【数学】2020届一轮复习人教B版（文）7-4直线、平面平行的判定和性质作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）7-4直线、平面平行的判定和性质作业

课时作业41　直线、平面平行的判定和性质 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)‎ A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析：因为a与点B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线．‎ 答案：D ‎2．[2019·河南开封模拟]在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　　)‎ A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b C．若a∥α，a∥b，则b∥α D．若α∥β，a⊂α，则a∥β 解析：对于A，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A是假命题；对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；对于C，b∥α或b在平面α内，故C是假命题；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题．故选D.‎ 答案：D ‎3．[2019·石家庄模拟]过三棱柱ABC－A1B‎1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB‎1A1平行的直线共有(　　)‎ A．4条 B．6条 C．8条 D．12条 解析：‎ 如图，H，G，F，I是相应线段的中点，‎ 故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，‎ 有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线，故选B.‎ 答案：B ‎4．[2019·山东聊城模拟]下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　)‎ 解析：在B中，如图，连接MN，PN，‎ ‎∵A，B，C为正方体所在棱的中点，‎ ‎∴AB∥MN，AC∥PN，‎ ‎∵MN∥DE，PN∥EF，‎ ‎∴AB∥DE，AC∥EF，‎ ‎∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，‎ AB、AC⊂平面ABC，DE、EF⊂平面DEF，‎ ‎∴平面ABC∥平面DEF.故选B.‎ 答案：B ‎5．[北京卷]设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB ‎＝8，则CD的长为________．‎ 解析：若P在α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB∥CD，则＝＝，可求得CD＝20；若P在α，β之间，则＝＝，可求得CD＝4.‎ 答案：20或4‎ ‎7．[2019·广州高三调研]正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为________．‎ 解析：如图所示，在线段DD1上靠近点D处取一点T，使得DT＝，因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N＝，故NT＝2－－＝1，因为M为CC1的中点，故CM＝1，连接TC，由NT∥CM，且CM＝NT＝1，知四边形CMNT为平行四边形，故CT∥MN，同理在AA1上靠近A处取一点Q′，使得AQ′＝，连接BQ′，TQ′，则有BQ′∥CT∥MN，故BQ′与MN共面，即Q′与Q重合，故AQ＝.‎ 答案： ‎8.‎ ‎[2019·福建泉州模拟]如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q________时，平面D1BQ∥平面PAO.‎ ‎① 与C重合 ‎② 与C1重合 ‎③ 为CC1的三等分点 ‎④ 为CC1的中点 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，‎ ‎∵O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，‎ ‎∴PO∥BD1，‎ 当点Q为CC1的中点时，‎ 连接PQ，则PQ綊AB，∴四边形ABQP是平行四边形，‎ ‎∴AP∥BQ，‎ ‎∵AP∩PO＝P，BQ∩BD1＝B，‎ AP、PO⊂平面PAO，BQ、BD1⊂平面D1BQ，‎ ‎∴平面D1BQ∥平面PAO.故选④.‎ 答案：④‎ 三、解答题 ‎9.‎ ‎[2019·安徽合肥一中模拟]如图，四棱锥P－ABCD中，E为AD的中点，PE⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝2，AC∩BD＝F，且△PAD与△ABD均为正三角形，G为△PAD重心．‎ ‎(1)求证：GF∥平面PDC；‎ ‎(2)求三棱锥G－PCD的体积．‎ 解析：(1)证明：连接AG交PD于H，连接CH.‎ 由四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝2DC，知＝，‎ 又G为△PAD的重心，∴＝，‎ 在△ACH中，＝＝，‎ 故GF∥HC.‎ 又HC⊂平面PDC，GF⊄平面PDC，‎ ‎∴GF∥平面PDC.‎ ‎(2)由AB＝2，△PAD，△ABD为正三角形，E为AD中点得PE＝3，‎ 由(1)知GF∥平面PDC，又PE⊥平面ABCD，‎ ‎∴VG－PCD＝VF－PCD＝VP－CDF＝·PE·S△CDF，‎ 由四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝2DC＝2，△ABD为正三角形，‎ 知DF＝BD＝，∠CDF＝∠ABD＝60°，‎ ‎∴S△CDF＝CD·DF·sin∠CDF＝，‎ ‎∴VP－CDF＝PE·S△CDF＝，‎ ‎∴三棱锥G－PCD的体积为.‎ ‎10.‎ ‎[2019·江西临川二中月考]如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，PA的中点，点Q是BC上一个动点．‎ ‎(1)当Q是BC中点时，求证：平面BEF∥平面PDQ；‎ ‎(2)当BD⊥FQ时，求的值．‎ 解析：(1)证明：∵E，Q分别是矩形ABCD的对边AD，BC的中点，‎ ‎∴ED＝BQ，ED∥BQ，‎ ‎∴四边形BEDQ是平行四边形，‎ ‎∴BE∥DQ.‎ 又BE⊄平面PDQ，DQ⊂平面PDQ，‎ ‎∴BE∥平面PDQ.‎ ‎∵F是PA的中点，E是AD的中点，‎ ‎∴EF∥PD，‎ ‎∵EF⊄平面PDQ，PD⊂平面PDQ，‎ ‎∴EF∥平面PDQ，‎ ‎∵BE∩EF＝E，BE、EF⊂平面BEF，‎ ‎∴平面BEF∥平面PDQ.‎ ‎(2)连接AQ.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BD.‎ ‎∵BD⊥FQ，PA∩FQ＝F，PA、FQ⊂平面PAQ，‎ ‎∴BD⊥平面PAQ，‎ ‎∵AQ⊂平面PAQ，‎ ‎∴AQ⊥BD，‎ 在矩形ABCD中，由AQ⊥BD得△AQB∽△DBA，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AB2＝AD·BQ，‎ 又AB＝1，AD＝2，‎ ‎∴BQ＝，则QC＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．‎ ‎(1)求三棱锥A－PDE的体积；‎ ‎(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．‎ 解析：(1)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.‎ 又因为ABCD是矩形，所以AD⊥CD.‎ 因为PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PCD，‎ 所以AD是三棱锥A－PDE的高．‎ 因为E为PC的中点，且PD＝DC＝4，‎ 所以S△PDE＝S△PDC＝×＝4.‎ 又AD＝2，所以VA－PDE＝AD·S△PDE＝×2×4＝.‎ ‎(2)取AC中点M，连接EM，DM，‎ 因为E为PC的中点，M是AC的中点，‎ 所以EM∥PA.‎ 又因为EM⊂平面EDM，PA⊄平面EDM，所以PA∥平面EDM.‎ 所以AM＝AC＝.‎ 即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为.‎