【数学】2018届一轮复习北师大版平面向量教案

【数学】2018届一轮复习北师大版平面向量教案

第3讲　平面向量 ‎　　　　　　　　　　　 　平面向量的概念与线性运算 自主练透　夯实双基 ‎1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；‎ ‎2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．‎ ‎[题组通关]‎ ‎1．(2015·高考全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ A　[解析]　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故选A.‎ ‎2．已知a、b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ、μ∈R)，当A、B、C三点共线时，λ的取值不可能为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．0‎ C．－1 D．2‎ B　[解析] 由＝λa＋b，＝a＋μb(λ、μ∈R)及A、B、C三点共线得，＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即所以λμ＝1，故λ≠0.‎ ‎3．(2016·广州综合测试(一))在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若＝m＋n(m，n∈R)，则＝(　　)‎ A．－3 B．－ C. D．3‎ A　[解析] 过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以m＋n＝＝ ‎＝＋＝－＋＝－＋，所以＝＝－3.‎ ‎4．(2016·广州综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是(　　)‎ A. B. C. D. B　[解析] 因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.‎ 平面向量的线性运算技巧 ‎(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用．‎ ‎(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　平面向量的数量积 共研典例　类题通法 ‎1．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：‎ ‎(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎2．平面向量的三个性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.‎ ‎ (1)(2016·合肥第二次质量检测)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2，且a⊥(a－2b)，则|b|＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B．2‎ C．2 D．4‎ ‎(2)(2016·高考天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)‎ A．－ B. C. D. ‎【解析】　(1)由a⊥(a－2b)得，a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0，则|a－b|＝＝＝|b|＝2，选项B正确．‎ ‎(2)法一：如图，建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－，0)，C(，0)，E(0，0)，D(－，)，由＝2，得F(，－)，则＝(，－)，＝(1，0)，所以·＝.‎ 法二：·＝(＋)·＝(＋)·＝·＋·＝－＋＝.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B ‎(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路 ‎①直接利用数量积的定义；‎ ‎②建立坐标系，通过坐标运算求解．‎ ‎(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．‎ ‎[题组通关]‎ ‎1．(2016·重庆适应性测试(二))设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. A　[解析] 依题意得e1·e2＝1×1×cos ＝－，|a|＝＝＝ ‎，‎ a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此b在a方向上的投影为＝＝－，选A.‎ ‎2．(2016·福建省毕业班质量检测)在△ABC中，A＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. C　[解析] 因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以·＝·(－)＝×32－×22＋·＝＋×3×2cos ＝，故选C.‎ ‎　　　　　　　　　 　平面向量与三角函数的综合问题 共研典例　类题通法 ‎ 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．‎ ‎【解】　(1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，‎ 由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，‎ 又sin B≠0，从而tan A＝.‎ 由于0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎(2)法一：由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 而a＝，b＝2，A＝，‎ 得7＝4＋c2－2c，‎ 即c2－2c－3＝0.‎ 因为c＞0，所以c＝3.‎ 故△ABC的面积为bcsin A＝.‎ 法二：由正弦定理，得＝，从而sin B＝.‎ 又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝.‎ 故sin C＝sin(A＋B)＝sin ‎＝sin Bcos＋cos Bsin＝.‎ 所以△ABC的面积为absin C＝.‎ 破解平面向量与“三角”交汇题的关键：一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”；三是活用“两定理”，有关解三角形的关键是正确分析边角关系，由于边与角可谓形影不离的“好姐妹”，在正、余弦定理的帮助下，边角互化，即可妙解三角形．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎(2016·合肥市第二次质量检测)已知m＝，n＝(cos x，1)．‎ ‎(1)若m∥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．‎ ‎[解] (1)由m∥n得，sin－cos x＝0，‎ 展开变形可得，sin x＝cos x，‎ 即tan x＝.