【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试35二元一次不等式组与简单的线性规划作业
考点测试35 二元一次不等式组与简单的线性规划
高考概览
考纲研读
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决
一、基础小题
1．不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )
答案 C
解析 由y(x＋y－2)≥0，得或
所以不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项．
2．已知点A(－3，－1)与点B(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围是( )
A．(－24，7)
B．(－7，24)
C．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
D．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
答案 B
解析 (－9＋2－a)(12＋12－a)＜0，所以－7＜a＜24．故选B．
3．若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )
A．3 B． C．2 D．2
答案 C
解析 因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A(0，1)，B(1，0)，C(2，3)，故|AB|＝，|AC|＝2，所以其面积为×|AB|×|AC|＝2．
4．若变量x，y满足约束条件则3x＋2y的最大值是( )
A．0 B．2 C．5 D．6
答案 C
解析 作不等式组的可行域，如图：
令z＝3x＋2y，则y＝－x＋表示一系列平行于y＝－x的直线，并且表示该直线的纵截距．显然，把直线y＝－x平移至点A处，z最大．由得A(1，1)．所以zmax＝3x＋2y＝3＋2＝5．故选C．
5．已知点(a，b)是平面区域内的任意一点，则3a－b的最小值为( )
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
答案 B
解析 根据题意可知(a，b)在如图阴影中，设z＝3a－b．则b＝3a－z，所以－z可以理解为y＝3x＋t中的纵截距t．因而当y＝3x＋t过点(0，2)时，t最大为2．即－z最大为2，所以z最小为－2．
6．若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，3]
C．[3，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 D
解析 作不等式组表示的平面区域，如图．
平移直线x＋3y＝0到点A时，z取得最小值，由解得点A，，所以zmin＝＋＝2，无最大值．故选D．
7．在如图所示的平面区域内有A(5，3)，B(1，1)，C(1，5)三点，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的值是( )
A． B．
C．2 D．
答案 B
解析 由题意知，当z＝ax＋y与直线AC重合时最优解有无穷多个．因为kAC＝－，所以－a＝－，即a＝．故选B．
8．已知实数x，y满足约束条件则|y－x|的最大值是( )
A．2 B． C．4 D．3
答案 D
解析
画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A(1，2)，B(4，1)，当直线z＝x－y过点A时zmin＝－1，过点B时zmax＝3，则－1≤x－y≤3，则|y－x|≤3．
9．不等式组所表示的平面区域内的整点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 由不等式2x＋y<6，得y<6－2x，且x>0，y>0，则当x＝1时，0
1)的图象上的点，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(1，3)
C．[3，＋∞) D．(1，3]
答案 C
解析 作不等式组表示的平面区域D，如图中阴影部分所示．
由解得点A(3，1)．
由a>1，对数函数的图象经过可行域，此时满足loga3≤1，解得a≥3，所以实数a的取值范围是[3，＋∞)，故选C．
12．已知实数x，y满足则w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值为________．
答案
解析
目标函数w＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其几何意义是点(2，2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x，y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2，2)到直线x＋y－1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又＝，所以wmin＝．
二、高考小题
13．(2018·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )
A．6 B．19 C．21 D．45
答案 C
解析 由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．
作出基本直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当直线经过点A(2，3)时，z取最大值，即zmax＝3×2＋5×3＝21．故选C．
14．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件
则z＝x＋y的最大值为________．
答案 9
解析 不等式组表示的可行域是以A(5，4)，B(1，2)，C(5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z＝x＋y的最大值在顶点A处取得，即当x＝5，y＝4时，zmax＝9．
15．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件
则z＝3x＋2y的最大值为________．
答案 6
解析 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由z＝3x＋2y可得y＝－x＋z，画出直线y＝－x，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由解得B(2，0)，此时zmax＝3×2＋0＝6．
16．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．
答案 3
解析 作出可行域如图阴影部分．
由图可知目标函数在直线x－2y＋4＝0与x＝2的交点(2，3)处取得最大值3．
