2021届高考数学一轮总复习课时作业54双曲线含解析苏教版

2021届高考数学一轮总复习课时作业54双曲线含解析苏教版

课时作业54　双曲线 一、选择题 ‎1．已知双曲线－＝1，则其焦距为(　D　)‎ A． B．2 C． D．2 解析：由双曲线方程知c2＝9＋4＝13，∴c＝，∴焦距为2，故选D．‎ ‎2．(2019·北京卷)已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　D　)‎ A． B．4‎ C．2 D． 解析：解法1：由双曲线方程可知b2＝1，所以c＝＝，所以e＝＝＝，解得a＝，故选D．‎ 解法2：由e＝，e2＝1＋，b2＝1，得5＝1＋，得a＝，故选D．‎ ‎3．已知双曲线－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为(　D　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．x2－＝1 D．－＝1‎ 解析：由题意，得2＝，解得m＝2，∴双曲线的标准方程为－＝1，故选D．‎ ‎4．(2020·合肥市教学质量检测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点P(，4)，则双曲线的方程是(　C　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．x2－＝1‎ 7‎ 解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，所以＝2　①.又双曲线过点P(，4)，所以－＝1　②.①②联立，解得a＝，b＝2，所以双曲线的方程为－＝1，故选C．‎ ‎5．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F‎1M的中垂线与直线F‎2M相交于点P，则点P的轨迹是(　D　)‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 解析：因为N为线段F‎1M的中点，O为线段F‎1F2的中点，所以|F‎2M|＝2|ON|＝2.因为P在线段F‎1M的中垂线上，所以|PF1|＝|PM|，所以||PF1|－|PF2||＝|F‎2M|＝2|ON|＝2<|F‎1F2|，所以点P的轨迹是双曲线，故选D．‎ ‎6．(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　B　)‎ A． B． C． D． 解析：因为c2＝a2＋b2＝9，所以|OP|＝|OF|＝3.设点P的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入双曲线方程得|y|＝，所以S△OPF＝|OF|·|yP|＝.故选B．‎ ‎7．(2020·洛阳市联考)经过点(2,1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为(　A　)‎ A．－＝1 B．－y2＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ 解析：设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得＝1，解得k＝±.因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将点(2,1)代入可得－＝1，由，得，故所求双曲线的方程为－＝1.故选A．‎ ‎8．已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长l的最小值为(　B　)‎ A．4＋ B．4(1＋)‎ C．2(＋) D．＋3 解析：‎ 7‎ 设双曲线的左焦点为F′.双曲线的右焦点为F(，0)，△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋‎2a＋|PF′|，要使△APF周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，如图，当A，P，F′三点共线时|AP|＋|PF′|取得最小值，此时l＝2|AF|＋‎2a＝4(1＋)，故选B．‎ ‎9．(2019·天津卷)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　D　)‎ A． B． C．2 D． 解析：由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝‎2a，b2＝‎4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.‎ ‎10．(2020·广东省七校联合体联考)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的中心为O，过C的右顶点A1和右焦点F分别作垂直于x轴的直线，交C的渐近线于A，B两点和M，N两点，若△OAB与△OMN的面积比为14，则C的渐近线方程为(　B　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±3x 解析：‎ 7‎ 如图，因为AB∥MN，所以△OAB∽△OMN，又△OAB与△OMN的面积比为14，所以＝＝，则a＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，则b＝c，所以双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x＝±＝±x，故选B．‎ ‎11．(2020·石家庄教学质量检测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线右支上一点，线段AF1交左支于点B，若AF2⊥BF2，且|BF1|＝|AF2|，则该双曲线的离心率为(　B　)‎ A． B． C． D．