‎ ‎(2)f(x)＝m·n＝sin＋，‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，‎ f(x)的单调递增区间为和.‎ 课时作业 ‎1．(2016·高考全国卷甲)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A．－8　　　　　　　　　 B．－6‎ C．6 D．8‎ D　[解析] 由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D.‎ ‎2．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－2)，若向量λa＋b与c共线，则实数λ的值为(　　)‎ A．－2 B．－ C．－1 D．－ C　[解析] 由题知λa＋b＝(λ＋2，2λ)，又λa＋b与c共线，所以－2(λ＋2)－2λ＝0，所以λ＝－1.‎ ‎3．(2016·山西省第二次四校联考)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. B　[解析] 因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝.‎ ‎4．(2016·唐山市统一考试)在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ B　[解析] 因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)＝＋，故选B.‎ ‎5．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　　)‎ A.－ B．－＋ C．2－ D．－＋2 C　[解析] 因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－，故选C.‎ ‎6．在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD是边AB上的高，则·＝(　　)‎ A．－ B. C. D．－ B　[解析] 依题意得||＝，·＝0，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||·||·cos 60°＝3××＝，故选B.‎ ‎7.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，则·＝(　　)‎ A．－ B. C．－4 D．－2‎ C　[解析] 通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，以A为坐标原点，AB，AD为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，F(1，2)．所以＝(2，－1)，＝(－1，2)，所以·＝－4.‎ ‎8．在△ABC中，AB＝，BC＝2，∠A＝，如果不等式|－t|≥||恒成立，则实数t的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B. C.∪[1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)‎ C　[解析] 在直角三角形ABC中，易知AC＝1，cos∠ABC＝，由|－t|≥||，得2－2t·＋t22≥2，即2t2－3t＋1≥0，解得t≥1或t≤.‎ ‎9．(2016·海口市调研测试)已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，则λ的值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ B　[解析] 依题意得＝＋＝－，＝＋，因此·＝·＝ eq o(BC,sup6(→))2－2＋·，于是有×62＋×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，选B.‎ ‎10．(2016·石家庄市第一次模考)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)‎ A．(0，1) B．(1，＋∞)‎ C．(1，] D．(－1，0)‎ B　[解析] 由题意可得＝k＝kλ＋kμ(01，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．‎ ‎11．已知等腰△OAB中，|OA|＝|OB|＝2，且|＋|≥||，那么·的取值范围是(　　)‎ A．[－2，4) B．(－2，4)‎ C．(－4，2) D．(－4，2]‎ A　[解析] 依题意，(＋)2≥(－)2，化简得·≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边，可得||－||<||＝|－|，两边平方可得(||－||)2<(－)2，化简可得·<4，所以－2≤·<4.‎ ‎12．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)‎ A．a⊥b B．b⊥(a－b)‎ C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)‎ B　[解析] 由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)．‎ ‎13．(2016·南昌市第一次模拟测试)已知向量a＝(1，)，向量a，c的夹角是，a·c＝2，则|c|等于________．‎ ‎[解析] 因为向量a＝(1，)，所以向量|a|＝2，又向量a，c的夹角是，a·c＝2，所以|c|＝＝＝2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎14．(2016·合肥市第一次教学质量检测)已知等边△ABC的边长为2，若＝3，＝，则·＝________．‎ ‎[解析] 如图所示，·＝(－)·(＋)＝·＝ ‎·＝2－2＝×4－×4＝－2.‎ ‎[答案] －2‎ ‎15．已知圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为________．　‎ ‎[解析] 因为＋＝2，所以O是BC的中点，故△ABC为直角三角形．在△AOC中，有||＝||，所以∠B＝30°.由定义，向量在向量方向上的投影为||cos B＝2×＝3.‎ ‎[答案] 3‎ ‎16．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________．‎ ‎[解析] 由e1·e2＝，可得cos〈e1，e2〉＝＝，故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝.‎ f(e1，e2)＝e1cos－e2sin＝e1－e2，‎ f(e2，－e1)＝e2cos－(－e1)sin＝e1－e2.‎ f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝·＝－e1·e2＝0，‎ 所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1)．‎ 故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.‎ ‎[答案]