2019年高考数学练习题汇总填空题满分练(4)
填空题满分练(4)
1.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知复数z1＝a＋i，z2＝3－4i，其中i为虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为________.
答案
解析 ∵复数z1＝a＋i，z2＝3－4i，
∴＝＝＝，
∵为纯虚数，
∴3a－4＝0且4a＋3≠0，即a＝.
2.已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|<1}，B＝，则A∩(∁UB)＝________.
答案 {x|1≤x<2}
解析 由题意得A＝{x||x－1|<1}＝{x|－1
0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为a，则双曲线的离心率为________.
答案
解析 由题意知在等腰△ABP中，AB＝AP＝2a，设∠ABP＝∠APB＝θ，F1为双曲线的左焦点，则∠F1AP＝2θ，其中θ必为锐角.
∵△ABP外接圆的半径为a，
∴2a＝，
∴sin θ＝，cos θ＝，
∴sin 2θ＝2××＝，
cos 2θ＝2×2－1＝.
设点P的坐标为(x，y)，
则x＝－a－APcos 2θ＝－，
y＝APsin 2θ＝，
故点P的坐标为.
由点P在双曲线上，得－＝1，
整理得＝，
∴e＝＝＝.
12.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(
两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.
答案
解析 由七巧板的构造可知，△BIC≌△GOH，故黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等，
则SEFOH＝S△DOF＝×SABDF＝SABDF，
∴所求的概率为P＝＝.
13.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*，n≥1)，则数列{Sn}的通项公式为________.
答案 Sn＝3n－2n
解析 ∵an＋1＝Sn＋3n＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＋1＝2Sn＋3n，
∴＝·＋，
∴－1＝，
又－1＝－1＝－，
∴数列是首项为－，公比为的等比数列，
∴－1＝－×n－1＝－n，
∴Sn＝3n－2n.
14.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y＝f(x)＝其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数f(x)有如下四个命题：
①f(f(x))＝0；②函数f(x)是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形.其中真命题的个数是________.
答案 3
解析 当x为有理数时，f(x)＝1；当x为无理数时，f(x)＝0，∴当x为有理数时，f(f(x))＝f(1)＝1；当x为无理数时，f(f(x))＝f(0)＝1，∴无论x是有理数还是无理数，均有f(f(x))＝1，故①
不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故②正确；当T∈Q时，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对x∈R恒成立，故③正确；取x1＝，x2＝0，x3＝－，f(x1)＝0，f(x2)＝1，f(x3)＝0，∴A，B(0,1)，C，△ABC恰好为等边三角形，故④正确.
