【数学】2020届一轮复习人教A版 不等式和绝对值不等式 课时作业

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‎2020届一轮复习人教A版 不等式和绝对值不等式 课时作业 ‎ 1、的解集是______ 2、已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．‎ ‎3、已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数的最小值为，求实数的值.‎ ‎4、对任给的实数和，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎5、函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为空集，求的取值范围．‎ ‎6、已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．‎ ‎7、已知关于的不等式的解集为，其中.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若正数，，满足，求证：.‎ ‎8、设函数f(x)=|x+a|+|x-a|.‎ ‎（1）当a=1时，解不等式f(x)≥4；‎ ‎（2）若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求a的取值范围。‎ ‎9、已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若直线与的图像所围成的多边形面积为，求实数的值.‎ ‎10、已知，，.设的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）解不等式.‎ ‎11、已知.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎12、已知.‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若，的图像与轴围成的封闭图形面积为，求的最小值.‎ ‎13、已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在，使，求实数的取值范围.‎ ‎14、设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的最大值为，正实数满足，求的最小值.‎ ‎15、已知函数.‎ ‎（1）当时，作出函数的图象，并写出不等式的解集；‎ ‎（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎16、已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对于任意恒成立，求实数的最小值，并求当取最小值时的范围.‎ ‎17、已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数的最小值为2，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若时，不等式成立，求的取值范围．‎ ‎18、己知函数．‎ ‎(1)当时，解不等式；‎ ‎(2)若存在实数x，使得成立，求实数a的取值范围.‎ ‎19、设函数.‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集是，求，的值；‎ ‎（Ⅱ）设，，，求证：.‎ ‎20、已知，‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ 参考答案 ‎1、答案：‎ 根据绝对值不等式的解法，直接解出不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 由得或，即或，故不等式的解集为.‎ 名师点评：‎ 本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2、答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ 试题分析：（Ⅰ）通过和两个点进行分段，分别在三段范围内进行讨论，得到解析式后建立不等关系，求解得到范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：；法一：设，利用，可得，从而推得，求得最大值；‎ 法二：构造出，利用可得，从而求得最大值；‎ 法三：构造出柯西不等式的形式，从而得到，从而求得最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）①当时，‎ ‎②当时，‎ ‎③当时，‎ 综上：的解集为 ‎（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知 即 又且 则，设 同理：，‎ ‎，即 当且仅当时取得最大值 法二：由（Ⅰ）可知 即 又且 当且仅当时取得最大值 法三：由（Ⅰ）可知 即 由柯西不等式可知：‎ 即：‎ 当且仅当即时，取得最大值 名师点评：‎ 本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式、柯西不等式求最值问题.解决不等式部分最值问题的关键是配凑出符合基本不等式或柯西不等式的形式，从而求得结果. 3、答案：(1)(2)‎ 试题分析：（Ⅰ）a=-2时，，f(x)的两个零点分别为-1和1，通过零点分段法分别讨论，去绝对值解不等式，最后取并集即可；‎ ‎（Ⅱ）法一：时，，化简f(x)为分段函数，根据函数的单调性求出f(x)在处取最小值3，进而求出a值。法二：先放缩，再由绝对值三角不等式求出f(x)最小值，进而求a。‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)时，不等式为 ‎①当时，不等式化为，，此时 ‎②当时，不等式化为，‎ ‎③当时，不等式化为，，此时 综上所述，不等式的解集为 ‎（Ⅱ）法一：函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即时，‎ 所以f(x)min＝f＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4.‎ 法二：‎ 所以，又，所以.‎ 名师点评：‎ 本题考查绝对值三角不等式的解法，零点分段法化简分段函数，求分段函数的最值，体现了分类讨论的数学思想。 4、答案：‎ 试题分析：先参变分离将恒成立问题转化成的最值问题，然后用绝对值不等式求出其最小值为2，再解绝对值不等式.