高考数学难点突破10__函数图象

高考数学难点突破10__函数图象

难点 10 函数图象与图象变换 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具， 利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象 的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场 (★★★★★)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，求 b 的范围. ●案例探究 ［例 1］对函数 y=f(x)定义域中任一个 x 的值均有 f(x+a)=f(a－x),(1)求证 y=f(x)的图象关 于直线 x=a 对称；(2)若函数 f(x)对一切实数 x 都有 f(x+2)=f(2－x),且方程 f(x)=0 恰好有四个不 同实根，求这些实根之和. 命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目. 知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题. 错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化. 技巧与方法：数形结合、等价转化. (1)证明：设(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点，则 y0=f(x0),又 f(a+x)=f(a－x),∴f(2a－x0)= f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,∴(2a－x0,y0)也在函数的图象上，而 2 )2( 00 xxa  =a, ∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线 x=a 对称，故 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称. (2)解：由 f(2+x)=f(2－x)得 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称，若 x0 是 f(x)=0 的根，则 4－ x0 也是 f(x)=0 的根，由对称性，f(x)=0 的四根之和为 8. ［例 2］如图，点 A、B、C 都在函数 y= x 的图象上，它们的横坐标分别是 a、a+1、a+2. 又 A、B、C 在 x 轴上的射影分别是 A′、B′、C′,记△AB′C 的面积为 f(a),△A′BC′的 面积为 g(a). (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式； (2)比较 f(a)与 g(a)的大小，并证明你的结论. 命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★ 级题目. 知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口. 错解分析：图形面积不会拆拼. 技巧与方法：数形结合、等价转化. 解：(1)连结 AA′、BB′、CC′,则 f(a)=S△AB′C=S 梯形 AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B = 2 1 (A′A+C′C)= ( 2 aa ), g(a)=S△A′BC′= A′C′·B′B=B′B= 1a . 0) 1 1 12 1(2 1)]1()12[(2 1 )122(2 1)()()2(       aaaa aaaa aaaagaf ∴f(a)1). (1)若△ABC 面积为 S，求 S=f(m); (2)判断 S=f(m)的增减性. 5.(★★★★)如图，函数 y= 2 3 |x|在 x∈［－1,1］的图象上有两点 A、 B，AB∥Ox 轴，点 M(1，m)(m∈R 且 m> )是△ABC 的 BC 边的中点. (1)写出用 B 点横坐标 t 表示△ABC 面积 S 的函数解析式 S=f(t); (2)求函数 S=f(t)的最大值，并求出相应的 C 点坐标. 6.(★★★★★)已知函数 f(x)是 y= 110 2 x －1(x∈R)的反函数，函数 g(x)的图象与函数 y= － 2 1 x 的图象关于 y 轴对称，设 F(x)=f(x)+g(x). (1)求函数 F(x)的解析式及定义域； (2)试问在函数 F(x)的图象上是否存在两个不同的点 A、B，使直线 AB 恰好与 y 轴垂直？ 若存在，求出 A、B 的坐标；若不存在，说明理由. 7.(★★★★★)已知函数 f1(x)= 21 x ,f2(x)=x+2, (1)设 y=f(x)=      ]1,0[ ),(3 )0,1[ ),( 2 1 xxf xxf ，试画出 y=f(x)的图象并求 y=f(x)的曲线绕 x 轴旋 转一周所得几何体的表面积； (2)若方程 f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数 a 的范围. (3)若 f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1， 2 1 ］，求 b 的值. 8.(★★★★★)设函数 f(x)=x+ x 1 的图象为 C1，C1 关于点 A(2，1)对称的图象为 C2，C2 对 应的函数为 g(x). (1)求 g(x)的解析表达式； (2)若直线 y=b 与 C2 只有一个交点，求 b 的值，并求出交点坐标； (3)解不等式 logag(x)0,∴b＜0. 歼灭难点训练 一、1.解析：∵y=bax=(ba)x,∴这是以 ba 为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知： 在选择支 B 中 a>0,b>1,∴ba>1,C 中 a＜0,b>1,∴0＜ba＜1,D 中 a＜0,0＜b＜1,∴ba>1.故选择支 B、C、D 均与指数函数 y=(ba)x 的图象不符合. 答案：A 2.解析：由题意可知，当 x=0 时，y 最大，所以排除 A、C.又一开始跑步，所以直线随着 x 的增大而急剧下降. 答案：D 二、3.解析：g(x)=2log2(x+2)(x>－2) F(x)=f(x)－g(x)=log2(x+1)－2log2(x+2) =log2 1 44 1log 44 1log )2( 1 22222        x xxxx x x x )1( 21 11 1log2    x xx ∵x+1>0,∴F(x)≤ 4 1log 21 1)1(2 1log 22   xx =－2 当且仅当 x+1= 1 1 x ,即 x=0 时取等号. ∴F(x)max=F(0)=－2. 答案：－2 三、4.解：(1)S△ABC=S 梯形 AA′B′B+S 梯形 BB′C′C－S 梯形 AA′C′C. (2)S=f(m)为减函数. 5.解：(1)依题意，设 B(t, 2 3 t),A(－t, 2 3 t)(t>0),C(x0,y0). ∵M 是 BC 的中点.∴ 2 0xt  =1, 2 2 3 0yt  =m. ∴x0=2－t,y0=2m－ 2 3 t.在△ABC 中，|AB|=2t,AB 边上的高 hAB=y0－ t=2m－3t. ∴S= 2 1 |AB|·hAB= 2 1 ·2t·(2m－3t),即 f(t)=－3t2+2mt,t∈(0,1). (2)∵S=－3t2+2mt=－3(t－ 3 m )2+ 3 2m ,t∈(0,1 ] ,若        2 3 130 m m ，即 2 3 ＜m≤3,当 t= 3 m 时， Smax= 3 2m ,相应的 C 点坐标是(2－ , 2 3 m),若 >1,即 m>3.S=f(t) (0，1］上是增函数， ∴Smax=f(1)=2m－3,相应的 C 点坐标是(1，2m－3). 6.解：(1)y= 110 2 x －1 的反函数为 f(x)=lg x x   1 1 (－1＜x＜1 ) . 由已知得 g(x)= 2 1 x ,∴F(x)=lg x x   1 1 + ,定义域为(－1，1). (2)用定义可证明函数 u= =－1+ 1 2 x 是(－1，1）上的减函数，且 y=lgu 是增函数. ∴f(x)是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点 A、B. 7.解：(1）y=f(x)=      ]1,0[,1 )0,1[,1 2 xx xx .图略. y=f(x)的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+ 2 )π . (2)当 f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时，a 的取值范围为 2－ 2 ＜a≤1. (3)若 f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1， 2 1 ］，则可解得 b= 2 35  . 8.(1)g(x)=x－2+ 4 1 x .(2)b=4 时，交点为(5，4)；b=0 时，交点为(3，0). (3)不等式的解集为{x|4＜x＜ 2 9 或 x>6} .