【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理余弦定理作业

【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理余弦定理作业

‎【课时训练】第21节　正弦定理、余弦定理 一、选择题 ‎1.如图,测量员在水平线上点B处测量得塔AD塔顶仰角为30°,当他前进10 m到达点C处时,测得塔顶仰角为45°,则塔高为 (　　)‎ A.15 m　　　　　　　　 B.10 m C.(5+5)m D.(5-5)m ‎【解析】选C.设塔高为x m,因为在点B处测量得塔AD塔顶仰角为30°,点C处测塔顶仰角为45°,所以BD= x,CD=x.因为BC=10,‎ 所以 x-x=10,所以x=5(+1).‎ ‎2.甲船在岛的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是 (　　)‎ A.小时 B.小时 ‎ C.小时 D.小时 ‎【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至C,D,如图所示:可知BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,‎ 由余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD ‎=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x×=28x2-20x+100,‎ 所以当x=时两船相距最近.‎ ‎3.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,此时测得点A的仰角为45°.再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是 (　　)‎ A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m ‎【解析】选B.设塔高为x米,根据题意可知在△ABC中,∠ABC=90°,‎ ‎∠ACB=45°,AB=x,从而有BC=x,‎ 在△BCD中,CD=10,∠BCD=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30°,‎ 由正弦定理可得=,可以求得BC==10=x,所以塔AB的高为10 m.‎ ‎1．(2018山西晋中一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则角C＝(　　)‎ A.　 B．　　‎ C．或 D．或 ‎【答案】B ‎【解析】在△ABC中，由余弦定理得cos A＝，即＝，所以b2＋c2－a2＝bc.又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝bc，即c＝(－1)b＜b，则a＝b，所以cos C＝＝，解得C＝.故选B.‎ ‎2．(2018湖南娄底二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，则下列关系一定不成立的是(　　)‎ A．a＝c　　 B．b＝c C．2a＝c D．a2＋b2＝c2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由余弦定理，得cos A＝＝＝，则A＝30°.又b＝a，由正弦定理得sin B＝sin A＝sin 30°＝，所以B＝60°或120°.‎ 当B＝60°时，△ABC为直角三角形，且2a＝c，可知C，D成立；当B＝120°时，C＝30°，所以A＝C，即a＝c，可知A成立．故选B.‎ ‎3．(2018太原模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则c＝(　　)‎ A．1　 B．2　‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵S△ABC＝bcsin A，∴＝×1×c×，∴c＝4.‎ ‎4．(2018武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c.若＜cos A，则△ABC为(　　)‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦定理得＝＜cos A，‎ 即sin C＜sin Bcos A，∵A＋B＋C＝π，‎ ‎∴sin C＝sin(A＋B)＜sin Bcos A，整理得sin Acos B＜0.又在三角形中sin A＞0，‎ ‎∴cos B＜0，∴＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形．‎ ‎5．(2018广西来宾一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　)‎ A.　　 B．　‎ C． D． ‎【答案】C ‎【解析】∵cos A＝＝＝，且A∈，∴A＝.故选C.‎ ‎6．(2018江苏泰州调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2＋b2－c2)tan C＝ab，则角C的大小为(　　)‎ A.或　　 B．或 C. D． ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，＝⇒cos C＝，∴sin C＝ ‎.又C∈(0，π)，∴C＝或.故选A.‎ ‎7．(2018南京模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2　sin B，则A＝(　　)‎ A．150°　 B．120°‎ C．60° D．30°‎ ‎【答案】D ‎【解析】由a2－b2＝bc，得sin2A－sin2B＝sin B·sin C，‎ ‎∵sin C＝2　sin B，∴sin A＝sin B，∴c＝2　b，a＝b，‎ 由余弦定理得cosA＝＝，∴A＝30°.故选D.‎ ‎8．(2018安徽池州一模)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)‎ A.　　 B．　‎ C． D． ‎【答案】C ‎【解析】∵b＝c，∴B＝C.‎ 又由A＋B＋C＝π得B＝－.由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得sin2A＝2sin2B·(1－sin A)，即sin2A＝2sin2(1－sin A)，即sin2A＝2cos2(1－sin A)，即4sin2cos2＝2cos2(1－sin A)，‎ 整理得cos2＝0，即cos2(cos A－sin A)＝0.‎ ‎∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴cos≠0，‎ ‎∴cos A＝sin A．又0＜A＜π，∴A＝.‎ 二、填空题 ‎9．(2018江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sin A＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S△ABC＝ab＝.‎ ‎10．(2018山西名校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b2＋c2＝2a2，则cos A的最小值为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为b2＋c2＝2a2，则由余弦定理可得a2＝2bccos A，所以cos A＝＝×≥×＝(当且仅当b＝c时等号成立)，即cos A的最小值为.‎ 三、解答题 ‎11．(2018河北衡水模拟)如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos A＝bcos C＋ccos B.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．‎ ‎【解】(1)由题意及正弦定理得2sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A．　‎ ‎∵sin A≠0，∴cos A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.‎ ‎(2)在△ABC中，由余弦定理得，‎ BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，即16＝4＋AC2－2AC，‎ 解得AC＝1＋，或AC＝1－(负值，舍去)．‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，‎ ‎∴＝＝，∴AD＝AC＝.‎ ‎12．(2019武汉武昌区调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos2B＋cos B＝1－cos Acos C.‎ ‎(1)求证：a，b，c成等比数列；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．‎ ‎【解】(1)在△ABC中，cos B＝－cos(A＋C)．‎ 由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cos Acos C，‎ ‎∴－sin2B－(cos Acos C－sin Asin C)＝－cos Acos C，化简，得sin2B＝sin Asin C.‎ 由正弦定理，得b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．‎ ‎(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.‎ 则cos B＝＝≥＝，‎ 当且仅当a＝c时，等号成立．‎ ‎∵0＜B＜π，∴sin B＝≤＝.‎ ‎∴S△ABC＝acsin B≤×4×＝.‎ ‎∴△ABC的面积的最大值为.‎