‎ ‎【详解】‎ 解：因为 所以恒成立 又因为 所以最小值为2‎ 所以 当时，，所以 当时，，所以 当时，，所以 综上所述：.‎ 名师点评：‎ 本题考查了绝对值不等式求最值，绝对值不等式的解法，恒成立问题中常采用参变分离法转化为最值问题，解绝对值不等式常采用分类讨论法. 5、答案：（1）（2）‎ 试题分析：（1）由得，分，，三种情况讨论，即可得出结果；‎ ‎（2）先由的解集为空集，得恒成立，再由绝对值不等式的性质求出的最大值，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，不等式，即，‎ 当时，原不等式可化为，即，显然不成立，此时原不等式无解；‎ 当时，原不等式可化为，解得；‎ 当时，原不等式可化为，即，显然成立，即满足题意；‎ 综上，原不等式的解集为；‎ ‎（2）由的解集为空集，得的解集为空集，‎ 所以恒成立，‎ 因为，所以，‎ 所以当且仅当，即时，，‎ 所以，解得，‎ 即的取值范围是．‎ 名师点评：‎ 本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的方法以及含绝对值不等式的性质即可，属于常考题型. 6、答案：（1）；（2）‎ 试题分析：（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；‎ ‎（2）讨论和-1的大小，求函数的最小值，只需最小值满足不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）时，或或，解得：，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）①当时，，即.‎ ‎∴时，取得最小值，∴，解得，‎ ‎②当时，，所以时，取得最小值0，，故符合，‎ ‎③当时，，所以时，取得最小值 ‎，∴，即得，‎ 综上：．‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了绝对值不等式的求解及含绝对值函数的最值的求解，涉及分类讨论的思想，属于中档题. 7、答案：（1）（2）见证明 试题分析：（1）分别在和两种情况下去掉绝对值解不等式，结合可求得解集为，与题设对应可求得；（2）由（1）知，所证不等式可变为：；利用基本不等式可得，，，加和整理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知：‎ 即或 化简得：或 不等式组的解集为 ‎，解得：‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 由基本不等式有：，，‎ 三式相加可得：‎ ‎，即：‎ 名师点评：‎ 本题考查含绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式的问题，属于常规题型. 8、答案：(1)(2)‎ 试题分析：（1）将a=1代入，分段求解即可；‎ ‎（2）利用，即，求解即可.‎ 详解：（1）当时，不等式，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，无解；‎ 当时，，解得，‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（2）‎ ‎，解得或，‎ 即a的取值范围是.‎ 名师点评：含绝对值不等式的常用解法 ‎(1)基本性质法：对a∈R＋，|x|＜a？－a＜x＜a，|x|＞a？x＜－a或x＞a.‎ ‎(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．‎ ‎(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．‎ ‎(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．‎ ‎(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． 9、答案：(1)(2)4‎ 试题分析：（1）分段去绝对值解不等式组，最后取并集即可；‎ ‎（2）画出函数y＝f（x）的图象，如图所示，其中A（，），B（1，3），由kAB＝1，知y＝x+a图象与直线AB平行，若要围成多边形，则a＞2.，然后求出|CD|以及两平行线间的距离，用梯形面积公式可得．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ 由可知：‎ ‎（i）当时，，即；‎ ‎（ii）当时，，即，与矛盾，舍去；‎ ‎（iii）当时，，即；‎ 综上可知解集为：.‎ ‎（2）画出函数图像，如图所示，其中，，由，知图像与直线平行，若要围成多边形，则.‎ 易得与图像交于两点，‎ 则，‎ 平行线与间距离，‎ 梯形面积 即，‎ 故所求实数的值为4.‎ 名师点评：‎ 本题考查零点分段解绝对值不等式以及函数的图象和面积公式，属于中档题． 10、答案：（Ⅰ）（Ⅱ）.‎ 试题分析：（Ⅰ）运用基本不等式可得所求结果．（Ⅱ）利用零点分区间法将绝对值不等式转化为不等式组求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立，‎ ‎∴最小值为2，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得不等式即为．‎ 当时，原不等式化为，解得；‎ 当时，原不等式化为，解得；‎ 当时，原不等式化为，此时不等式无解．‎ 综上可得原不等式的解集为．‎ 名师点评：‎ 含绝对值不等式的常用解法 ‎(1)基本性质法：当时，或．‎ ‎(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．‎ ‎(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．‎ ‎(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．‎ ‎(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． 11、答案：（1）（2）‎ 试题分析：（1）分情况去掉绝对值，得到分段函数的形式，分段解不等式即可；（2）依题意，得，即按照绝对值的几何意义得到.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，得.‎ 当时，由，得，即，所以；‎ 当时，由，得，所以；‎ 当时，由，得，即，所以.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（2）依题意，得，即，所以.