2020年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020 年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科) 一、单项选择题（本大题共 12小题，共 60.0分） 1. 已知集合 t h ㈮ 1 则 䁘 A. t 1 h B. t 1 h C. t 1 h D. t 1 h h. 已知复数 1 ㈮ ，则 h t 1 䁘 A. 5 B. h C. D. 2 3. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图的曲线部分是四分 之一圆弧，该几何体的表面上的两点 M，N在正视图上的对应 点分别为 䁘中点，B，则一质点自点 M沿着该几何体的侧面绕 行一周到达点 N的最短路径长为䁘 A. ㈮ h ㈮ 1 B. h ㈮ 1 C. h ㈮ 1 D. 3 . 函数 䁘 1 3 3 ㈮ 1 h h t h㈮ h㈮ 1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是䁘 A. t 3 t 1 3 B. t 1 t 1 h C. t t 3 1 D. t h . 已知 香的三个顶点是 䁘 t ，香䁘和 䁘 h 3 h ，则 香的形状是䁘 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 斜三角形 . 下列函数图象不是轴对称图形的是䁘 A. 1 B. 䁥， h C. D. lg . 如图是一个 h h列联表，则表中 m，n的值分别为䁘 1 h 合计 1 a 35 45 h 7 b n 合计 m 73 S A. 10，38 B. 17，45 C. 10，45 D. 17，38 8. 一个圆经过以下两个点 香䁘 t 3，䁘 t h，且圆心在 y轴上，则圆的标准方程为䁘 A. B. h ㈮ 䁘 h 䁘 13 h C. h ㈮ 䁘t h 13 D. h ㈮ 䁘t h 䁘 13 h 9. 已知1䁘 t 83，h䁘h3，动点 P满足 1 t h 1，则 P点的轨迹是䁘 A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 直线 D. 一条射线 1. 向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概 率为䁘 A. 3 18 B. h 3 C. h 1 D. h h 11. 如图，直三棱柱 香 t 1香11， 香，且 1 h香，则直线 香1与直线 香1所成 角的余弦值为䁘 A. B. 3 C. h D. 1 1 1h. 已知函数 䁘 ሻ䁘 t ln t ，若 䁘只有一个极值点，则实数 k的取值范围是䁘 A. 䁘 t ㈮ B. 䁘 t C. 䁘 t D. 䁘 t 1 二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分） 13. 䁘 䁘h t h的单调递增区间是__________． 1. 䁘h ㈮ h 的展开式中的系数为________． 1. 如图，江岸边有一观察台 CD高出江面 30米，江中有两条船 A和 B， 由观察台顶部 C测得两船的俯角分别是和3，若两船与观察台 底部连线成3角，则两船的距离是__________． 1. 已知函数 ln t 䁘其中 e为自然对数的底数存在唯一的极值点，则实数 a的取值范 围是________． 三、解答题（本大题共 7小题，共 82.0分） 1. 设 䁘 cosh t 3sinh． 䁘1求 䁘的最大值及最小正周期； 䁘h若锐角满足 䁘 3 t h 3，求 tan 的值． 18. 如图，在直三棱柱 香 t 1香11中， 香，F为1香1的中点．求证： 䁘1香1香香平面 1； 䁘h平面 1 平面 香香11． 19. 已知函数 䁘1当 t 1时，求 䁘的单调区间； 䁘h当 1时，求 䁘的最小值． 20. 已知函数，䁘 logh t ㈮ 1，䁘 h ㈮ ，数列满足1 h ㈮1 h䁘 ． 