2019年高考数学练习题汇总10+7满分练(4)

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2019年高考数学练习题汇总10+7满分练(4)

‎10+7满分练(4)‎ ‎1.已知为纯虚数,a∈R,则(a+i)i2 019的虚部为(  )‎ A.-1 B.1‎ C.-2 D.2‎ 答案 C 解析 ∵a∈R,且复数z====+i为纯虚数,∴a=2,‎ ‎∴(a+i)i2 019=(2+i)·(-i)=1-2i,‎ ‎∴(a+i)i2 019的虚部为-2.‎ ‎2.已知全集U=R,集合A={x||x-1|<1},B=,则A∩(∁UB)等于(  )‎ A.{x|10”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 当存在正数λ,使得m=λn时,向量m,n为同向共线向量,所以m·n>0‎ ‎,充分性成立;当m·n>0时,得到向量m,n的夹角小于90°,不一定得到向量m,n为同向共线向量,即不一定得到存在正数λ,使得m=λn,所以必要性不成立.综上所述,“存在正数λ,使得m=λn”是“m·n>0”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎5.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为1,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个三角形,这些三角形的面积之和为(  )‎ A.1 B. C. D. 答案 C 解析 由三视图得该几何体为一个底面是直角边长为1的等腰直角三角形,高为1的直三棱柱和一个底面是直角边长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥的组合体,则其表面中共有2个三角形,其中1个是直角边长为1的等腰直角三角形,1个是边长为的等边三角形,则这2个三角形的面积之和为×1×1+×()2=,故选C.‎ ‎6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游,朝天门、解放碑、瓷器口三个景点,每个人只去一个景点,每个景点至少有一个人去,则甲不到瓷器口的方案有(  )‎ A.60种 B.54种 C.48种 D.24种 ‎ 答案 D 解析 分两类求解.①甲单独一人时,则甲只能去另外两个景点中的一个,其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点,故方案有CCA=12(种);②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个,其余两人各去一个景点,故方案有CCA=12(种).由分类加法计数原理,可得总的方案数为24.‎ ‎7.已知函数f(x)=3sin(3x+φ),x∈[0,π],则y=f(x)的图象与直线y=2的交点最多有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案 C 解析 易得函数f(x)的周期为T=,在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象,则要使函数 f(x)在[0,π]内与直线y=2的交点个数最多,则应有函数f(x)的图象经过点(0,2),对于图1,易得点A的横坐标为xA=,点A关于点B的对称点是C,点C关于对称轴l的对称点D的横坐标为π,则由图易得此时函数f(x)的图象与直线y=2在[0,π]内有4个交点.‎ 图1‎ 对于图2,易得点E的横坐标xE=,EF>=,则由图易得此时函数f(x)的图象与直线y=2在[0,π]内有3个交点.‎ 图2‎ 综上所述,函数f(x)的图象与直线y=2的交点最多有4个,故选C.‎ ‎8.抛物线y2=4x的焦点为F,其准线为直线l,过点M(4,4)作直线l的垂线,垂足为H,则∠FMH的角平分线所在直线的斜率是(  )‎ A.1 B. C. D. 答案 B 解析 由题意可知点M在抛物线上,则|MH|=|MF|,∴△MHF为等腰三角形,H(-1,4),F(1,0),‎ ‎∴线段HF的中点为D(0,2),且MD平分∠HMF,‎ ‎∴kMD==,故选B.‎ ‎9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,过棱C1D1上一点的直线分别交直线AA1,BC于点M,N,则线段MN的最小长度为(  )‎ A.2 B.4‎ C. D.3‎ 答案 D 解析 如图,在棱C1D1上任取一点P,则点P与直线BC确定平面PBC,故平面PBC交直线AA1于点M,直线MP交直线BC于点N,设AM=x,BN=y,则x>1,y>1,连接MB交A1B1于点Q,连接PQ,根据面面平行的性质定理可得PQ∥BN,由三角形相似,得=,即x+y=xy,所以+=1,所以|MN|2=x2+y2+1=2(x2+y2)+1=+++3≥9,当且仅当x=y=2时取等号,即线段MN的最小长度为3,故选D.