【数学】2021届一轮复习人教A版（文）选修4－5 第2讲 不等式的证明作业
第2讲 不等式的证明
[基础题组练]
1．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，求证：＋≥4.
证明：由是3a与3b的等比中项得
3a·3b＝3，
即a＋b＝1，要证原不等式成立，
只需证＋≥4成立，即证＋≥2成立，
因为a＞0，b＞0，
所以＋≥2＝2，
(当且仅当＝，即a＝b＝时，“＝”成立)，
所以＋≥4.
2．求证：＋＋＋…＋＜2.
证明：因为＜＝－，
所以＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋
＝1＋＋＋…＋＝2－＜2.
3．(2020·蚌埠一模)已知函数f(x)＝|x|＋|x－3|.
(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；
(2)设m，n∈{y|y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小．
解：(1)f(x)＝|x|＋|x－3|＝f(x)－5≥x，即或或解得x≤－或x∈∅或x≥8.
所以不等式的解集为∪[8，＋∞)．
(2)由(1)易知f(x)≥3，所以m≥3，n≥3.
由于2(m＋n)－(mn＋4)＝2m－mn＋2n－4＝(m－2)(2－n)．
且m≥3，n≥3，所以m－2>0，2－n<0，
即(m－2)(2－n)<0，
所以2(m＋n)
1)，若f(x)>4的解集是{x|x<0或x>4}．
(1)求m的值；
(2)若正实数a，b，c满足＋＋＝，求证：a＋2b＋3c≥9.
解：(1)因为m>1，所以f(x)＝，
作出函数f(x)的图象如图所示，
由f(x)>4的解集及函数f(x)的图象得，得m＝3.
(2)由(1)知m＝3，从而＋＋＝1，
a＋2b＋3c＝(＋＋)(a＋2b＋3c)＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥9，
当且仅当a＝3，b＝，c＝1时“＝”成立．
5．(2020·原创冲刺卷)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋(x－1)2的最小值为s.
(1)试求s的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝s，求证：a2＋b2＋c2≥3.
解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋(x－1)2≥|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，即f(x)≥3.
当且仅当x＝1，且(x＋1)(2－x)≥0，即x＝1时，等号成立，所以f(x)的最小值为3，所以s＝3.
(2)证明：由(1)知a＋b＋c＝3.
故a2＋b2＋c2＝(a2＋12)＋(b2＋12)＋(c2＋12)－3
≥2a＋2b＋2c－3
＝2(a＋b＋c)－3＝3(当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立)．
6．设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.
(1)证明：＜；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小．
解：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0
解得－＜x＜，即M＝，所以≤|a|＋|b|＜×＋×＝.
(2)由(1)得a2＜，b2＜，因为|1－4ab|2－4|a－b|2
＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)
＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，
故|1－4ab|2＞4|a－b|2，即|1－4ab|＞2|a－b|.
[综合题组练]
1．(2020·江西八所重点中学联考)已知不等式|ax－1|≤|x＋3|的解集为{x|x≥－1}．
(1)求实数a的值；
(2)求＋的最大值．
解：(1)|ax－1|≤|x＋3|的解集为{x|x≥－1}，即(1－a2)x2＋(2a＋6)x＋8≥0的解集为{x|x≥－1}．当1－a2≠0时，不符合题意， 舍去．
当1－a2＝0，即a＝±1时，
x＝－1为方程(2a＋6)x＋8＝0的一解，经检验a＝－1不符合题意，舍去，
a＝1符合题意．
综上，a＝1.
(2)(＋)2＝16＋2＝16＋2，当t＝＝4时，(＋)2有最大值，为32.
又＋≥0，所以＋的最大值为4.
2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.
(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；
(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.
解：(1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]
≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，
故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.
(2)证明：由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2
＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]
≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，
故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．
因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.
由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.
