【数学】2021届一轮复习人教A版利用导数研究函数的极值最值作业
第12节 利用导数研究函数的极值、最值
1．(2019·沈阳市一模)设函数f(x)＝xex＋1，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：D [由于f(x)＝xex＋1，可得
f′(x)＝(x＋1)ex，
令f′(x)＝(x＋1)ex＝0可得x＝－1，
令f′(x)＝(x＋1)ex＞0可得x＞－1，即函数在(－1，＋∞)上是增函数，令f′(x)＝(x＋1)ex＜0可得x＜－1，即函数在(－∞，－1)上是减函数，所以x＝－1为f(x)的极小值点．]
2．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A. B．1
C．0 D．不存在
解析：A [f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1; 令f′(x)<0，得0
0恒成立．
令f′(x)＝0，解得x＝1，故当x∈[－2,1)时，g′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故f(x)在[－2,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
所以f(x)min＝g(1)＝1－3＋3－＝1－，故选A.]
5．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．
解析：因为y′＝3x2＋6ax＋3b，
⇒
所以y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2.
所以f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.
答案：4
6．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－20，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以x＝1是f(x)的极大值点．
②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.
因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1－1.
答案：a>－1
9．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.
x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a
处取得极小值，
且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
10．(2019·银川市模拟)已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的最大值．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝a－＝
.
当a≤0时，f′(x)≤0在 (0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．
当a＞0时，由f′(x)＞0得x>，
所以，f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在x＝处有极小值．
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；
当a＞0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．
(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，
f′(1)＝a－1＝0，则a＝1，从而f(x)＝x－1－ln x.
因此f(x)≥bx－2，即1＋－≥b，
令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝，
由g′(x)≥0得x≥e2，
则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增，
g(x)min＝g(e2)＝1－，故实数b的最大值是1－.