䁘Ⅰ求数列的通项公式； 䁘Ⅱ求 䁘1 ㈮ 䁘h ㈮ ㈮ 䁘. 21. 设 M点为圆 C：h ㈮ h 上的动点，点 M在 x轴上的投影为 .动点 P满足 h 3 ， 动点 P的轨迹为 E． 䁘Ⅰ求 E的方程； 䁘Ⅱ设 E的左顶点为 D，若直线 l： ሻ㈮ ㌳与曲线 E交于两点 A，香䁘香不是左右顶点， 且满足 ㈮ 香 t 香 ，求证：直线 l恒过定点，并求出该定点的坐标． 22. 在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 1 t 3 h t 3 ㈮ 1 h 䁘为参数，以坐标原点为极点， x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 h h htcosh ． 䁘1求直线 l的普通方程及曲线 C的直角坐标方程； 䁘h设点 1 t 3 ，直线 l与曲线 C相交于两点 A，B，求 1 ㈮ 1 香的值． 23. 设函数 䁘 t ． 䁘1当 t 1时，解不等式 䁘 t t 1； 䁘h若 䁘 h的解集为 t 13，㌳㈮ h h㌳ t 3䁘㌳ ，求证：㌳㈮ h ． 【答案与解析】 1.答案：B 解析： 本题考查一元二次不等式的解法和补集及其运算.化简集合 A，结合数轴即可求出结果． 解：由 t h ㈮ 1 得 h或 t 1， t 1或 h， t 1 h ． 故选 B． 2.答案：C 解析： 本题主要考查了复数的四则运算，复数的模，属于基础题.先求出h t 1，再根据复数模的求法即可 求得结果． 解：由复数 1 ㈮ ，得h t 1 1㈮ h t 1 h t 1， 所以 h t 1 hh ㈮ t 1 h ． 故选：C． 3.答案：A 解析： 本题考查几何体的三视图和多面体和旋转体上的最短距离䁘折叠与展开图，属中档题，关键是根据 三视图确定几何体的形状与尺寸，并将空间最短路径问题转化为侧面展开图的直线距离问题 解：如图是由三视图得到的几何体，是有一个棱长为 2的正方体去掉以一条棱为轴的底面半径 h 的圆柱的四分之一得到， 圆柱部分的底面弧长为 1 h ， 其展开图如图所示，是长为 ㈮ ，宽为 2的矩形， 质点自点 M沿着该几何体的侧面绕行一周到达点 N的最短路径长为展开图中 M、N的直线距离为 ， 故选 A． 4.答案：B 解析： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键． 据选择项只要判断当 时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可 解：根据选择项只要判断当 时，即可， 函数的导数 ̵䁘 h ㈮ t h 䁘 t 1䁘 ㈮ h． 若 ，当 t h或 1，̵䁘 ， 当t h 1，̵䁘 ， 即当 t h时，函数取得极小值，当 1 时函数取得极大值， 要使函数 䁘 1 3 3 ㈮ 1 h h t h㈮ h㈮ 1的图象经过四个象限， 则有 䁘 t h ，且 䁘1 ， t t 3 1 ， 即函数的图象经过四个象限的充要条件为t t 3 1 ， 则对应的充分但不必要条件为䁘 t t 3 1 的真子集， 则t 1 t 1 h 满足条件，故选：B． 5.答案：C 解析： 本题主要考查了两点间的距离公式以及勾股定理判断，熟练掌握相关知识点和方法是解决此类问题 的关键． 解：由坐标可知 香 h， 䁘 ㈮ h h ㈮ 䁘 3 h h 3， 香 䁘t h h ㈮ 䁘 3 h h ， 所以 香 h h ㈮ 香 h ，则 香是直角三角形， 故选 C． 6.答案：C 解析：解：对于 A， 1 为轴对称图形，其对称轴 ，或 t ， 对于 B： 䁥在 h为轴对称图形，其对称轴 ， 对于 C： 不是轴对称图形， 对于 D： lg为轴对称图形，其对称轴 ， 故选：C． 根据常见函数的图象即可判断 本题考查了函数的图象和性质，属于基础题 7.答案：B 解析： 本题考查 h h列联表，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 由联表中数据即可求解． 