高考数学复习练习第2部分 专题一 第二讲 数学思想专练(二)
[数学思想专练(二)]
一、选择题
1．不等式x2－logax<0，在x∈时恒成立，则a的取值范围是( )
A．0
1 D．00，b>0)，当ab取最小值时，方程－x＝ 的实数解的个数是________．
解析：＝≤·2＝，当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，则方程1－x＝，在同一坐标系作出y1＝－(x－1)和y2＝的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为1.
答案：1
9．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<.
其中正确命题的序号是________．
解析：如图所示，作出函数f(x)的图像，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，而a>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在上的最小值为f＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．
综上，正确的命题有①③④.
答案：①③④
三、解答题
10．设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．
解：f(x)≤g(x)，
即a＋≤x＋1，
变形得≤x＋1－a，令y＝， ①
y＝x＋1－a， ②
①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；
②表示斜率为，纵截距为1－a的平行直线系．
设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为α，则有tan α＝，0<α<，
∴sin α＝，cos α＝，
|OA|＝2tan＝2·＝
2·＝＝6.
要使f(x)≤g(x)在x∈[－4,0]恒成立，则②所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1－a≥6，即a≤－5.
所以实数a的取值范围是(－∞，－5]．
11．已知a>0，函数f(x)＝x|x－a|＋1(x∈R)．
(1)当a＝1时，求所有使f(x)＝x成立的x的值；
(2)当a∈(0,3)时，求函数y＝f(x)在闭区间[1,2]上的最小值．
解：(1)因为x|x－1|＋1＝x，
所以x＝－1或x＝1.
(2)f(x)＝
(其示意图如图所示)
①当00，所以当x＝1时，g(x)取极小值g(1)＝.
(1)当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有4个解；
(2)当a<0时，因为f′(x)＝3a(x2－1)，
若x∈(－∞，0]时，f′(x)＝3a(x2－1)，当x∈(－1,0]时，f′(x)>0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图像如图(1)所示，从图像可以看出F(x)＝a2不可能有4个解．
图(1) 图(2)
(3)当a>0时，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1,0]时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图像如图(2)所示，从图像看出方程F(x)＝a2若有4个解，则
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