【数学】2020届一轮复习苏教版运用空间向量求角作业

【数学】2020届一轮复习苏教版运用空间向量求角作业

‎(二十四) 运用空间向量求角 A组——大题保分练 ‎1．(2018·南京学情调研)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1.‎ ‎(1)若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；‎ ‎(2)求二面角BPDA的余弦值．‎ 解：(1) 以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.‎ 因为AP＝AB＝AD＝1，‎ 所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．‎ 设C(1，y,0)，则＝(1,0，－1)，＝(－1,1－y,0)．‎ 因为直线PB与CD所成角大小为，‎ 所以|cos〈，〉|＝＝，‎ 即＝，解得y＝2或y＝0(舍)，‎ 所以C(1,2,0)，所以BC的长为2.‎ ‎(2)设平面PBD的法向量为n1＝(x，y，z)．‎ 因为＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，‎ 则即 令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1,1,1)．‎ 因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1,0,0)，‎ 所以cos〈n1，n2〉＝＝，‎ 所以由图可知二面角BPDA的余弦值为.‎ ‎2．(2018·苏北四市期末)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1‎ ‎＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以{，，→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.‎ ‎(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；‎ ‎(2)求二面角FBC1C的余弦值．‎ 解：(1)因为AB＝1，AA1＝2，则F(0,0,0)，A，C，B，E，A1，C1，‎ 所以＝(－1,0,0)，＝.‎ 记异面直线AC和BE所成角为α，‎ 则cos α＝|cos〈，〉|＝＝，‎ 所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设平面BFC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)．‎ 因为＝，＝，‎ 则即 取x1＝4，得平面BFC1的一个法向量为m＝(4,0,1)．‎ 设平面BCC1的法向量为n＝(x2，y2，z2)．‎ 因为＝，＝(0,0,2)，‎ 则即 取x2＝，得平面BCC1的一个法向量为n＝(，－1,0)，‎ 所以cos〈m，n〉＝＝.‎ 根据图形可知二面角FBC1C为锐二面角，‎ 所以二面角FBC1C的余弦值为.‎ ‎3．(2018·南京、盐城二模)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，A1C的中点．‎ ‎(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；‎ ‎(2)点M在线段A1D上，＝λ.若CM∥平面AEF，求实数λ的值．‎ 解：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，‎ 所以A1A⊥平面ABCD.‎ 又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，‎ 所以A1A⊥AE，A1A⊥AD.‎ 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形．‎ 因为E是BC的中点，所以BC⊥AE.‎ 因为BC∥AD，所以AE⊥AD.‎ 故以A为原点，AE，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，E(，0,0)，C(，1,0)，D(0，2,0)，A1(0,0,2)，F.‎ ‎(1)因为＝(0,2,0)，＝，‎ 所以cos〈，〉＝＝，‎ 所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且 ＝λ，即＝λ，‎ 则(x，y，z－2)＝λ(0,2，－2)．‎ 解得M(0,2λ，2－2λ)，＝(－，2λ－1,2－2λ)．‎ 设平面AEF的法向量为n＝(x0，y0，z0)．‎ 因为＝(，0,0)，＝，‎ 所以即 令y0＝2，得z0＝－1，‎ 所以平面AEF的一个法向量为n＝(0,2，－1)．‎ 由于CM∥平面AEF，则n·＝0，‎ 即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝.‎ ‎4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，AA1＝2，点P是棱BB1上一点，满足＝λ (0≤λ≤1)．‎ ‎(1)若λ＝，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；‎ ‎(2)若二面角PA1CB的正弦值为，求λ的值．‎ 解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AB＝AC＝1，AA1＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1，0,2λ)．‎ ‎(1)由λ＝得，＝，＝(1,0，－2)，＝(0,1，－2)．‎ 设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 由得 不妨取z1＝1，则x1＝y1＝2，‎ 从而平面A1BC的一个法向量为n1＝(2,2,1)．‎ 设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，‎ 则sin θ＝＝＝，‎ 所以直线PC与平面A1BC所成角的正弦值为.‎ ‎(2)设平面PA1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，‎ 又＝(1,0,2λ－2)，‎ 故由得 不妨取z2＝1，则x2＝2－2λ，y2＝2，‎ 所以平面PA1C的一个法向量为n2＝(2－2λ，2,1)．