高考数学一轮复习精品题集之不等式
不等式
必修 5 第 3 章 不等式
§3.1-2 不等关系、一元二次不等式
重难点：通过具体情境，能建立不等式模型；掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等
式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用．
考纲要求：①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．
②会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
③通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
④会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
经典例题：某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车 Sm 和汽车车速 x km/h 有如下关系：
211
20 180s x x
，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于 39.5m，那么这辆汽车刹
车前的车速至少为多少？（精确到 0.01km/h）.
[来源:学。科。网]
当堂练习：
1. 方程
2 (2 1) 0mx m x m 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A.
1
4m
B.
1
4m
C.
1
4m
D.
1 04mm 且
2. 下列各一元二次不等式中，解集为空集的是（ ）
A．(x+3)(x－1)>0 B．(x+4)(x－1)<0 C．x2－2x+3<0 D．2x2－3x－2>0
3. 不等式组
1 2 7,
( 1)( 2) 4
x
xx
的解集为（ ）
A．（－∞，－2］∪[3，4) B．（－∞，－2］∪（4，+∞）
C．（ 4，+∞） D．（－∞，－2］∪（4，+∞）
4. 若 0
0 的解集是（ ）
A．(a， ) B．( ，a)
C．(－∞，a)∪( ，+∞) D．(－∞， )∪(a，+∞)
8. 若不等式
2 0( 0)ax bx c a 的解集为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A.
20, 4 0a b ac B.
20, 4 0a b ac
C.
20, 4 0a b ac D.
20, 4 0a b ac
9. 己知关于 x 的方程(m+3)x 2－4mx +2m－1= 0 的两根异号，且负根的绝对值比正根大，
那么实数 m 的取值范围是( )
A．－3< m<0 B．0 0 D．m<0 或 m>3
10. 有如下几个命题：
①如果 x1, x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个实根且 x10,则
133yxx
的最大值为 （ ）
Ａ．3 Ｂ．3 3 2 Ｃ．3 23 Ｄ．－1
4. 设 , , 5, 3 3xyx y x y R 且 则 的最小值是( )
A. 10 B. 63 C. 46 D. 18 3
5. 若 x, y 是正数，且
141xy
，则 xy 有 （ ）
Ａ．最大值 16 Ｂ．最小值
1
16 Ｃ．最小值 16 Ｄ．最大值
6. 若 a, b, c∈R，且 ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 （ ）
A． 2 2 2 2abc B．
2( ) 3abc
C．
1 1 1 23
abc
D． 3abc
7. 若 x>0, y>0,且 x+y 4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A．
11
4xy B．
111xy
C． 2xy D．
1 1xy
8. a,b 是正数，则
2,,2
a b abab ab
三个数的大小顺序是 （ ）
Ａ．
2
2
a b abab ab
Ｂ．
2
2
a b abab ab
Ｃ．
2
2
ab a babab
Ｄ．
2
2
ab a bab ab
9. 某产品的产量第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，设这两年平均增长率为 x，则
有（ ）
Ａ． 2
pqx
Ｂ． 2
pqx
Ｃ． 2
pqx
Ｄ． 2
pqx
10. 下列函数中，最小值为 4 的是 （ ）
Ａ．
4yxx
Ｂ．
4sin sinyxx
(0 )x
Ｃ． e 4exxy Ｄ． 3log 4log 3xyx
11. 函数
21y x x的最大值为 .
12. 建造一个容积为 18m3, 深为 2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每 m2 的造价为
200 元和 150 元，那么池的最低造价为 元.
13. 若直角三角形斜边长是 1，则其内切圆半径的最大值是 .
14. 若 x, y 为非零实数，代数式
22
228( ) 15x y x y
y x y x
的值恒为正，对吗？答 .
15. 已知：
2 2 2 2, ( , 0)x y a m n b a b , 求 mx+ny 的最大值.
16. 已知 )R,10(log)( xaaxxf a 且 ．若 1x 、
R2x , 试比较
)]()([2
1
21 xfxf
与
)2( 21 xxf
的大小，并加以证明.
