关于平面几何证明方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是，对问题（1），根据切割线定理以及为中点，并结合三角形的外角与内角的关系，可以证出，进而可得；对问题（2）利用问题（1）的结论并结合相交弦定理，进而可证明所需结论. ‎ 参考答案 ‎1、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）要证明四点共圆，也就是证同弦所对的圆周角相等，本题中也即是证.通过证明∽，可有，又，∴，故；（2）由相交弦定理得：，，由，，有，，由切割线定理得：，.‎ 试题 ‎（1）∵，∴，又，∴∽.‎ ‎∴.‎ 又，∴，故，‎ 所以四点共圆.‎ ‎（2）由相交弦定理得：，∵，∴.‎ ‎∵，∴.‎ 又，∴.‎ ‎∴.‎ 由切割线定理得：，‎ 所以为所求.‎ 考点：几何证明选讲. 2、答案：试题分析：对问题（1），根据切割线定理以及为中点，并结合三角形的外角与内角的关系，可以证出，进而可得；对问题（2）利用问题（1）的结论并结合相交弦定理，进而可证明所需结论.‎ 试题（1）证明：连接，由题设知，故，因为，，由弦切角等于同弦所对的圆周角，，所以，从而弧弧，因此.‎ ‎（2）由切割线定理得：，因为，所以，，由相交弦定理得：，所以.‎ 考点：切割线定理，相交弦定理.‎ ‎【方法点晴】本题是一个关于平面几何证明方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是，对问题（1），根据切割线定理以及为中点，并结合三角形的外角与内角的关系，可以证出，进而可得；对问题（2）利用问题（1）的结论并结合相交弦定理，进而可证明所需结论. ‎ ‎3、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）连接先得出利用三角形全等，得，从而证得与相切；（2）先由切割线定理求得的长，然后利用平行结合三角形相似和勾股定理求得的长.‎ 试题（1）连接是的直径,,与相切.‎ ‎（2）由切割线定理得：,设,则,又,则在中,.‎ 考点：1、三角形相似的判定；2、切割弦定理；3、勾股定理. 4、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）由．‎ 又是的切线．再由是四边形的一个外角；（2）由，‎ ‎．‎ 试题（1）因为，则劣弧，‎ 所以．因为是的切线，则，从而 因为是四边形的一个外角，则 所以 ‎（2）由（1）知，，，则，所以 因为，，则 因为，则．由切割线定理，，所以 考点：1、三角形的相似；2、切割线定理. 5、答案：（I）证明见解析；（II）‎ 试题分析：（I）由弦切角定理，得，由同弧所对的圆周角，得，所以，，‎ 最后由平行线的判定得；（II）在圆中利用切割线定理，算出，再在圆中由相交弦定理，得出，最后在圆中利用切割线定理，即可求出的长.‎ 试题（I）证明：连接，是⊙的切线，，又，，∥‎ ‎（II）解：设，，，，①‎ ‎∥，，②‎ 由①②可得或（舍去）.‎ ‎,是⊙的切线，，‎ 考点：与圆有关的比例线段． 6、答案：试题分析：由切割线定理和中点可得,进一步判断和相似,可得,可证,得到.‎ 试题 如图，切圆于点，点为的中点，‎ 所以，‎ 所以∽，‎ 所以，又，‎ 所以，‎ 所以.‎ 考点：1.相似三角形；2.切割线定理. 7、答案：试题分析：（1）先根据切割线定理得，进而得，再利用等腰三角形的性质可证；（2）先证，由得，再利用切线的性质证明，进而可得，可证结论．‎ 试题（1）∵是圆的切线,是圆的割线,是的中点,‎ ‎∴,∴,‎ 又∵,∴△∽△,‎ ‎∴,即.‎ ‎∵,∴,∴,‎ ‎∴△∽△.‎ ‎（2）∵,∴,即,‎ ‎∴,∵△∽△,∴,‎ ‎∵是圆的切线,∴,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴,∴四边形PMCD是平行四边形.‎ 考点：1、切割线定理的应用；2、相识三角形及平行四边形的证明. 8、答案：（1）详见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）证明，根据弦切角定理的逆定理可得为⊙的切线；（2）由 恰好为的平分线以及切割线定理可得，再根据～得，消去即可求解.‎ 试题（1）∵，即，∴以～，‎ ‎∴，根据弦切角定理的逆定理可得为⊙的切线.‎ ‎（2）∵为⊙的切线，∴，而恰好为的平分线，‎ ‎∴，于是，由，‎ ‎∴①，又由～得，②‎ 联合①②消掉，得.‎ 考点：1.圆的基本性质；2.切割线定理；3.相似三角形的判定与性质． 9、答案：（1）（2）见解析 试题分析：（1）利用对角互补，证明四点共圆；‎ ‎（2）由切割线定理证明出，由相交弦定理可得，即可证明 试题 ‎（1）‎ 连接．