‎ ‎10.已知函数f(x)=2x-e2x(e为自然对数的底数),g(x)=mx+1(m∈R),若对于任意的x1∈[-1,1],总存在x0∈[-1,1],使得g(x0)=f(x1)成立,则实数m的取值范围为(  )‎ A.(-∞,1-e2]∪[e2-1,+∞)‎ B.[1-e2,e2-1]‎ C.(-∞,e-2-1]∪[1-e-2,+∞)‎ D.[e-2-1,1-e-2]‎ 答案 A 解析 ∵f′(x)=2-2e2x,∴f(x)在区间[-1,0)上为增函数,在区间[0,1]上为减函数.‎ ‎∵f(-1)-f(1)=(-2-e-2)-(2-e2)=e2-e-2-4>0,∴f(-1)>f(1),又f(0)=-1,则函数f(x)在区间[-1,1]上的值域为[2-e2,-1].‎ 当m>0时,函数g(x)在区间[-1,1]上的值域为[-m+1,m+1].‎ 依题意可知,得m≥e2-1,‎ 当m=0时,函数g(x)在区间[-1,1]上的值域为{1},不符合题意;‎ 当m<0时,函数g(x)在区间[-1,1]上的值域为[m+1,-m+1].‎ 依题意可知,得m≤1-e2.‎ 综上可知,实数m的取值范围为(-∞,1-e2]∪[e2-1,+∞).故选A.‎ ‎11.计算-()-2=________,(log32+8)·log49=________.‎ 答案 - -2‎ 解析 -()-2=-=-;(log32+8)·log49=log3·=log3=-2.‎ ‎12.随机变量X的分布列如表所示,则E(X)=_____,若Y=2X+1,则E(Y)=_____.‎ X ‎-2‎ ‎0‎ ‎1‎ P 答案 - - 解析 由表可知,E(X)=-2×+0×+1× ‎=-.若Y=2X+1,则E(Y)=2E(X)+1=-+1=-.‎ ‎13.已知x,y满足约束条件x,y∈R,则x2+y2的最大值为_______.‎ 答案 8‎ 解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x2+y2表示可行域内的点(x,y)到原点距离的平方.‎ 由图形可得,可行域内的点A或点B到原点的距离最大,且A(2,-2),B(2,2),又OA=OB=2,‎ ‎∴(x2+y2)max=8.‎ ‎14.已知多项式(x2-2x+2)x7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a1=________,a0+a1+a4+a5+a8+a9=________.‎ 答案 7 128‎ 解析 由右式知(x2-2x+2)x7按t=x-1展开,由二项式定理得,当k=0,1时,(t2+1)(1+t)7的通项为Ctk;当k=2,3,…,7时,(t2+1)·(1+t)7的通项为(C+C)tk;当k=8,9时,(t2+1)·(1+t)7的通项为Ctk.故a1=7,a0+a1+a4+a5+a8+a9=C+C+…+C+C=27=128.‎ ‎15.在△ABC中,AB=2AC,点D为角A的平分线上一点,且AD=3,DC⊥AD.若BD=CD,则∠BAC=______,△BCD的面积是________.‎ 答案 60°  解析 如图,设AC=x,CD=y,∠CAD=θ,则在Rt△ACD中,y=3tan θ,x=,在△ABD 中,由余弦定理得4x2+9-12xcos θ=7y2,解得θ=30°,故∠BAC=2θ=60°.AC=x=2,AB=2x=4,根据余弦定理可得BC=6,因为BC2+AC2=AB2,所以∠ACB=90°,作DE⊥AC交AC于点E,则EC=,所以△BCD的面积为S=BC·CE=.‎ ‎16.若有关于x的不等式ex(x2+ax+a)≤ea在[a,+∞)上有解,则正数a的取值范围是________.‎ 答案  解析 令f(x)=ex(x2+ax+a),x∈[a,+∞),不等式ex(x2+ax+a)≤ea在[a,+∞)上有解,即f(x)min≤ea.‎ f′(x)=ex[x2+(a+2)x+2a]=ex(x+2)(x+a),a>0,则f′(x)>0在[a,+∞)上恒成立,则f(x)在[a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(a)=ea(2a2+a)≤ea,所以2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,又a>0,则0
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