2013四川卷（理）数学试题

2013四川卷（理）数学试题

‎2013·四川卷(理科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝(　　)‎ A．{－2}　　B．{2}　　C．{－2，2}　　D． ‎1．A　[解析] 由已知，A＝{－2}，B＝{－2，2}，故A∩B＝{－2}．‎ ‎2． 如图1－1所示，在复平面内，点A表示复数z，则图1－1中表示z的共轭复数的点是(　　)‎ 图1－1‎ A．A 　B．B 　C．C 　D．D ‎2．B　[解析] 复数与共轭复数的几何关系是其表示的点关于x轴对称．‎ ‎3． 一个几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的直观图可以是(　　)‎ 图1－2‎ 图1－3‎ ‎3．D　[解析] 根据三视图原理，该几何体上部为圆台，下部为圆柱．‎ ‎4． 设x∈，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：x∈A，2x∈B，则(　　)‎ A．p：x∈A，2xB B．p：xA，2xB C．p：xA，2x∈B D．p：x∈A，2xB ‎4．D　[解析] 注意到全称命题的否定为特称命题，故应选D.‎ 图1－4‎ ‎5． 函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图像如图1－4所示，则ω，φ的值分别是(　　)‎ A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， ‎5．A　[解析] 由图知＝＋＝，故周期T＝π，于是ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．再由f＝2，得sin＝1，于是＋φ＝2kπ＋(k∈)，因为－<φ<，取k＝0，得φ＝－.‎ ‎6．， 抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)‎ A. 　B. 　C．1 　D. ‎6．B　[解析] 抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x2－＝1的渐近线为x±y＝0，故点F到x±y＝0的距离d＝＝.‎ ‎7．，， 函数y＝的图像大致是(　　)‎ 图1－5‎ ‎7．C　[解析] 函数的定义域是{x∈|x≠0}，排除选项A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B；‎ 当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C中的图像．‎ ‎8． 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是(　　)‎ A．9 　B．10 　C．18 　D．20‎ ‎8．C　[解析] 从1，3，5，7，9中，每次取出两个不同的数作为a，b可以得到不同的差式lg a－lg b共计A＝20个，但其中lg 9－lg 3＝lg 3－lg 1，lg 3－lg 9＝lg 1－lg 3，故不同的值只有18个．‎ ‎9． 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．C　[解析] 设第一串彩灯在通电后第x秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y秒闪亮，由题意满足条件的关系式为－2≤x－y≤2.‎ 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(‎ 阴影部分面积)为12平方单位，故概率为＝.‎ ‎10．， 设函数f(x)＝(a∈，e为自然对数的底数)．若曲线y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1，e] B．[e－1－1，1]‎ C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]‎ ‎10．A　[解析] 因为y0＝sin x0∈[－1，1]，且f(x)在[－1，1]上(有意义时)是增函数，对于y0∈[－1，1]，如果f(y0)＝c＞y0，则f(f(y0))＝f(c)＞f(y0)＝c＞y0，不可能有f(f(y0))＝y0.‎ 同理，当f(y0)＝d＜y0时，则f(f(y0))＝f(d)＜f(y0)＝d＜y0，也不可能有f(f(y0))＝y0，因此必有f(y0)＝y0，即方程f(x)＝x在[－1，1]上有解，即＝x在[－1，1]上有解．显然，当x＜0时，方程无解，即需要＝x在[0，1]上有解．当x≥0时，两边平方得ex＋x－a＝x2，故a＝ex－x2＋x.记g(x)＝ex－x2＋x，则g′(x)＝ex－2x＋1.‎ 当x∈时，ex＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0，‎ 当x∈时，ex＞＞1，0>－2x＋1≥－1，‎ 故g′(x)＞0.‎ 综上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[1，e]，从而a的取值范围是[1，e]．‎ ‎11． 二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)‎ ‎11．10　[解析] 根据二项展开式的性质可得x2y3的系数为C＝10.‎ ‎12． 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．‎ ‎12．2　[解析] 根据向量运算法则，＋＝＝2，故λ＝2.‎ ‎13．，， 设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．‎ ‎13.　[解析] 解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈，故sin α≠0，于是cos α＝－，进而sin α＝，于是tan α＝－，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝.‎ 解法二：同上得cos α＝－，又α∈，可得α＝，∴tan 2α＝tan ＝.‎ ‎14．， 已知f(x)是定义域为的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．‎ ‎14．(－7，3)　[解析] 当x＋2≥0时，f(x＋2)＝(x＋2)2－4(x＋2)＝x2－4，由f(x＋2)＜5，得x2－4＜5，即x2＜9，解得－3＜x＜3，又x＋2≥0，故－2≤x＜3为所求．又因为f(x)为偶函数，故f(x＋2)的图像关于直线x＝－2对称，于是－7＜x＜－2也满足不等式．‎ ‎(注：本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)‎ ‎15．，， 设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到P1，P2，…，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…，Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．则有下列命题：‎ ‎①若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；‎ ‎②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；‎ ‎③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；‎ ‎④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．‎ 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎15．①④　[解析] 对于①，如果中位点不在直线AB上，‎ 由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB上时，如果不与C重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C为唯一的中位点，①正确；‎ 对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为，显然2 ＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；‎ 对于③，当A，B，C，D四点共线时，不妨设他们的顺序就是A，B，C，D，则当点P在B，C之间运动时，点P到A，B，C，D四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；‎ 对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．‎ ‎16．， 在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．‎ ‎16．解：设该数列公差为d，前n项和为Sn，由已知可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，‎ 所以a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0.‎ 解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3.即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.