【数学】2020届一轮复习人教A版算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入(文)学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习人教A版算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入(文)学案

易错点1 忽略判断框内的条件 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n的值为9,则输出S的值为 .‎ ‎【错解】依题意,该程序框图的任务是计算S=21+22+23+…+28+1+2+3+…+8=546,故输出S的值为546.‎ ‎【错因分析】解题过程错在循环是在k=10终止,而不是在k=9时终止,所以循环体最后一次执行的是S=S+29+9.‎ ‎【试题解析】依题意,该程序框图的任务是计算S=21+22+23+…+29+1+2+…+9=1067,故输出S的值为1067.&‎ ‎【警示】解决此类问题的关键是读懂程序框图,明晰循环结构程序框图的真正含义,对于本题,要认清程序框图运行的次数.‎ ‎1. 注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.‎ ‎2. 注意条件结构与循环结构的联系:对于循环结构有重复性,条件结构具有选择性没有重复性,并且循环结构中必定包含一个条件结构,用于确定何时终止循环体.‎ ‎1.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为 A.2 B.4 ‎ C.6 D.8‎ ‎【答案】B ‎【名师点睛】本题考查循环结构的程序框图,考查考生的运算能力.一般以选择题或填空题的形式出现,常考查循环结构的程序框图,循环体执行的次数是这类题的易错之处,考生应多加注意.当循环次数不多时,可以逐次列举,力争不失分.‎ 易错点2 误将类比所得结论作为推理依据 已知都是非零实数,不等式的解集分别为M,N,则“”是“M=N ”成立的 条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一种). ‎ ‎【错解】由知两个不等式同解,即“”是“M=N ”成立的充要条件.‎ ‎【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别. ‎  类比推理是不严格的,所得结论的正确与否有待用实践来证明,解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误.‎ ‎2. 给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):‎ ‎①“若a,bR,则a−b=0⇒a=b”类比推出“若a,bC,则a−b=0⇒a=b”;‎ ‎②“若a,b,c,dR,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,dQ,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;‎ ‎③若“a,bR,则a−b>0⇒a>b”类比推出“若a,bC,则a−b>0⇒a>b”.‎ 其中类比结论正确的个数是 A.0 B.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎【答案】C ‎【解析】①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小,故选C.%‎ 错点3 小前提错误 判断函数的单调性. ‎ ‎【错解】指数函数是增函数,而是指数函数,所以函数是增函数. ‎ ‎【错因分析】错解中的小前提“是指数函数”是错误的,函数不是指数函数,而是一个分段函数,在每一个分段区间上是指数函数,并且底数的取值不同,要对单调性进行讨论.‎ ‎【试题解析】对于指数函数,当时是增函数,当时是减函数,故当时,是增函数;当时,是减函数.‎ 演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的小前提.‎ ‎3.某西方国家流传这样一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的,是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 ‎【答案】C ‎【解析】∵大前提的形式是:“鹅吃白菜”,不是全称命题,大前提本身正确;小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确,但不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能类比.∴不符合三段论推理形式,∴‎ 推理形式错误.‎ ‎【名师点睛】演绎推理的结论是否正确,取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确,因此,分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.‎ 错点4 反证法误区——推理中未用到结论的反设 已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反证法证明:关于x的方程无实数根.‎ ‎【错解】假设方程有实数根,由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0,解得,而关于x的方程的根的判别式.‎ ∵,∴,∴,即关于x的方程无实数根.‎ ‎【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论,故不是反证法.‎ 利用反证法进行证明时,首先对所要证明的结论进行否定性的假设,并以此为条件进行归谬,得到矛盾,则原命题成立.‎ ‎4.用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是 A.自然数a,b,c中至少有两个偶数 B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 C.自然数a,b,c都是奇数 D.自然数a,b,c都是偶数 ‎【答案】B ‎【解析】“恰有一个偶数”的反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”,故选B.*‎ 错点5 对复数的相关概念不理解出错 设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)= .‎ ‎【错解】复数a+bi的模为,则a2+b2=.又(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=,故(a+bi)(a-bi)=.‎ ‎【错因分析】上述的解题过程对复数模的运算处出现了一个简单的失误,对于复数z=a+bi的模|z|=,故应为a2+b2=3.‎ ‎【试题分析】复数a+bi(a,b∈R)的模为,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2i2=a2+b2=3.‎ 复数的运算过程中要注意灵活运用复数的概念及运算法则.如本例中模的计算要两边同时平方而得出正确结论.‎ ‎1. 判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义.‎ ‎2. 对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解,判别式不再成立.因此解此类方程的解,一般都是将实根代入方程,用复数相等的条件进行求解.‎ ‎3. 两个虚数不能比较大小.‎ ‎4. 利用复数相等a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,d∈R的前提条件.‎ ‎5. 注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z1,z2∈C,=0,就不能推出z1=z2=0;z2<0在复数范围内有可能成立.‎ ‎5.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=‎ A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【名师点睛】本题考查复数的概念、加法运算、复数相等等知识,意在考查考生基本的运算能力.常以选择题的形式考查,考生必定得分的题目之一.‎ 一、算法初步 ‎1. 在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征:概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.‎ ‎2. 在画算法框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论,只用顺序结构就能解决;若所要解决的问题要分若干种情况讨论时,就必须引入选择结构;若所要解决的问题要进行许多重复的步骤,且这些步骤之间又有相同的规律时,就必须引入变量,应用循环结构.‎ ‎3. 循环语句有“直到型”与“当型”两种,要区别两者的异同,主要解决需要反复执行的任务,用循环语句来编写程序.‎ ‎4. 关于赋值语句,有以下几点需要注意:‎ ‎(1)赋值号左边只能是变量名字,而不是表达式,例如3=m是错误的.‎ ‎(2)赋值号左右不能对换,赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量,例如Y=x,表示用x的值替代变量Y的原先的取值,不能改写为x=Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值.‎ ‎(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现多个“=”.‎ 二、推理与证明 ‎1.常见的类比、归纳推理及求解策略 ‎(1)在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:①找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积等等;②找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.‎ ‎(2)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法.‎ ‎2.利用综合法、分析法证明问题的策略 ‎(1)综合法的证明步骤如下:①分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等;②转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出严密的证明过程.特别地,根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.‎ ‎(2)分析法的证明过程是:确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化,直到获得一个显而易见的命题即可.‎ ‎(3)实际解题时,用分析法思考问题,寻找解题途径,用综合法书写解题过程,或者联合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“已知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,找到沟通已知条件和结论的途径.‎ ‎3.用反证法证明不等式要把握的三点 ‎(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面.‎ ‎(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证.‎ ‎(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.‎ ‎4.反证法的一般步骤 用反证法证明命题时,要从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤: ‎(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真; ‎(2)归谬——由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾; ‎(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立. 即反证法的证明过程可以概括为:反设——归谬——存真.‎ 三、数系的扩充与复数的引入 ‎1. 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.‎ ‎2. 在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题,‎ 平移往往和加法、减法相结合.‎ ‎3. 实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系,即 ‎4. 复数运算常用的性质:‎ ‎(1)①(1±i)2=±2i;②i,i.‎ ‎(2)设ω=,则①|ω|=1;②1+ω+ω2=0;③=ω2.‎ ‎(3)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).‎ ‎__________________________________‎
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