‎ 因为为切线，可知 ‎∴，‎ 所以四点共圆 ‎（2）由切割线的定理可得，‎ 又，∴‎ 所以 由相交弦的定理，可得，‎ 得，即 因为，所以 考点：四点共圆，相交弦定理 10、答案：试题分析：（1）已知，是切线，由切割线定理可得结论；（2）要证线线平行，可证明同位角相等（或内错角相等），考虑到第（1）的结论可得三角形相似，从而有，再由圆周角定理可得，从而有，于是有线线平行．‎ 试题证明：（1）∵是⊙的一条切线，是⊙的割线，∴.‎ 又∵，∴‎ ‎（2）由（1）得,又，∴∽，∴，‎ ‎∵，∴，∴.‎ 考点：切割线定理，相似三角形的判断与性质，两直线平行的判断． 11、答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）‎ 试题分析：（Ⅰ）连结DC，只要判断，利用三角形全等的性质即可证得；（Ⅱ）判断，利用三角形相似的性质得到，进一步得到，即可解得.‎ 试题 ‎（Ⅰ）证明：连结，‎ 因为,‎ ‎,又因为,‎ 所以,‎ 所以.由已知,,‎ 所以,且,‎ 所以,所以.‎ ‎（Ⅱ）解：因为,‎ 所以∽,则,‎ 所以 又因为,,所以,‎ 所以.‎ 所以 考点：三角形的相似与全等；与圆有关的比例线段. 12、答案：（1）见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）过作交于，连接，然后根据平行线分线段成比例得，再利用角平分线的性质可推出，从而可使问题得证；（2）首先利用相交弦定理求得的长，然后利用，可得对应线段成给，即可建立关于的方法，求解即可．‎ 试题（1）如图,过作交于,连接，‎ 所以，‎ 又因为,‎ ‎,‎ 同理可得.‎ ‎（2）因为，又．‎ 因为，即,‎ ‎,.‎ 考点：1、圆的基本性质；2、相似三角形的判定与性质；3、相交弦定理． 13、答案：（1）详见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）连接，证明，从而得证；（2）由切割线定理可知 ‎，从而可求得半径的长度，即可求得面积.‎ 试题（1）连接，∵切圆于点，∴，‎ ‎∴，∵，∴，‎ ‎∵于，∴，‎ ‎∴，∴；‎ ‎（2）∵是圆的切线，∴，∵，，，‎ ‎∴，从而，则，圆的面积为.‎ 考点：1.圆的基本性质；2.切割线定理． 14、答案：‎ 试题分析：连接，设相交于点，，然后利用已知条件推出是圆的直径，再利用射影定理求出的值，从而利用相交弦定理求解即可．‎ 试题连接，设相交于点，，∵是线段的垂直平分线，‎ ‎∴是圆的直径，，‎ 则，．‎ 由射影定理得，‎ 即有，解得（舍）或 ‎∴，即．‎ 考点：1、直径的性质；2、射影定理；3、相交弦定理． 15、答案：（Ⅰ）（Ⅱ）．‎ 试题分析：（Ⅰ）首先由弦切角定理证明得，从而利用相似比使问题得解；（Ⅱ）首先由弦切角定理证明得，从而利用相似比结合（Ⅰ）的结论求解即可.‎ 试题（Ⅰ）∵切⊙于，∴，‎ 同理，∴∽，∴，即．‎ ‎∵，∴．‎ ‎（Ⅱ）∵切⊙于，∴，又，∴∽，‎ ‎∴，即．由（Ⅰ）可知，，∴．‎ 考点：1、弦切角定理；2、相似三角形的判定与性质． 16、答案：(1)见解析；（2）.‎ 试题分析：(1)由等腰三角形性质可得，由同弧上的圆周角相等可得，再由对顶角相等可得，等量代换查证结论成立；(2)设为外接圆圆心，连接交于，则，由圆的性质用圆的半径表示，可求出，从而求出圆的面积.‎ 试题（1）如图，由得 ‎∵与都是同弧所对的圆周角，‎ ‎∴且 故.‎ ‎（2）设为外接圆圆心，连接交于，则，‎ 连接，由题意易得，，‎ 且，‎ ‎∴，设圆半径为，则，‎ 解得，故外接圆面积为.‎ 考点：圆的性质. 17、答案：（1）证明见解析；（2）。‎ 试题分析：（1）借助题设条件运用圆幂定理推证；（2）借助题设条件运用直角三角形的边角关系求解。‎ 试题（1）证明：连接，由弦切角定理知，又，即。由切割线定理得，所以。‎ ‎（2）由知，。在中，由得，。在中，由得，于是。‎ 考点：圆幂定理及有关知识的综合运用。 18、答案：试题分析：借助题设条件运用圆幂定理推证。‎ 试题 连接，则由是的切线可知．‎ 故。‎ ‎∵，∴。‎ 又∵，∴。‎ ‎∴，∴。‎ ‎∴是的切线，∴。‎ ‎∴。‎ 考点：圆幂定理等有关知识的综合运用。 19、答案：（1）证明见解析；（2）。‎ 试题分析：（1）由题可知 ‎，再利用三角形外角和定理可得，进而得；（2）先证，再由切割线定理得，得，进而可得结果。‎ 试题（1）由题可知，又，故，故。‎ ‎（2）因为与分别为圆的切线和割线，所以，得。‎ 又因为直线与圆相切于点，则，则，则，故。‎ 考点：1.相似三角形的性质；2.切割线定理的应用。 20、答案：（1）证明见解析；（2）。‎ 试题分析：（1）要证明四点共圆，也就是证同弦所对的圆周角相等，本题中也即是证通过证明∽，可有，又，∴，故；（2）由相交弦定理得：，，由，，有，，由切割线定理得：，。‎ 试题 ‎（1）∵，∴，又，∴∽。∴。又，∴，故，所以四点共圆。‎ ‎（2）由相交弦定理得：，∵，∴。∵，∴。又，∴。∴。‎ 由切割线定理得：，所以为所求。‎ 考点：几何证明选讲. ‎