解：根据 h h列联表可知 ㈮ 3 ，解得 1，则 ㌳ ㈮ 1，又由 3㈮ ൅ 3，解 得 ൅ 38，则 ㈮ ൅ ，故选 B． 8.答案：D 解析： 本题考查圆的标准方程的求法，训练了利用待定系数法求解圆的方程，是基础题． 设圆心坐标为䁘൅，半径为 r，可得圆的方程为h ㈮ 䁘t ൅h h，把已知点的坐标代入，求解 b 与 r值，则圆的方程可求． 解：设圆心坐标为䁘൅，半径为 r， 则圆的方程为h ㈮ 䁘t ൅h h， 则 9 ㈮ ൅h h 䁘൅ ㈮ hh h 解得 ൅ ，h 19 1 ， 圆的标准方程为h ㈮ 䁘t h 䁘 13 h． 故选 D． 9.答案：D 解析：1，h是两定点， 1h 1，所以满足条件 1 t h 1的点 P的轨迹应为一条射 线.故选 D． 10.答案：C 解析： 根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．几何概型的概 率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大 小”有关，而与形状和位置无关． 解：观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形， 在直线 AB的方程为 t 3t 中， 令 1得 䁘1 h 3 ， 令 t 1得 香䁘 1 t 1． 三角形 ABC的面积为 1 h 香 1 h 䁘1㈮ h 3 䁘1 t 1 h 3 图中正方形的面积为 4， 飞镖落在阴影部分䁘三角形 ABC的内部的概率是： h 3 h 1 ． 故选：C． 11.答案：D 解析： 本题考查利用空间向量解决异面直线所成角的问题，向量夹角余弦的坐标公式，要清楚两异面直线 的方向向量的夹角和这两异面直线所成角的关系． 设 1，由条件及建立的空间直角坐标系，可求出点 A，B，香1，1几点的坐标，从而得到向量香1 ， 香1 的坐标，由向量夹角余弦的坐标公式即可求出 cos 香1 香1 ，从而便得出直线 香1与直线 香1 夹角的余弦值． 解：设 1，建立空间直角坐标系，如图， 根据条件可求以下几点坐标： 䁘10，，香1䁘1， h h ，香䁘0， h h ，1䁘1，； 香1 䁘1 t h h 香1 䁘 t 11 h h ； cos 香1 香1 香1 香1 香1 香1 1t1h 1㈮h 1㈮1㈮h 1 1． 直线 香1与直线 香1夹角的余弦值为 1 1 ． 故选 D． 12.答案：C 解析： 本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，是中档题． 求出函数的导数，令̵䁘 ，解得 1，或 ሻ ，令 䁘 ，根据函数的单调性结合 䁘 的图象，求出 k的范围即可． 解：函数 䁘 ሻ䁘 t ݇ t 䁘ሻ R， ̵䁘 䁘t1䁘ሻt h ， 䁘 ㈮； 令 ̵䁘 ，解得 1，或 ሻ ， 设 ， 则̵䁘 t h 䁘t1 h ， 由̵䁘 ，得 1； 由̵䁘 得 1． 当 1时，䁘取得极小值 䁘1 ． 作出函数 䁘 的图象如图所示： 结合函数 䁘的图象， 则 ሻ 时，函数 䁘只有一个极值点 1； ሻ 时，函数 䁘也只有一个极值点 1，满足条件； ሻ 时不满足条件，舍去． 综上所述，实数 k的取值范围是䁘 t ． 故选 C． 13.答案：䁘 t 3 h 解析： ̵䁘 t h ㈮ h䁘ht h h䁘3 t h，因为h 恒成立，所以令 ̵䁘 h䁘3 t h 得 3 h .即 䁘的单调递增区间为䁘 t 3 h ． 本题考察导数的基本计算和函数单调性的求解，属于基础题． 14.答案：40 解析： 本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数． 求出二项展开式的通项，计算可得结果． 解：根据题意得，㈮1 䁘ht䁘 h h1t3， 令 1t 3 ，得 h， 䁘h ㈮ h 的展开式中的系数为 hhh ． 故答案为 40． 15.