17. 已知正数 a, b 满足 a+b=1（1）求 ab 的取值范围;（2）求
1ab ab
的最小值.
18. 设 13221 nnan .证明不等式
2
1
2
)1( 2 nann
n
对所有的
正整数 n 都成立.
必修 5 第 3 章 不等式
§3.5 不等式单元测试
1．设 ab ， cd ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
A． dbca B． bdac C． dbca D． cbda
2． “ 0 ba ”是“ 2
22 baab
”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．不等式 bax 的解集不可能是 （ ）
A． B． R C．
),( a
b
D．
),( a
b
4．不等式 022 bxax 的解集是
)3
1,2
1(
，则 ba 的值等于 （ ）
A．－14 B．14 C．－10 D．10
5．不等式 ||x x x 的解集是 （ ）
A．{ | 0 1}xx B．{ | 1 1}xx
C．{ | 0 1xx或 1}x D．{ | 1 0, 1}x x x
6．若
011 ba ，则下列结论不正确的是 （ ）
A． 22 ba B． 2bab C．
2 b
a
a
b
D． |||||| baba
7．若 13)( 2 xxxf ， 12)( 2 xxxg ，则 )(xf 与 )(xg 的大小关系为 （ ）
A． )()( xgxf B． )()( xgxf C． )()( xgxf D．随 x 值变化而变化
8．下列各式中最小值是 2 的是 （ ）
A． y
x
＋ x
y
B． 4
5
2
2
x
x
C．tanx＋cotx D． xx 22
9．下列各组不等式中，同解的一组是 （ ）
A． 02 x 与 0x B．
01
)2)(1(
x
xx
与 02 x
C．
0)23(log
2
1 x
与 123 x D．
11
2
x
x
与
11
2
x
x
10．如果 axx |9||1| 对任意实数 x 总成立,则 a 的取值范围是 （ ）
A. }8|{ aa B. }8|{ aa C. }8|{ aa D. }8|{ aa
11．若
Rba, ，则 ba
11
与 ba
1
的大小关系是 .
12．函数 1
21lg
x
xy
的定义域是 .
13．某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储
费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 吨.
14. 已知
0() 1, 0
xxfx x
，
, 则不等式 3)2( xf 的解集___ _ ____.
15．已知 ()fx是奇函数，且在（－ ，０）上是增函数， (2) 0f ，则不等式 ( ) 0xf x 的
解集是___ _ ____.
16．解不等式：
21582 xx
x
17．已知 1a ，解关于 x 的不等式
12 x
ax
．
18．已知 0 cba ，求证： 0 cabcab 。
19．对任意 ]1,1[a ，函数 axaxxf 24)4()( 2 的值恒大于零，求 x 的取值范围。
20．如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。已知喷水
器的喷水区域是半径为 5m 的圆。问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛
的面积最大且能全部喷到水？
21．已知函数 baxxxf 2)( .
