【数学】2018届一轮复习北师大版坐标系学案

【数学】2018届一轮复习北师大版坐标系学案

知识点 考纲下载 ‎ 坐标系 ‎1.理解坐标系的作用． ‎ ‎2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎4．能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．‎ ‎5．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．‎ 参数方程 ‎1.了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．‎ ‎3．了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．‎ ‎4．了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用．‎ 第1讲　坐标系 ‎1．坐标系 ‎(1)伸缩变换 ‎ 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，‎ 点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．‎ ‎(2)极坐标系 在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．‎ ‎2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ‎3．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；‎ ‎(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsin_θ＝b．‎ ‎4．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：‎ ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos_θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin_θ．‎ ‎　极坐标与直角坐标的互化 ‎　(1)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离．‎ ‎(2)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程．‎ ‎【解】　(1)由2ρsin＝，得2ρ＝，所以y－x＝1.由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，所以d＝＝.即点A到直线l的距离为.‎ ‎(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2中，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，即ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝r2，ρ＝r.‎ 所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ<2π)． ‎ 极坐标与直角坐标互化的注意点 ‎(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．‎ ‎(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．　 ‎ ‎　(2016·高考北京卷改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A，B两点，求|AB|.‎ ‎ 将ρcos θ－ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x－y－1＝0，将ρ＝2cos θ 化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r＝1，又(1，0)在直线x－y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.‎ ‎　求曲线的极坐标方程 ‎　在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos ＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ ‎【解】　(1)由ρcos＝1得 ρ＝1.‎ 从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y－2＝0.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，‎ 所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为，‎ 则P点的极坐标为.‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ 求曲线的极坐标方程的步骤 ‎(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；‎ ‎(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；‎ ‎(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．　 ‎ ‎　在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ ‎ 在ρsin＝－中，‎ 令θ＝0，得ρ＝1，‎ 所以圆C的圆心坐标为(1，0)．‎ 如图所示，因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径 ‎|PC|＝＝1，‎ 于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎　曲线极坐标方程的应用 ‎　(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ ‎【解】　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程利用直角坐标方程的有关公式求解．　 ‎ ‎　(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎ (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．‎ ‎ 设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，‎ 则所以4x′2＋9y′2＝36，即＋＝1.‎ 所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，‎ 其焦点坐标为(±，0)．‎ ‎2．在极坐标系中，求直线ρ(cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ 的交点的极坐标．‎ ‎ ρ(cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为x－y＝2，即y＝x－2.‎ ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，‎ 把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，‎ 得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，‎ 解得x＝，y＝1.‎ 所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.‎ ‎3．(2017·山西省第二次四校联考)已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；‎ ‎(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝，求直线被曲线C截得的弦长．‎ ‎ (1)因为曲线C的参数方程为(α为参数)，‎ 所以曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10，①‎ 曲线C表示以(3，1)为圆心，为半径的圆．‎ 将代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，‎ 即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ.‎ ‎(2)因为直线的直角坐标方程为y－x＝1，‎ 所以圆心C到直线的距离为d＝，‎ 所以弦长为2＝.‎ ‎4．(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎ (1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上． ‎ 所以a＝1.‎ ‎5．(2017·山西省高三考前质量检测)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．‎ ‎ (1)C1：ρsin＝，C2：ρ2＝.‎ ‎(2)因为M(，0)，N(0，1)，所以P，‎ 所以OP的极坐标方程为θ＝，‎ 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.‎ 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q.‎ 所以|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两间点的距离为1.‎ ‎6．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos＝1.‎ ‎(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；‎ ‎(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．‎ ‎ (1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆，C2‎ 的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，‎ 由于圆心到直线的距离d＝＝＞1，‎ 所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点，亦即曲线C1和C2的公共点的个数为0.‎ ‎(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则 即①‎ 因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，‎ 所以ρ0cos ＝1，②‎ 将①代 入②，得cos＝1，‎ 即ρ＝2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为＋＝1，因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．‎ ‎7．(2017·河南天一大联考)在极坐标系中，曲线C：ρ＝4acos θ(a＞0)，l：ρcos＝4，C与l有且只有一个公共点．‎ ‎(1)求a；‎ ‎(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．‎ ‎ (1)由题意，得曲线C是以(2a，0)为圆心，以2a为半径的圆．‎ l的直角坐标方程为x＋y－8＝0，‎ 由直线l与圆C相切可得＝2a，‎ 解得a＝(舍负)．‎ ‎(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，则 ‎|OA|＋|OB|＝cos θ＋cos ‎＝8cos θ－sin θ ‎＝cos，‎ 所以当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值.‎ ‎8．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin2 θ)＝4.曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.‎ ‎(1)求曲线C1、C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A、B都在曲线C1上，求＋的值．‎ ‎ (1)因为C1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin2 θ)＝4，所以ρ2(cos2 θ＋4sin2 θ)＝4，即(ρcos θ)2＋4(ρsin θ)2＝4，即x2＋4y2＝4，所以该曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ 由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2a·cos θ(a为半径)，将D代入，得2＝2a×，所以a＝2，‎ 所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，‎ 所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，‎ 即ρ2＝.所以ρ＝，‎ ρ＝＝.‎ 所以＋＝＋＝.‎