‎ 所以在恒成立，所以 所以，所以实数的取值范围为.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用. 12、答案：（1）a≤－1（2）4＋8.‎ 试题分析：（1）由绝对值三角不等式求的最小值即可求解；（2）去绝对值化简f(x)，得到与轴围成的封闭图形为等腰梯形，再利用题型面积公式及基本不等式求解即可 ‎【详解】‎ ‎（1）因为|ax＋1|＋|ax－1|≥|(ax＋1)－(ax－1)|＝2，‎ 等号当且仅当(ax＋1)(ax－1)≤0时成立，‎ 所以f(x)的最小值为2－2a－4＝－2a－2.‎ 依题意可得，－2a－2≥0，‎ 所以a≤－1.‎ ‎（2）因为a＞0，f(x)＝|ax＋1|＋|ax－1|－2a－4，‎ 所以f(x)＝‎ 所以y＝f(x)的图像与x轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD，如图所示 且顶点为A(－1－，0)，B(1＋，0)，C(，－2a－2)，D(－，－2a－2)‎ 从而S＝2(1＋)(a＋1)＝2(a＋)＋8.‎ 因为a＋≥2，等号当且仅当a＝时成立，‎ 所以当a＝时，S取得最小值4＋8.‎ 名师点评：‎ 本题考查绝对值不等式，绝对值三角不等式求最值，第二问的关键是确定图形形状，准确计算是关键，是中档题 ‎ ‎13、答案：(1).(2).‎ 试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值三角不等式得最小值，再解不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原不等式等价于 或或 解得或或，‎ 原不等式的解集为.‎ ‎（2）‎ ‎，解得或，‎ 的取值范围是 名师点评：‎ 本题考查绝对值定义求解不等式以及绝对值三角不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 14、答案：（1）（2）见解析 试题分析：（1）不等式可化为或或，据此求解不等式的解集即可；‎ ‎（2）由题意可得，结合均值不等式的求解的最小值即可，注意等号成立的条件.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）不等式可化为或或解得 的解集为 ‎（2），‎ ‎，‎ ‎.‎ 当且仅当时，即时，取“”，‎ 的最小值为．‎ 名师点评：‎ 绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 15、答案：（1）见解析（2）‎ 试题分析：（1）当时，，利用分段函数求解。‎ ‎（2）由，可得，所以转化为，即。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，‎ ‎，‎ 作出的函数图象如下：‎ 从图中可知，不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 所以转化为，‎ 即得对恒成立，‎ 即或，‎ 也就是或对恒成立，‎ 所以或，‎ 故实数的取值范围为.‎ 名师点评：‎ 解含有两个绝对值的不等式问题主要采用零点分段法求解。 ‎ ‎16、答案：（1）（2）‎ 试题分析：（1）零点分段去绝对值化简解不等式即可；（2）恒成立，即恒成立，即，由绝对值三角不等式求即可求解 ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，不等式化为，解得，可得；‎ 当时，不等式化为，解得，可得；‎ 当时，不等式化为，解得，可得.‎ 综上可得，原不等式的解集为.‎ ‎（2）若恒成立，则恒成立，‎ 又 最小值为.‎ 此时解得.‎ 名师点评：‎ 本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记定理，准确计算是关键，绝对值三角不等式成立条件是易错点，是中档题 17、答案：（Ⅰ）或；‎ ‎（Ⅱ）．‎ 试题分析：（Ⅰ）由绝对值不等式的性质可得的最小值，解方程可得的值；‎ ‎（Ⅱ）由题意可得，即有，即，由一次函数的单调性，即可得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）函数，‎ 由，‎ 可得的最小值为，‎ 若函数的最小值为2，‎ 即有，解得或；‎ ‎（Ⅱ）若时，不等式成立，‎ 即有，即，‎ 即有，即，‎ 由在递减，可得，‎ 即有且，可得，‎ 则的范围是．‎ 名师点评：‎ 本题考查绝对值不等式的性质和运用：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 18、答案：（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）根据绝对值定义转化为两个不等式组，解可得，（2）根据绝对值定义转化为分段函数，根据函数最值可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，由，得．‎ 当时，，解得．‎ 当时，，解得．‎ 综上可知，不等式的解集为．‎ ‎（2）由，得．‎ 则．‎ 令，则问题等价于 因为．‎ 所以实数的取值范围为．‎ 名师点评：‎ 本题考查含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基本题. 19、答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）详见解析.‎ 试题分析：（Ⅰ）解不等式得，再比较得到a,b的方程组，即得a,b的值；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式证明.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由得.‎ 由已知有：解得，‎ ‎（Ⅱ）由，，，‎ 得.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20、答案：（1）（2）‎ 试题分析：(1)由题意求解绝对值不等式可得不等式的解集；‎ ‎(2)由题意分类讨论求解绝对值不等式的解集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得：，故或，‎ 据此可得不等式的解集为 ‎（2）不等式等价于：‎ 或或，‎ 求解不等式可得：或或.‎ 综上可得，不等式的解集为：，即.‎ 名师点评：‎ 绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． ‎