【数学】2020一轮复习北师大版（理）48　椭圆作业

【数学】2020一轮复习北师大版（理）48　椭圆作业

课时规范练48　椭圆 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.椭圆x‎2‎‎4‎+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=(　　)‎ A.‎7‎‎2‎ B.‎‎3‎‎2‎ C.‎3‎ D.4‎ ‎2.设椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右顶点为A,右焦点为F,B为椭圆在第二象限内的点,直线BO交椭圆于点C,O为原点,若直线BF平分线段AC,则椭圆的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎5‎ ‎3.设F1,F2是椭圆x‎2‎‎49‎‎+‎y‎2‎‎24‎=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则△PF1F2的面积为(　　)‎ A.30 B.25 C.24 D.40‎ ‎4.已知椭圆C:x‎2‎‎9‎‎+‎y‎2‎‎5‎=1,若直线l经过M(0,1),与椭圆交于A,B两点,且MA=-‎2‎‎3‎MB,则直线l的方程为(　　)‎ A.y=±‎1‎‎2‎x+1‎ B.y=±‎1‎‎3‎x+1‎ C.y=±x+1‎ D.y=±‎2‎‎3‎x+1‎ ‎5.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为‎2-‎‎3‎‎2‎,点P为椭圆上的任意一点,则‎1‎‎|PF‎1‎|‎‎+‎‎1‎‎|PF‎2‎|‎的取值范围为(　　)‎ A.[1,22] ‎ B.[‎2‎‎,‎‎3‎]‎ C.[‎2‎,4] ‎ D.[1,4]‎ ‎6.直线m与椭圆x‎2‎‎2‎+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为　　　　　. ‎ ‎7.(2018辽阳模拟,15)设F1,F2分别是椭圆x‎2‎‎25‎‎+‎y‎2‎‎16‎=1的左右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为　　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎8.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点为F1(-2,0),过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交的弦长为‎3‎b,则椭圆的标准方程为(　　)‎ A.y‎2‎‎8‎‎+‎x‎2‎‎4‎=1 B.x‎2‎‎8‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1‎ C.y‎2‎‎16‎‎+‎x‎2‎‎12‎=1 D.x‎2‎‎16‎‎+‎y‎2‎‎12‎=1‎ ‎9.(2018湖南长沙一模,10)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点,若|AF|+|BF|=6,点M与直线l的距离不小于‎8‎‎5‎,则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A.0,‎2‎‎2‎‎3‎ B.0,‎‎5‎‎3‎ C.‎6‎‎3‎,1 D.‎2‎‎2‎‎3‎,1‎ ‎10.已知椭圆C:x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1的左右两焦点分别为F1,F2,△ABC为椭圆的内接三角形,已知A‎2‎‎3‎‎,‎‎2‎‎6‎‎3‎,且满足F‎2‎A‎+F‎2‎B+‎F‎2‎C=0,则直线BC的方程为　　　　　. ‎ ‎11.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)短轴的端点P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积等于-‎1‎‎4‎,则P到直线QM的距离为　　　　　. ‎ ‎12.(2018河南开封二模,20)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎3‎‎2‎,点M(2,1)在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点.若∠AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.‎ ‎13.(2018河南郑州一模,20)如图,已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0),点H2,‎2‎‎10‎‎3‎在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的方程.‎ ‎(2)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点,求证:△PF2Q的周长是定值.‎ ‎14.已知动点M(x,y)满足:‎(x+1)‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎+‎‎(x-1)‎‎2‎‎+‎y‎2‎=2‎2‎,‎ ‎(1)求动点M的轨迹E的方程;‎ ‎(2)设A,B是轨迹E上的两个动点,线段AB的中点N在直线l:x=-‎1‎‎2‎上,线段AB的中垂线与E交于P,Q两点,是否存在点N,使以PQ为直径的圆经过点(1,0),若存在,求出N点坐标,若不存在,请说明理由.‎ 创新应用组 ‎15.