（1）若对任意的实数 x ，都有 axxf 2)( ，求b 的取值范围；
（2）当 ]1,1[x 时， )(xf 的最大值为 M，求证： 1 bM ；
（3）若
)2
1,0(a
，求证：对于任意的 ， 1|)(| xf 的充要条件是
.14
2
aba
喷水
器
喷水
器
必修 5 必修 5 综合测试
1．如果 33log log 4mn，那么 nm 的最小值是（ ）
A．4 B． 34 C．9 D．18
2、数列 na 的通项为 na = 12 n ， *Nn ，其前 n 项和为 nS ，则使 >48 成立的 的最
小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3、若不等式 8 9 7x 和不等式 022 bxax 的解集相同，则 a 、b 的值为（ ）
A． a =﹣8 b =﹣10 B． =﹣4 =﹣9 C． =﹣1 =9 D． =
﹣1 =2
4、△ABC 中，若 2 cosc a B ，则△ABC 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角
形
5、在首项为 21，公比为
1
2 的等比数列中，最接近 1 的项是（ ）
A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第六项
6、在等比数列 中， 117 aa =6， 144 aa =5，则 10
20
a
a
等于（ ）
A． 3
2
B． 2
3
C． 或 3
2
D．﹣ 或﹣
7、△ABC 中，已知( )( )a b c b c a bc ，则 A 的度数等于（ ）
A．120 B．60 C．150 D．30
8、数列 中， 1a =15， 233 1 nn aa （ ），则该数列中相邻两项的乘积是负数
的是（ ）
A． 2221aa B． 2322aa C． 2423aa D． 2524aa
9、某厂去年的产值记为 1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10% ，则从今年起到
第五年，这个厂的总产值为（ ）
A． 41.1 B． 51.1 C．
610 (1.1 1) D．
511 (1.1 1)
10、已知钝角△ABC 的最长边为 2，其余两边的长为 a 、b ，则集合 byaxyxP ,|),(
所表示的平面图形面积等于（ ）
A．2 B． 2 C．4 D． 24
11、在△ABC 中，已知 BC=12，A=60°，B=45°，则 AC=
12．函数
2lg(12 )y x x 的定义域是
13．数列 na 的前 n 项和
*2 3( )nns a n N ，则 5a
14、设变量 x 、 y 满足约束条件
1
1
22
yx
yx
yx
，则 yxz 32 的最大值为
15、《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的
题目：把 100 个面包分给五人，使每人成等差数列，且使最大的三份之和的
1
3 是较小的两份
之和，则最小 1 份的大小是
16、已知数列 na 、 nb 都是等差数列， 1a = 1 ， 41 b ，用 kS 、 'kS 分别表示数列 、
的前 k 项和（ 是正整数），若 + =0，则 kk ba 的值为
17、△ABC 中， cba ,, 是 A，B，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且
cos
cos 2
Bb
C a c
（1）求∠B 的大小；
（2）若 a =4， 35S ，求b 的值。
[来源:Z|xx|k.Com]
18、已知等差数列 na 的前四项和为 10，且 2 3 7,,a a a 成等比数列
（1）求通项公式 na
（2）设 2 na
nb ，求数列 nb 的前 n 项和 ns
19、已知： abaxbaxxf )8()( 2
，当 )2,3(x 时，
0)( xf ； ),2()3,( x 时， 0)( xf
（1）求 )(xfy 的解析式
（2）c 为何值时， 02 cbxax 的解集为 R.
20、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由长方形的休闲区
A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成。已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方
米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米。
（1）若设休闲区的长 11A B x 米，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 )(xS 的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计？
A B
C D
A1 B1
C1 D1
10 米 10 米
4 米
4 米
21、设不等式组
nnxy
y
x
3
0
0
所表示的平面区域为 nD ，记 nD 内的格点（格点即横坐标和
纵坐标均为整数的点）个数为 ))(( *Nnnf
（1）求 )2(),1( ff 的值及 )(nf 的表达式；
（2）记
( ) ( 1)
2n n
f n f nT
，试比较 1nnTT与 的大小；若对于一切的正整数 n ，总有 mTn
成立，求实数 m 的取值范围；
（3）设 nS 为数列 nb 的前 n 项的和，其中
)(2 nf
nb ，问是否存在正整数 tn, ，使
16
1
11
nn
nn
tbS
tbS
成立？若存在，求出正整数 tn, ；若不存在，说明理由。
参考答案
第 3 章 不等式
§3.1 不等关系、一元二次不等式
经典例题：79.94km/h
当堂练习：
1.D; 2.C; 3.C; 4.A; 5.C; 6.D; 7.A;8.C; 9.A; 10.D;11. （－8，8）; 12.
1 ,4
;
13. 22 ; 14. 18;
15.
111 , { | 1} 1 , { |1 }a x x a x xaa 当 时 解集为 ； 当 时 解集为
;
16. 1, 19 ; 17．半圆直径与矩形的高的比为 2∶1 ; 18． 0, 1, 0 .