3‎ 解析：设|AF2|＝x，∵点A在双曲线的右支上，‎ ‎∴|AF1|＝‎2a＋x.∵|BF1|＝，∴|BF1|＝，‎ ‎∴|AB|＝‎2a＋.∵点B在双曲线的左支上，‎ ‎∴|BF2|＝‎2a＋.∵AF2⊥BF2，‎ ‎∴(‎2a＋)2－(‎2a＋)2＝x2，化简得x＝‎2a，‎ ‎∴|AF1|＝‎4a，|AB|＝a，∴cos∠BAF2＝.在△AF‎1F2中，由余弦定理得|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos∠BAF2＝|F‎1F2|2，即‎16a2＋‎4a2－2×‎4a×‎2a×＝‎4c2，即‎13a2＝‎5c2，∴＝，∴双曲线的离心率为，故选B．‎ ‎12．(2020·贵阳市监测考试)已知点F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是(　B　)‎ A．(1,2) B．(2，＋∞)‎ C．(1,3] D．[3，＋∞)‎ 解析：根据双曲线的对称性，可知∠AEF>可使△ABE为钝角三角形，即>a＋c⇒b2>a2＋ac⇒c2>‎2a2＋ac⇒e2－e－2>0(e>1)，所以e>2，选B．‎ 二、填空题 ‎13．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是y＝±x.‎ 7‎ 解析：因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝±x.‎ ‎14．(2020·石家庄模拟)已知双曲线C：x2－4y2＝1，过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点，则直线l的方程为y＝±(x－2)．‎ 解析：∵双曲线C的方程为x2－4y2＝1，∴a＝1，b＝，∴渐近线方程为y＝±x.∵P(2,0)在双曲线内部且直线l与双曲线有唯一公共点，∴直线l与双曲线的渐近线平行，∴直线l的斜率为±，∴直线l的方程为y＝±(x－2)．‎ ‎15．(2020·昆明市诊断测试)已知点P(1，)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线上，F为C的右焦点，O为原点，若∠FPO＝90°，则C的方程为－＝1.‎ 解析：设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，由渐近线过点P(1，)，得＝，且|OP|＝2.焦点到渐近线的距离是b，即|PF|＝b，在Rt△OPF中，|OF|2＝|OP|2＋|PF|2，即c2＝22＋b2.又c2＝a2＋b2，所以a＝2，b＝2，所以双曲线C的方程为－＝1.‎ ‎16．(2020·济南市质量评估)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记截了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线Γ的离心率为(　A　)‎ A． B． C． D．2‎ 7‎ 解析：设与平面α平行的平面为β，以AC，BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)．由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y＝±x，即＝，所以离心率e＝＝＝.‎ ‎17．(2020·济南市模拟)已知一族双曲线En：x2－y2＝(n∈N*，且n≤2 019)，设直线x＝2与En在第一象限内的交点为An，点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn，Cn.记△AnBnCn的面积为an，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝.‎ 解析：因为双曲线的方程为x2－y2＝(n∈N*，且n≤2 019)，所以其渐近线方程为y＝±x，设点An(2，yn)，则4－y＝(n∈N*，且n≤2 019)．‎ 记An(2，yn)到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则S△AnBnCn＝d1d2＝××＝＝＝，故an＝，因此{an}为等差数列，故a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝×2 019＋×＝.‎ ‎18．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是y＝±x，点A(0，b)，且△AF‎1F2的面积为6.‎ ‎(1)求双曲线C的标准方程；‎ ‎(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)由题意得＝①，S△AF‎1F2＝×‎2c·b＝6②，a2＋b2＝c2③，‎ 由①②③求得a2＝5，b2＝4，‎ ‎∴双曲线C的标准方程是－＝1.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)．将y＝kx＋m与－＝1联立，消去y，整理得(4－5k2)x2－10kmx－‎5m2‎－20＝0，由4－5k2≠0及Δ>0，‎ 得④‎ ‎∴x1＋x2＝，x1·x2＝－，‎ ‎∴x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.‎ 7‎ 由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，∴kAD＝＝＝－，化简得10k2＝8－‎9m，⑤‎ 将⑤代入④，得m<－或m>0.‎ 由10k2＝8－‎9m>0，得m<.‎ 综上，实数m的取值范围是m<－或0

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