‎ 所以，数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝.‎ ‎17．，， 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cos B－sin (A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)若a＝4 ，b＝5，求向量在方向上的投影．‎ ‎17．解：(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得 ‎[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，‎ 即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，‎ 则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.‎ ‎(2)由cos A＝－，0b，则A>B，故B＝.‎ 根据余弦定理，有(4 )2＝52＋c2－2×5c×，‎ 解得c＝1或c＝－7(舍去)，‎ 故向量在方向上的投影为||cosB＝.‎ ‎18．， 某算法的程序框图如图1－6所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．‎ 图1－6‎ ‎(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1，2，3)；‎ ‎(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 甲的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 027‎ ‎376‎ ‎697‎ 乙的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 051‎ ‎696‎ ‎353‎ 当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；‎ ‎(3)按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．‎ ‎18．解：(1)变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．‎ 当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；‎ 当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；‎ 当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝，‎ 所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.‎ ‎(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率如下：‎ 输出y的值 为1的频率 输出y的值 为2的频率 输出y的值 为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．‎ ‎(3)随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3.‎ P(ξ＝0)＝C××＝，‎ P(ξ＝1)＝C××＝，‎ P(ξ＝2)＝C××＝，‎ P(ξ＝3)＝C××＝，‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.‎ 即ξ的数学期望为1.‎ ‎19．，，， 如图1－7所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．‎ ‎(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；‎ ‎(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．‎ 图1－7‎ ‎19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.‎ 由已知，AB＝AC，D是BC的中点．‎ 所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.‎ 因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.‎ 又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，‎ 所以直线l⊥平面ADD1A1.‎ ‎(2)解法一：‎ 联结A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，联结AF.‎ 由(1)知，MN⊥平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面A1MN.‎ 所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE.‎ 所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.‎ 故∠AFE为二面角A－A1M－N的平面角(设为θ)．‎ 设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.‎ 又P为AD的中点，所以M为AB中点，‎ 且AP＝，AM＝1，‎ 所以，在Rt△AA1P中，A1P＝；在Rt△A1AM中，A1M＝.‎ 从而AE＝＝，AF＝＝，‎ 所以sinθ＝＝.‎ 所以cosθ＝＝＝.‎ 故二面角A－A1M－N的余弦值为.‎ 解法二：‎ 设A1A＝1，如图，‎ 过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz(点O与点A1重合)．‎ 则A1(0，0，0)，A(0，0，1)．‎ 因为P为AD的中点，所以M，N分别为AB，AC的中点，又AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，‎ 故可得M(，，1)，N(－，，1)，‎ 所以＝，＝(0，0，1)，＝(，0，0)．‎ 设平面AA1M的一个法向量为1＝(x1，y1，z1)，‎ 则即 故有 从而 取x1＝1，则y1＝－，所以1＝(1，－，0)．‎ 设平面A1MN的一个法向量为2＝(x2，y2，z2)，则 即 故有 从而 取y2＝2，则z2＝－1，所以2＝(0，2，－1)．‎ 设二面角A－A1M－N的平面角为θ，又θ为锐角，‎ 则cos θ＝＝‎ ＝.‎ 故二面角A－A1M－N的余弦值为.‎ ‎20．， 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．‎ ‎20．解：(1)由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝＋＝2 .‎ 所以a＝，‎ 又由已知，c＝1，‎ 所以椭圆C的离心率e＝＝＝.‎ ‎(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ 设点Q的坐标为(x，y)．‎ ‎①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为.‎ ‎②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.‎ 因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.‎ 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.‎ 由＝＋，得 ＝＋，‎ 即＝＋＝.①‎ 将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得 ‎(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②‎ 由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，得k2>.‎ 由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 代入①中并化简，得 x2＝.③‎ 因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.‎ 由③及k2>，可知00.‎ 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1，‎ 当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立．‎ 所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.‎ ‎(3)当x1x1>0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1<00时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为 y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.‎ 两切线重合的充要条件是 由①及x1<0h(0)＝－ln 2－1，‎ 所以a>－ln 2－1.‎ 又当x1∈(－1，0)且趋近于－1时，h(x1)无限增大，‎ 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．‎ 故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．‎