高考数学难点突破37__数形结合思想

高考数学难点突破37__数形结合思想

高中数学难点 37 数形结合思想 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代 数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思 维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内 在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解 题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常 见曲线的代数特征. 1.曲线 y=1+ 24 x (–2≤x≤2)与直线 y=r(x–2)+4 有两个交点时，实数 r 的取值范围 . 2.设 f(x)=x2–2ax+2,当 x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a 恒成立，求 a 的取值范围. ［例 1］设 A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且 x∈A}，C={z｜z=x2，且 x∈A }， 若 C  B，求实数 a 的取值范围. 命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目. 知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合 C.进而 将 C B 用不等式这一数学语言加以转化. 错解分析：考生在确定 z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图 象将是上策.不能漏掉 a＜–2 这一种特殊情形. 技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一 般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来 解决. 解：∵y=2x+3 在［–2, a］上是增函数 ∴–1≤y≤2a+3，即 B={y｜–1≤y≤2a+3} 作出 z=x2 的图象，该函数定义域右端点 x=a 有三种不同的位置情况如下： ①当–2≤a≤0 时，a2≤z≤4 即 C={z｜z2≤z≤4} 要使 C B,必须且只须 2a+3≥4 得 a≥ 2 1 与–2≤a＜0 矛盾. ②当 0≤a≤2 时，0≤z≤4 即 C={z｜0≤z≤4}，要使 C B，由图可知： 必须且只需      20 432 a a 解得 ≤a≤2 ③当 a＞2 时，0≤z≤a2，即 C={z｜0≤z≤a2}，要使 C B 必须且只需      2 322 a aa 解得 2＜a≤3 ④当 a＜–2 时，A= 此时 B=C= ，则 C B 成立. 综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［ 2 1 ,3］. ［例 2］已知 acosα +bsinα =c, acosβ +bsinβ =c(ab≠0,α –β ≠kπ , k∈Z)求证： 22 2 2 2cos ba c   . 命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目. 知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由 A、B 两点坐标 特点知其在单位圆上. 错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意 义是为瓶颈之二. 技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题. 证明:在平面直角坐标系中，点 A（cosα ,sinα ）与点 B（cosβ , sinβ ）是直线 l:ax+by=c 与单位圆 x2+y2=1 的两个交点如图. 从而：｜AB｜2=(cosα –cosβ )2+(sinα –sinβ )2 =2–2cos(α –β ) 又∵单位圆的圆心到直线 l 的距离 22 || ba cd   由平面几何知识知｜OA｜2–( 2 1 ｜AB｜)2=d2 即 ba cd  2 2 2 4 )cos(221  ∴ 22 2 2 2cos ba c   . 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象 （3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借 助于解析几何方法. 以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的 结合. 一、选择题 1.（★★★★）方程 sin(x– 4  )= 4 1 x 的实数解的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.以上均不对 2.（★★★★★）已知 f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中 a＜b) ，且α 、β 是方程 f(x)=0 的两 根（α ＜β ，则实数 a、b、α 、β 的大小关系为( ) A.α ＜a＜b＜β B.α ＜a＜β ＜b C.a＜α ＜b＜β D.a＜α ＜β ＜b 二、填空题 3.（★★★★★）(4cosθ +3–2t)2+(3sinθ –1+2t)2，(θ 、t 为参数)的最大值是 . 4.（★★★★★）已知集合 A={x｜5–x≥ )1(2 x },B={x｜x2–ax≤x–a}，当 A B 时，则 a 的取值范围是 . 三、解答题 5.（★★★★）设关于 x 的方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在（0,π ）内有相异解α 、β . （1）求 a 的取值范围； （2）求 tan(α +β )的值. 6.（★★★★）设 A={(x,y)｜y= 222 xa  ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0}, 且 A∩B≠ ，求 a 的最大值与最小值. 7.（★★★★）已知 A（1，1）为椭圆 59 22 yx  =1 内一点，F1 为椭圆左焦点，P 为椭圆 上一动点.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值. 8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为 25 cm、20 cm、5 cm 的长方体木盒从一个 正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？ 参 考 答 案 ●难点磁场 1.解析：方程 y=1+ 24 x 的曲线为半圆，y=r(x–2)+4 为过（2，4）的直线. 答案：（ 4 3,12 5 ］ 2.解法一：由 f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立  x2–2ax+2–a＞0 在［–1,+∞)上恒成 立.考查函数 g(x)=x2–2ax+2–a 的图象在［–1,+∞］时位于 x 轴上方.如图两种情况： 不等式的成立条件是：(1)Δ =4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1) (2)        0)1( 1 0 g a a∈(–3,–2] ，综上所述 a∈(–3,1). 解法二：由 f(x)＞a x2+2＞a(2x+1) 令 y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象. 如图满足条件的直线 l 位于 l1 与 l2 之间，而直线 l1、l2 对应的 a 值（即直线的斜率）分别为 1，–3， 故直线 l 对应的 a∈(–3,1). ●歼灭难点训练 一、1.解析：在同一坐标系内作出 y1=sin(x– 4  )与 y2= 4 1 x 的图象如图. 答案：B 2.解析：a,b 是方程 g(x)=(x–a)(x–b)=0 的两根，在同一坐标系中作出函数 f(x)、g(x)的 图象如图所示： 答案：A 二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为 A(4cosθ ,3sinθ ),B(2t–3,1–2t) 点 A 的几何图形是椭圆，点 B 表示直线. 考虑用点到直线的距离公式求解. 答案： 2 27 4.解析：解得 A={x｜x≥9 或 x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得. 答案：a＞3 三、5.解：①作出 y=sin(x+ 3  )(x∈(0,π ))及 y=– 2 a 的图象，知当｜– ｜＜1 且– ≠ 2 3 时，曲线与直线有两个交点，故 a∈(–2,– 3 )∪(– ,2). ②把 sinα + cosα =–a,sinβ + cosβ =–a 相减得 tan 3 3 2   ， 故 tan(α +β )=3. 6.解：∵集合 A 中的元素构成的图形是以原点 O 为圆心， 2 a 为半径的半圆；集合 B 中的元素是以点 O′(1, )为圆心，a 为半径的圆.如图所示 ∵A∩B≠ ，∴半圆 O 和圆 O′有公共点. 显然当半圆 O 和圆 O′外切时，a 最小 a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2 当半圆 O 与圆 O′内切时，半圆 O 的半径最大，即 a 最大. 此时 2 a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2. 7.解：由 159 22  yx 可知 a=3,b= 5 ,c=2，左焦点 F1(–2,0),右焦点 F2(2,0).由椭圆定 义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜, ∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜ 如图： 由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 2)10()12( 22  知 – ≤｜PA｜–｜PF2｜≤ . 当 P 在 AF2 延长线上的 P2 处时，取右“=”号； 当 P 在 AF2 的反向延长线的 P1 处时，取左“=”号. 即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为 ，– . 于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是 6+ 2 ,最小值是 6– . 8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值. 由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能 使正方形窗口边长尽量地小. 如图： 设 AE=x,BE=y, 则有 AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y ∴            2 25 210 5 20 222 222 y x yy xx ∴ 2 225 2 25210  yxAB .