2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

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5.4.3 　正切函数的性质与图象 必备知识 · 自主学习 正切函数的图象与性质 (1) 图象与性质 (2) 本质：根据正切函数的解析式、图象，总结正切函数的性质 . (3) 应用：画正切函数的图象，解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题 . 【 思考 】 正切函数在整个定义域上都是增函数吗？ 提示： 不是 . 正切函数在每一个区间 (k∈Z) 上是单调递增的 . 但在整个定义域上不是增函数 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 正切函数的定义域和值域都是 R. ( 　　 ) (2) 正切函数是中心对称图形，对称中心是原点 . ( 　　 ) (3) 存在某个区间，使正切函数在该区间上是单调递减的 . ( 　　 ) 提示： (1)×. 正切函数的值域为 R ，而定义域是 (2)×. 正切函数的对称中心是 (k∈Z). (3)×. 正切函数在每一个区间 (k∈Z) 上都是单调递增的 . 2. 函数 y=tan 3x 的最小正周期是 _______.  【 解析 】 函数 y=tan 3x 的最小正周期是 . 答案： 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 函数 y=tan 的定义域为 _______.  【 解析 】 因为 2x- ≠kπ+ ， k∈Z ，所以 x≠ k∈Z ，所以函数 y=tan 的定义域为 答案： 关键能力 · 合作学习 类型一　正切函数的定义域、周期性、奇偶性 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 已知函数 f(x)=tan ，则函数 f(x) 的最小正周期为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.π D.2π 2. 函数 f(x)=cos +tan x 为 ( 　　 ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 3. 函数 y= 的定义域为 _______.  【 解析 】 1. 选 B. 方法一：由诱导公式可得 tan 所以周期为 T= . 方法二：函数 y=tan(ωx+φ) 的周期 T= 2. 选 A.f(x)=cos +tan x=sin x+tan x ， 定义域为 关于原点对称， 因为 f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x) ，所以它是奇函数 . 3. 根据题意，得 所以函数的定义域为 答案： 【 解题策略 】 1. 判断函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还 要保证正切函数 y=tan x 有意义即 x≠ +kπ ， k∈Z. 2. 怎样求正切类函数的奇偶性 判断正切类函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称 . 若 不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断 f(-x) 与 f(x) 的关系 . 【 补偿训练 】 1. 函数 y=tan 的最小正周期是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.4π C.2π D.2 2. 求函数 y= +lg(1-tan x) 的定义域 . 【 解析 】 1. 选 D.T= =π · =2. 2. 由题意得 即 -1≤tan x<1. 在 内，满足上述不等式的 x 的取值范围是 又 y=tan x 的周期 为 π ， 所以函数的定义域是 (k∈Z). 类型二　正切函数的单调性及应用 ( 数学运算 ) 　角度 1 　正切函数的单调区间  【 典例 】 函数 f(x)=tan 的单调区间为 _______.  　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【 思路导引 】 把 看作一个整体，根据正切函数的单调性求出 f(x) 的单 调区间 . 【 解析 】 由题意知， k∈Z ，即 k∈Z ， 所以 故单调递增区间为 (k∈Z). 答案： (k∈Z) 【 变式探究 】 如果将本例中函数变为 y=tan ，求该函数的单调区间 . 【 解析 】 y= 得 2kπ- 1. 即当 x∈ 时，函数 y= 的值域是 (-∞ ， -1)∪(1 ， +∞). 2. 令 t=tan x ，则 t∈R ，故 y=t 2 +4t-1=(t+2) 2 -5≥-5 ，所求的值域为 [-5 ， +∞). 答案： [-5 ， +∞) 【 解题策略 】 1. 求函数 y=Atan(ωx+ φ )(A ， ω ， φ 都是常数 ) 的单调区间的方法 (1) 若 ω>0 ，由于 y=tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代 换”的思想，令 kπ- <ωx+ φ 1 成立的 x 的取值范围为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 因为 x∈(0 ， 2π) ，由正切函数的图象，可得使 tan x>1 成立的 x 的取值范围为 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 函数 f(x)=|tan 2x| 是 ( 　　 ) A. 周期为 π 的偶函数 B. 周期为 π 的奇函数 C. 周期为 的偶函数 D. 周期为 的奇函数 【 解析 】 选 C.f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x) 为偶函数， T= . 4. 比较大小： tan _______tan   【 解析 】 因为 tan =tan ， tan =tan ，又 0< y=tan x 在 内单调递增， 答案： < 5. 函数 y=tan 的单调递增区间是 _______.  【 解析 】 令 kπ- <2x+

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