§3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
经典例题：79.94km/h
当堂练习：
1.D; 2.C; 3.C; 4.A; 5.C; 6.D; 7.A;8.C; 9.A; 10.D;11. （－8，8）; 12.
1 ,4
;
13. 22 ; 14. 18;
15.
111 , { | 1} 1 , { |1 }a x x a x xaa 当 时 解集为 ； 当 时 解集为
;
16. 1, 19 ; 17．半圆直径与矩形的高的比为 2∶1 ; 18． 0, 1, 0 .
§3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
经典例题：思路分析：主要是去绝对值，可以运用分类讨论思想依绝对值的定义去掉绝对值
符号.也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题.
解法一：原不等式|x－2|+|y－2|≤2 等价于
,2,2,2
,2,2,2
,2,2,2
,2,2,6
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
作出以上不等式组所表示的平面区域：它是边长为 22
的正方形，其面积为 8.
解法二：∵|x－2|+|y－2|≤2 是|x|+|y|≤2 经过向右、向上各平移 2 个单位得到的，
∴|x－2|+|y－2|≤2 表示的平面区域的面积等于|x|+|y|≤2 表示的平面区域的面积，由于
|x|+|y|≤2 的图象关于 x 轴、y 轴、原点均对称，故求得平面区域
.0
0
,2
y
x
yx
如下图所示的
面积为 2，故|x|+|y|≤2 的面积为 4×2=8.
∴所求面积为 8.
当堂练习：
1.C; 2.B; 3.
02
,0
,0
yx
y
x
; 4. 甲地运往 B 地 300t，乙地运往 A 地 200t，运往 B 地 150t，
运往 C 地 400t，5650 元;
5. 思路分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各
个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解：运用“直线定界，特殊点定域”的方法，先画出
直线 x－y+5=0（画成实线），如下图，取原点（0，0），
代入 x－y+5.∵0－0+5=5＞0，∴原点在 x－y 表示的
平面区域内，即 x－y+5≥0 表示直线 x－y+5=0 上及右
下方的点的集合，同理可得 x+y≥0 表示直线 x+y=0
上及右上方的点的集合，x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.
6. 思路分析：这是一个求最大利润问题，首先根据条件设种两种作物分别为 x、y 亩，根据
条件列出不等式组和目标函数画图，即可得到最大利润.
解：如下图所示，设水稻种 x 亩，花生种 y 亩，则由题意得
.0
,0
,40080240
,2
y
x
yx
yx
而利润 P=（3×400－240）x+（5×100－80）y
=960x+420y（目标函数），
可联立
,40080240
,2
yx
yx
得交点 B（1.5，0.5）.
故当 x=1.5，y= 0.5 时，
Pmax=960×1.5+420×0.5=1650，
即水稻种 1.5 亩，花生种 0.5 亩时所得到的利润最大.
7. 思路分析：可以把 a、b 分别看成横坐标和纵坐标，根据不等式组画出可行域，然后求目
标函数 9x－y 的最大值和最小值.
解：问题转化为在约束条件
541
,14
ba
ba
下，目标函数 z=9a－b 的取值范围.
画出可行域如下图所示的四边形 ABCD 及其内部.
由
14
,1
ba
ba
，解得
1
,0
b
a
得点 A（0，1）.
当直线 9a－b=t 通过与可行域的公共点 A（0，1）时，
使目标函数 z=9a－b 取得最小值为 zmin=9×0－1=－1.
由
,54
,4
ba
ba
解得
7
,3
b
a
得点 C（3，7）.
当直线 9a－b=t 通过与可行域的公共点 C（3，7）时，
使目标函数 z=9a－b 取得最大值为 zmax=9×3－7=20.
∴9a－b 的取值范围是［－1，20］.
8. 思路分析：本题考查逆向思维、数形结合的思想方法，利用图形的特性和规律，解决数
的问题或将图形信息转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形问题转化为
数量关系的讨论.