答案：30米 解析： 本题给出实际应用问题，求观察台旁边两条小船间的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置 关系等知识，属于中档题． 利用直线与平面所以及俯角的定义，化为两个特殊直角三角形的计算，再在底面 香中用余弦定 理即可求出两船距离． 解：如图，设 C处观测小船 A的俯角为 ， 设 C处观测小船 B的俯角为 3，连接 DA、DB， 中， ，可得 3米， 香中，香 3，可得 香 3 3 3米， 在 香中， 3米，香 3 3米，香 3， 由余弦定理可得： 香h h ㈮ 香h t h香cos3 9． 香 3米䁘负值舍去． 故答案为 30米． 16.答案： 解析： 本题考查了利用导数求函数的极值问题，求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理进行判断 即可． 解：̵䁘 ݇ ㈮ t 䁘݇ ㈮ 1 t ， 令 ̵䁘 ，即 䁘݇ ㈮ 1 t ， 解得 ， 䁘在 处存在极值为，䁘 t t 1 ， 又函数存在唯一的极值点， 只需要 ̵䁘 䁘݇ ㈮ 1 t 即可， 在 R上恒大于 0， 则只需 即可， 的取值范围为 ， 故答案为 ． 17.答案：解：䁘1䁘 1㈮cosh h t 3sinh 3cosh t 3sinh ㈮ 3 h 3䁘 3 h cosh t 1 h sinh ㈮ 3 h 3cos䁘h ㈮ ㈮ 3 故 䁘的最大值为 h 3 ㈮ 3；最小正周期 h h 䁘h由 䁘 3 t h 3得 h 3cos䁘h ㈮ ㈮ 3 3 t h 3， 故 cos䁘h ㈮ t 1 又由 h得 h ㈮ ㈮ ，故 h ㈮ ，解得 1h ． 从而 tan tan 3 3． 解析：本题考查三角函数的图象与性质即三角函数的恒等变换，解决问题的关键是： 䁘1利用三角函数的二倍角公式及公式 sin ㈮ ൅cos h ㈮ ൅hsin䁘 ㈮ 化简为只含一个角一个函 数名的三角函数，利用有界性及周期公式求出最大值最小正周期． 䁘h列出关于的三角方程，求出，求出正切值． 18.答案：解：䁘1证明：如图所示取 AB的中点 E，连接 CE，香1， 为1香1的中点， 1香香，香香香1，且1 ， 香1 ， 面香1香香平面 1， 香1 香1， 香1香香平面 1 䁘h证明：直三棱柱 香 t 1香11中，1 面11香1， 1 面11香1， 1 1， 香，F为1香1的中点， 1香1 1，且 1 1香1， 1 面 11香1香， 1 面11香1，平面 1 平面 香香11． 解析：䁘1如图所示取 AB的中点 E，连接 CE，香1，可得面香1香香平面 1，即香1香香平面 1 䁘h只需证明1 面 11香1香，即可得平面 1 平面 香香11． 本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题． 19.答案：解：䁘1当 t 1时， ， ̵䁘 t 1 ht1 䁘 ， 由 ̵䁘 ，解得 1；由 ̵䁘 ，解得 1， 故 䁘的单调递减区间为䁘1，单调递增区间为䁘1 ㈮． 䁘h̵䁘 t 䁘㈮ 1 ㈮ ht䁘㈮1㈮ 䁘t1䁘t 䁘 ， 当 1时，䁘在1上为增函数， 䁘㌳ 䁘1 9 h t ； 当 1 时，䁘在䁘1上为减函数，在䁘上为增函数， ； 当 时，䁘在1上为减函数， 䁘㌳ 䁘 h h t 䁘㈮ 1 ㈮ ㈮ ， 综上所述，当 1时，䁘㌳ 9 h t ； 当 1 时， ； 当 时，䁘㌳ h h t 䁘㈮ 1 ㈮ ㈮ 解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题． 䁘1求出导函数，由 ̵䁘 解得单调递增区间，由 ̵䁘 解得单调递减区间； 䁘h求出导函数，由 ̵䁘 的两根的的大小，分类讨论，求得函数在1上的单调性，得到最小 值． 20.答案：解：䁘ᦙ ㈮1 h，1 h，数列是以 2为首项，2为公比的等比数列 h ht1 h； 䁘ᦙᦙ由䁘ᦙ可得 䁘 loghh t h ㈮ 1 䁘㈮ 1 t h， 䁘1 ㈮ 䁘h ㈮ ㈮ 䁘 h ㈮ 3 ㈮ ㈮ 䁘㈮ 1 t 䁘h ㈮ hh ㈮ ㈮ h 䁘㈮3 h t h㈮1 ㈮ h． 