2019年高考数学练习题汇总4_解析几何

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2019年高考数学练习题汇总4_解析几何

‎4.解析几何 ‎1.如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(2,-1).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.‎ 解 (1)由e==,得a∶b∶c=2∶1∶,‎ 椭圆C的方程为+=1.‎ 把P(2,-1)代入,得b2=2,‎ 所以椭圆C的方程是+=1.‎ ‎(2)由已知得PA,PB的斜率存在,且互为相反数.‎ 设直线PA的方程为y+1=k(x-2),其中k≠0.‎ 由消去y,得x2+4[kx-(2k+1)]2=8,‎ 即(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+4(2k+1)2-8=0,‎ 因为该方程的两根为2,xA,‎ 所以2xA=,‎ 即xA=,‎ 从而yA=.‎ 把k换成-k,得xB=,yB=.‎ 故kAB===-,是定值.‎ ‎2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,且离心率e=.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)是否存在定圆E,使得过圆E上的任意一点都可以作两条互相垂直的直线l1,l2,且l1,l2‎ 与椭圆C都只有一个公共点?若存在,求出圆E的方程;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)由椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为得,a=c,‎ 又短轴长为2,所以2b=2,b=.‎ 又b2+c2=a2,得a=,b=c=,‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)假设满足条件的圆E存在,则可设P(x0,x0)是圆E上的任意一点,当过P的直线l的斜率为k时,其方程为y=k(x-x0)+y0,代入+=1,得+=1. ‎ 即(1+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-6=0. ①‎ 若直线l与椭圆C的公共点只有一个,则①中判别式Δ=0,‎ 即16k2(y0-kx0)2-8(1+2k2)[(y0-kx0)2-3]=0.‎ 整理得关于k的方程(6-x)k2+2x0y0k-y+3=0, ②‎ 要使过圆E上任意一点都可以作两条互相垂直的直线l1,l2,且l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,则方程②必须有两根,且两根之积为-1,‎ 故=-1,即x+y=9,满足②中的判别式Δ>0.‎ 又对于点(,),(-,),(,-),(-,-),直线l1,l2中有一条的斜率不存在,另一条的斜率为0,显然成立,故满足条件的圆E存在,方程为x2+y2=9.‎ ‎3.已知中心在坐标原点的椭圆E的一个焦点为F2(1,0),且该椭圆过定点M.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程;‎ ‎(2)设点Q(2,0),过点F2作直线l与椭圆E交于A,B两点,且=λ,若λ∈[-2,-1],以QA,QB为邻边作平行四边形QACB,求对角线QC的长度的最小值.‎ 解 (1)设椭圆E的标准方程为+=1(a>b>0),易知c=1.‎ 因为椭圆E过定点M,所以+=1,‎ 结合c2=a2-b2可得a=,b=1,‎ 所以椭圆E的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意可设l:x=ky+1,由得(k2+2)y2+2ky-1=0,则Δ=4k2+4(k2+2)=8(k2+1)>0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为y1,2==,‎ 所以 由①2÷②得++2=⇒λ++2=-,‎ 由λ∈[-2,-1]得-≤λ++2≤0⇒-≤≤0,解得0≤k2≤.‎ =(x1-2,y1),=(x2-2,y2),+=(x1+x2-4,y1+y2),‎ x1+x2-4=k(y1+y2)-2=-,‎ QC2=|+|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=+=16-+.‎ 令t=,则t∈,QC2=8t2-28t+16=82-.‎ 所以当t=时,(QC)min=2.‎ ‎4.已知A,F分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点、右焦点,点P为椭圆C上一动点,当PF⊥x轴时,AF=2PF.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率;‎ ‎(2)若椭圆C上存在点Q,使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限),求直线AP与OQ的斜率之积;‎ ‎(3)记圆O:x2+y2=为椭圆C的“关联圆”. 若b=,过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线,切点为M,N,直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m,n,求证:+为定值.‎ ‎(1)解 由PF⊥x轴,知xP=c,代入椭圆C的方程,‎ 得+=1,解得yP=±.‎ 又AF=2PF,所以a+c=,所以a2+ac=2b2,‎ 即a2-2c2-ac=0,所以2e2+e-1=0,‎ 由0b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P在椭圆上(异于椭圆C的左、右顶点),过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q,交L于点Q,且OQ=2(O为坐标原点),椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若直线l:x=my+4(m∈R)与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为A′‎ ‎,直线A′B交x轴于点D,求当△ADB的面积最大时,直线l的方程.‎ 解 (1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×ab=4,得ab=2.‎ 延长F2Q交直线F1P于点R,因为F2Q为∠F1PF2的外角平分线的垂线,‎ 所以PF2=PR,Q为F2R的中点,‎ 所以OQ====a,‎ 所以a=2,b=,所以椭圆C的方程为+=1. ‎ ‎(2)联立消去x,‎ 得(3m2+4)y2+24my+36=0, ①‎ 所以Δ=(24m)2-4×36×(3m2+4)=144(m2-4)>0,即m2>4. ‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则A′(x1,-y1),‎ 解①得y1,2=,‎ 则y1+y2=,y1y2=,‎ 直线A′B的斜率k==,‎ 所以直线A′B的方程为y+y1=(x-x1),‎ 令y=0,得xD===+4,‎ 故xD=1,所以点D到直线l的距离d=,‎ 所以S△ADB=AB·d=d· ‎=|y1-y2|‎ ‎=18·.‎ 令t=(t>0),则S△ADB=18·=≤=,‎ 当且仅当3t=,即t2==m2-4,即m2=>4,m=±时,△ADB的面积最大,‎ 所以直线l的方程为 ‎3x+2y-12=0或3x-2y-12=0.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档