17．(2018·浙江高考)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．
答案 －2 8
解析 由约束条件得可行域是以A(1，1)，B(2，2)，C(4，－2)
为顶点的三角形区域(含边界)，如图．当直线y＝－x＋过点C(4，－2)时，z＝x＋3y取得最小值－2，过点B(2，2)时，z＝x＋3y取得最大值8．
18．(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
答案 3
解析 由x＋1≤y≤2x作出可行域，如图中阴影部分所示．设z＝2y－x，则y＝x＋z，当直线y＝x＋z过A(1，2)时，z取得最小值3．
三、模拟小题
19．(2018·山西太原模拟)已知实数x，y满足
则z＝2x－2y－1的取值范围是( )
A．，5 B．[0，5]
C．，5 D．－，5
答案 D
解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，可知2×－2×－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是－，5．
20．(2018·南昌一模)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为( )
A．，2 B．，
C．，2 D．，2
答案 C
解析 作不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：
由得A(1，2)，由得B(2，1)，平面区域M即为图中阴影部分△ABC，直线y＝kx经过区域M内的点A时，k＝2，直线y＝kx经过区域M内的点B时，k＝，故≤k≤2，故选C．
21．(2018·长沙统考)已知x，y满足约束条件
若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )
A．2 B． C．－2 D．－
答案 A
解析
作不等式组表示的平面区域如图．当直线l：y＝－ax＋z经过△AOB区域时，l在y轴上的最大截距为4，则点B(2，0)为最优解，所以z＝2a＝4，即a＝2，故选A．
22．(2018·太原模拟)已知不等式ax－2by≤2在平面区域{(x，y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立，则动点P(a，b)所形成平面区域的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
答案 A
解析 作平面区域{(x，y)||x|≤1且|y|≤1}，如图1所示．该平面区域表示正方形ABCD内部(含边界)．令z＝ax－2by，因为ax－2by≤2恒成立，则函数z＝ax－2by在该平面区域要求的条件下，zmax＝2恒成立．当直线ax－2by－z＝0过点A(－1，1)或B(1，1)或C(1，－1)或D(－1，－1)时，有
再作该不等式组表示的可行域，即菱形EFGH内部(含边界)．如图2所示．其中H(－2，0)，F(2，0)，E(0，1)，G(0，－1)，所以动点P(a，b)所形成平面区域的面积为×4×2＝4．故选A．
23．(2018·湖北八市联考)已知x，y满足若z＝x＋2y有最大值4，则实数m的值为( )
A．－4 B．－2 C．－1 D．1
答案 B
解析 可行域所表示区域为三条直线所封闭的三角形区域(含边界)，如图阴影部分所示．依题意，有直线y＝－x＋的纵截距有最大值2，则结合图形可知需满足直线2x－y＝m过点(0，2)，从而m＝2×0－2＝－2，故选B．
24．(2018·河北石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝的最小值为( )
A．－1 B．－
C． D．－
答案 D
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意知πr2＝π，解得r＝2．z＝＝1＋，易知表示可行域内的点(x，y)与点P(－3，2)的连线的斜率，由图可知当点(x，y)与点P的连线与圆x2＋y2＝r2相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0(舍)，所以zmin＝1－＝－．故选D．
25．(2018·河北石家庄质检)设变量x，y满足约束条件则的最大值为________．
答案 3
解析 题设中的约束条件如图中阴影部分所表示的区域，则表示可行域内点P(x，y)与B(0，－1)的连线的斜率，由图知，当P位于A(1，2)时，
取得最大值＝3．
26．(2018·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两个工种，已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元，该厂每个月木工最多完成8000个工作时，漆工最多完成1300个工作时，根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．
答案 2100000
解析 依题意，设每个月生产x把椅子、y张桌子，那么利润t＝1500x＋2000y．其中x，y满足约束条件
可行域如图中阴影部分所示，对于不同的t值，t＝1500x＋2000y表示一组斜率为－的平行线，且t越大，相应的直线位置越高；t越小，相应的直线位置越低．依题意，要求t的最大值，需把直线t＝1500x＋2000y尽量地往上平移，又考虑到x，y的允许范围，显然当直线通过点B时，处在这组平行线的最高位置，此时t取最大值．由得点B(200，900)，从而tmax＝1500×200＋2000×900＝2100000(元)，即生产200把椅子、900张桌子可获得最大利润2100000元．
一、高考大题
1．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y．
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线．为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组得则点M的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．
二、模拟大题
2．(2018·广东佛山月考)若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．
解 (1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．
平移初始直线x－y＝0，过A(3，4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1．∴z的最大值为1，最小值为－2．
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4
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