解析：䁘ᦙ根据 ㈮1 h，1 h，利用等比数列的定义可得数列是以 2为首项，2为公比的等比 数列，从而可求数列的通项公式； 䁘ᦙᦙ由䁘ᦙ可得 䁘 loghh t h ㈮ 1 䁘㈮ 1 t h，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得 结论． 本题考查等比数列的定义，考查等差数列与等比数列的求和公式，属于中档题． 21.答案：解：䁘Ⅰ设 䁘，䁘，则 ， t t ， t ， h 3 ， ， h 3 3 ， 代入圆的方程得，h ㈮ 3 h ， 即 h ㈮ h 3 1， 故动点 P的轨迹 E的方程为： h ㈮ h 3 1； 证明：䁘Ⅱ证明：由䁘Ⅰ知， t h ， ㈮ 香 t 香 ， 香， 设 11 ，香 hh ，由 ሻ㈮ ㌳ h ㈮ h 3 1 ，消去 y得 3 ㈮ ሻh h ㈮ 8ሻ㌳ ㈮ ㌳h t 1h ， 1 ㈮ h t 8ሻ㌳ 3㈮ሻh ，1h ㌳ht1h 3㈮ሻh ， 1h 䁘ሻ1 ㈮㌳䁘ሻh ㈮㌳ ሻh1h ㈮㌳ሻ 1 ㈮ h ㈮㌳h， 由 香得： 1 1㈮h h h㈮h t 1， 即t 1h 1h ㈮ h 1 ㈮ h ㈮ ， 由得： ሻh ㈮ 1 1h ㈮ h㈮ ㌳ሻ 1 ㈮ h ㈮㌳h ㈮ ， 把代入并整理得：㌳h t 1ሻ㌳㈮ ሻh ，得： ㌳t hሻ ㌳t hሻ ， 即 ㌳ h ሻ或 ㌳ hሻ，故直线 l的方程为 ሻ ㈮ h ，或 ሻ ㈮ h ， 当直线 l的方程为 ሻ ㈮ h 时，l过定点 t h ；满足 当直线 l的方程为 ሻ ㈮ h 时，l过定点 t h ，这与 A，B不是左右顶点矛盾． 故直线 l的方程为 ሻ ㈮ h ，过定点 t h ． 解析：本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大． 䁘Ⅰ设 䁘，䁘，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程； 䁘h由向量条件结合矩形对角线相等可得 DA，DB垂直，斜率之积为t 1，再联立直线与椭圆方程， 得根与系数关系，逐步求解得证． 22.答案：解：䁘1因为 ，所以 ， 将 ，h h ㈮ h，代入上式，可得h ㈮ hh 8， 所以曲线 C的直角坐标方程为h ㈮ hh 8； 因为直线 l的参数方程为 1 t 3 h t 3 ㈮ 1 h 消去参数 t得 ㈮ 3 ㈮ h ， 所以直线 l的普通方程为 ㈮ 3 ㈮ h ； 䁘h易知点 1 t 3 在直线 l上， 将直线 l的参数方程代入曲线 C的普通方程， 可得 h t 1h 3 t ， 设 香两点所对应的参数分别为1h， 则1 ㈮ h 1h 3 ，1h t ， 于是 1 ㈮ 1 香 ㈮香 香 1th 1h 1 ㈮ h h t 1h 1h h. 解析：本题考查的知识点是椭圆的极坐标方程，直线的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义， 难度中档． 䁘1利用三种方程的转化方法，求直线 l的普通方程与曲线 C的直角坐标方程； 䁘h将直线 l的参数方程代入曲线 C的普通方程，可得 h t 1h 3 t ，利用参数的几何意义， 求 1 ㈮ 1 香的值． 23.答案：解：䁘1 t 1时，䁘 ㈮ 1， 䁘 t t 1，即 ㈮ 1 ㈮ t 1 ， 故 1 ㈮ 1 ㈮ t 1 或 t 1 1 ㈮ 1 ㈮ 1 t 或 t 1 t t 1 ㈮ 1 t 解得： h 或 t h ， 故不等式的解集是䁘 t t h h ㈮ ； 䁘h令 h，即 t h，解得t h ㈮ h ㈮ ， 由 h的解集是 t 13，易得 1，㌳㈮ h h㌳ t 3， ㌳ ，由均值不等式可得 ㌳㈮ h h h㌳， 当且仅当 ㌳ h 3时“”成立， 故䁘㌳㈮h h h 䁘㌳㈮ h ㈮ 3， ㌳㈮ h ． 解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是 一道中档题． 䁘1通过讨论 x的范围，求出不等式的解集即可； 䁘h求出 a的值，根据基本不等式的性质证明即可．