解：直线 z=ax+y（a＞0）是斜率为－a，y 轴上的截距为 z 的直线族，从题图可以看出，
当－a 小于直线 AC 的斜率时，目标函数 z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（1，4）；
当－a 大于直线 AC 的斜率时，目标函数 z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（5，2）；
只有当－a 等于直线 AC 的斜率时，目标函数 z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多
个，线段 AC 上的所有点都是最优解.直线 AC 的斜率为- 2
1
，所以 a= 时，z 的最大值为
×1+4= 2
9
.
9. 思路分析：本题可以使用线性规划的基本思路，像二元一次不等式所示的区域一样，我
们仍然可以用“线定界，点定域”的方法来确定 9x2-16y2+144≤0 所表示的平面区域.
解：(1)将原点坐标代入 9x2-16y2+144，其值为 144>0，因此 9x2-16y2+144≤0 表示的平
面区域如图所示的阴影部分，即双曲线 9
2y
- 16
2x
=1 的含有焦点的区域.
(2)设 P(x，y)为该区域内任意一点，由上图可知，当 P 与双曲线的顶点(0，± 4)重合时，
|OP|取得最小值 4.所以，x2+y2=|OP|2=16.
(3)取 Q(2，0)，则直线 PQ 的斜率为 k= 2x
y
，其直线方程为 y=k(x-2)，代入
9x2-16y2+144=0 得(9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0，由Δ =0 得 k=± 10
53
，
由图可知 k≥ 10
53
或 k≤- 10
53
.
故所求 2x
y
的取值范围是(-∞，- ］∪［ ，+∞).
§3.4 基本不等式
经典例题：
【 解析】 证法一 假设 ba)1( ， cb)1( ， ac)1( 同时大于 4
1
，
∵ 1－a>0，b>0，∴ 2
)1( ba
≥ 2
1
4
1)1( ba
，
同理 2
1
2
)1( cb
， 2
1
2
)1( ac
.三个不等式相加得 2
3
2
3
，不可能，
∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不可能同时大于 4
1
.
证法二 假设 4
1)1( ba
， 4
1)1( cb
， 4
1)1( ac
同时成立，
∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴ 64
1)1()1()1( accbba
，
即 64
1)1()1()1( ccbbaa
. （*） 又∵ aa)1( ≤ 4
1
2
)1( 2
aa
，
同理 bb)1( ≤ 4
1
， cc)1( ≤ ，
∴ ccbbaa )1()1()1( ≤ 64
1
与（*）式矛盾，
故 accbba )1(,)1(,)1( 不可能同时大于 .
当堂练习：
1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11.
1
2 ; 12. 3600 ;
13.
21
2
; 14. 对;
15． ab
16. 【 解析】 2121 loglog)()( xxxfxf aa 2log)2(),(log 121
21
xxxxfxx aa
．
∵ 1x 、
Rx2 ， ∴
221
21 )2( xxxx
．
当且仅当 ＝ 2x 时，取“＝”号．
当 1a 时，有
)2(log)(log 21
21
xxxx aa
．
∴
)(log2
1
21xxa )2(log 21 xx
a
．
)2(log]log[log2
1 21
21
xxxx aaa
．
即
)2()]()([2
1 21
21
xxfxfxf
．
当 10 a 时，有 aa xx log)(log 21
221 )2( xx
．
即
).2()]()([2
1 21
21
xxfxfxf
[来源:学科网 ZXXK]
17. (1)
10, 4
(2)
17
4
18．【 解析】 证明 由于不等式 2
12
2
)1()1( kkkkkk
对所有的正整数 k 成立,把它对 k 从 1 到 n(n≥1)求和,得到
2
12
2
5
2
321 nan n
又因 2
)1(21 nnn
以及 2
)1()]12(531[2
1
2
12
2
5
2
3 2 nnn
因此不等式
2
1
2
)1( 2 nann
n 对所有的正整数 n 都成立.
§3.5 不等式单元测试
1.C; 2.A; 3.D; 4.C; 5.C; 6.D; 7.A; 8.D; 9.B; 10.A;11. baba 111
; 12.
)2
1,1(
; 13. 20 ; 14.
]1,( ;15．{ | 2 0, }xx 或0
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