‎ 则cos〈n1，n2〉＝，‎ 又二面角PA1CB的正弦值为，‎ 所以＝，‎ 化简得λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝1或λ＝－9(舍去)，‎ 故λ的值为1.‎ B组——大题增分练 ‎1．(2018·镇江期末)如图，AC⊥BC，O为AB中点，且DC⊥平面 ABC，DC∥BE.已知AC＝BC＝DC＝BE＝2.‎ ‎(1)求直线AD与CE所成的角；‎ ‎(2)求二面角OCEB的余弦值．‎ 解：(1)因为AC⊥CB且DC⊥平面ABC，则以C为原点，CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，CD为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 因为AC＝BC＝BE＝2，则C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,2,0)，O(1,1,0)，E(2,0,2)，D(0,0,2)，且＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)．‎ 所以cos〈，〉＝＝＝.‎ 所以直线AD和CE的夹角为60°.‎ ‎(2)平面BCE的一个法向量为m＝(0,1,0)，‎ 设平面OCE的法向量n＝(x0，y0，z0)．‎ 由＝(1,1,0)，＝(2,0,2)，‎ 得则解得 取x0＝－1，则n＝(－1,1,1)．‎ 因为二面角OCEB为锐二面角，记为θ，‎ 则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝.‎ 即二面角OCEB的余弦值为.‎ ‎2．(2018·江苏高考)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．‎ ‎(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；‎ ‎(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．‎ 解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}为基底，建立空间直角坐标系O xyz.‎ 因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0，1,2)．‎ ‎(1)因为P为A1B1的中点，所以P，‎ 从而＝，＝(0,2,2)，‎ 所以|cos〈，〉|＝＝＝.‎ 所以异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.‎ ‎(2)因为Q为BC的中点，所以Q，‎ 因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，‎ 则即 不妨取n＝(，－1,1)．‎ 设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，‎ 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.‎ 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.‎ ‎3. (2018·苏锡常镇调研(一))如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是矩形，PD垂直于底面ABCD，PD＝AD＝2AB，点Q为线段PA(不含端点)上一点．‎ ‎(1)当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎(2)已知二面角QBDP的正弦值为，求的值．‎ 解：以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.‎ 不妨设AB＝1，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2，1,0)，P(0,0,2)．‎ ＝(2,1,0)，＝(0,0,2)．‎ ‎(1)当Q是线段PA的中点时，Q(1，0,1)，＝(1，－1，1)．‎ 设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)．‎ 则即 不妨取x＝1，解得y＝－2.‎ 则平面PBD的一个法向量为m＝(1，－2,0)．‎ 故cos〈m，〉＝＝＝.‎ 综上，CQ与平面PBD所成角的正弦值为.‎ ‎(2)＝(－2,0,2)，设＝λ (λ∈(0,1))，‎ 即＝(－2λ，0,2λ)．‎ 故Q(2－2λ，0,2λ)，＝(2,1,0)，＝(2－2λ，0,2λ)．‎ 设平面QBD的法向量为n＝(x，y，z)．‎ 则即 不妨取x＝1，则y＝－2，z＝1－，‎ 故平面QBD的一个法向量为n＝.‎ 由(1)得平面PBD的一个法向量m＝(1，－2,0)，‎ 由题意得cos2〈m，n〉＝ ‎＝＝＝1－2＝，‎ 解得λ＝或λ＝－1.‎ 又λ∈(0,1)，所以λ＝，‎ 所以＝，即―＝ ，即＝.‎ ‎4.如图，在四棱锥SABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，SD＝AD＝AB＝2，DC＝1.‎ ‎(1)求二面角SBCA的余弦值；‎ ‎(2)设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．‎ 解：(1)由题意，以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，‎ 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，1,0)，S(0,0,2)，‎ 所以＝(2,2，－2)，＝(0,1，－2)，＝(0,0,2)．‎ 设平面SBC的法向量为n1＝(x，y，z)，‎ 则即 令z＝1，得x＝－1，y＝2，‎ 所以n1＝(－1,2,1)是平面SBC的一个法向量. ‎ 因为SD⊥平面ABC，取平面ABC的一个法向量n2＝(0,0,1)．‎ 设二面角SBCA的大小为θ，‎ 由图可知二面角SBCA为锐二面角，‎ 所以|cos θ|＝＝＝，‎ 所以二面角SBCA的余弦值为. ‎ ‎(2)由(1)知E(1,0,1)，‎ ＝(2,1,0)，＝(1，－1，1)．‎ 设＝λ (0≤λ≤1)，‎ 则＝λ(2,1,0)＝(2λ，λ，0)，‎ 所以＝－＝(1－2λ，－1－λ，1)．‎ 易知CD⊥平面SAD，‎ 所以＝(0，－1,0)是平面SAD的一个法向量．‎ 设PE与平面SAD所成的角为α，‎ 所以sin α＝|cos〈，〉|＝＝， ‎ 即＝，得λ＝或λ＝(舍去)．‎ 所以＝，||＝，‎ 所以线段CP的长为.‎