(2018江西南昌高三月考,20)已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的顶点坐标分别为A1(-2,0),A2(2,0),且对于椭圆上任意一点M(异于A1,A2),直线MA1与直线MA2斜率之积为-‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)如图,点P-1,‎1‎‎2‎是该椭圆内一点,四边形ABCD(AB∥CD)的对角线AC与BD交于点P.设直线AB:y=x+m,记g(m)=S‎△PAB‎2‎.求f(m)=g(m)-‎2‎‎3‎m3+4m-3的最大值.‎ ‎16.(2018浙江杭州二中高三月考,21)如图,焦点在x轴上的椭圆C1与焦点在y轴上的椭圆C2都过点M(0,1),中心都在坐标原点,且椭圆C1与C2的离心率均为‎3‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆C1与椭圆C2的标准方程;‎ ‎(2)过点M的互相垂直的两直线分别与C1,C2交于点A,B(点A,B不同于点M),当△MAB的面积取最大值时,求两直线MA,MB斜率的比值.‎ 参考答案 课时规范练48　椭圆 ‎1.A　a2=4,b2=1,所以a=2,b=1,c=‎3‎,不妨设P在x轴上方,则F1(-‎3‎,0),设P(-‎3‎,m)(m>0),则‎(-‎‎3‎‎)‎‎2‎‎4‎+m2=1,解得m=‎1‎‎2‎,所以|PF1|=‎1‎‎2‎,根据椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|=2×2-‎1‎‎2‎=‎7‎‎2‎.‎ ‎2.‎ B　如图,设AC中点为M,连接OM,则OM为△ABC的中位线,易得△OFM∽△AFB,且‎|OF|‎‎|FA|‎=‎|OM|‎‎|AB|‎=‎1‎‎2‎,即ca-c=‎1‎‎2‎,可得e=ca=‎1‎‎3‎.‎ ‎3.C　因为|PF1|+|PF2|=14,又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.因为|F1F2|=10,所以PF1⊥PF2.所以S‎△PF‎1‎F‎2‎=‎1‎‎2‎|PF1|·|PF2|=‎1‎‎2‎×8×6=24.‎ ‎4.B　设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线l的方程为y=kx+1.‎ 因为MA=-‎2‎‎3‎MB,所以2x2=-3x1,y=kx+1与x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1,得(5+9k2)x2+18kx-36=0,‎ 则x‎1‎‎+x‎2‎=-‎18k‎5+9‎k‎2‎,‎x‎1‎x‎2‎‎=‎-36‎‎5+9‎k‎2‎,‎‎2x‎2‎=-3x‎1‎,‎ 解得k=±‎1‎‎3‎,即所求直线方程为y=±‎1‎‎3‎x+1.‎ ‎5.D　由题意得椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的短轴长为2b=2,b=1,SΔF‎1‎AB=‎1‎‎2‎(a-c)b=‎2-‎‎3‎‎2‎,解得a-c=2-‎3‎,∴a=2,c=‎3‎,‎ ‎|PF1|+|PF2|=2a=4,设|PF1|=x,则|PF2|=4-x,x∈[a-c,a+c],‎ 即x∈[2-‎3‎,2+‎3‎],∴‎1‎‎|PF‎1‎|‎+‎1‎‎|PF‎2‎|‎=‎1‎x+‎1‎‎4-x=‎4‎‎4-‎‎(x-2)‎‎2‎∈[1,4],故选D.‎ ‎6.-‎1‎‎2‎　由点差法可求出k1=-‎1‎‎2‎·x中y中,‎ 所以k1·y中x中=-‎1‎‎2‎,即k1k2=-‎1‎‎2‎.‎ ‎7.15　椭圆x‎2‎‎25‎+y‎2‎‎16‎=1中,a=5,b=4,所以c=3,焦点坐标F1(-3,0),F2(3,0),根据椭圆的定义得|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|),因为|PM|-|PF2|≤|MF2|,当且仅当P在MF2上时取等号,所以点P与图中的P0重合时,‎(|PM|-|PF‎2‎|)‎max=‎(6-3)‎‎2‎‎+‎‎(4-0)‎‎2‎=5,此时|PM|+|PF1|的最大值为10+5=15.‎ ‎8.B　由左焦点为F1(-2,0),可得c=2,即a2-b2=4,过点F1作倾斜角为30°的直线的方程为y=‎3‎‎3‎(x+2),圆心(0,0)到直线的距离d=‎2‎‎3‎‎3+9‎=1,由直线与圆x2+y2=b2相交的弦长为‎3‎b,可得2b‎2‎‎-1‎=‎3‎b,解得b=2,a=2‎2‎,‎ 则椭圆方程为x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎4‎=1,故选B.‎ ‎9.‎ B　可设F'为椭圆的左焦点,连接AF',BF',‎ 根据椭圆的对称性可得四边形AFBF'是平行四边形,∴6=|AF|+|BF|=|AF'|+|BF|=2a,‎ ‎∴a=3,取M(0,b),∵点M到直线l的距离不小于‎8‎‎5‎,∴‎|4b|‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎≥‎8‎‎5‎,‎ 解得b≥2,e2=‎9-‎b‎2‎‎9‎≤‎5‎‎9‎∴e≤‎5‎‎3‎,∴椭圆E的离心率的取值范围是0,‎5‎‎3‎,故选B.‎ ‎10.y=‎7‎‎6‎‎16‎x-‎27‎‎6‎‎32‎　根据椭圆方程及椭圆中a,b,c的关系,可得F2(1,0).‎ 设B(x1,y1),C(x2,y2),因为F‎2‎A+F‎2‎B+F‎2‎C=0,代入坐标得 ‎-‎1‎‎3‎,‎2‎‎6‎‎3‎+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).‎ 又因为B,C在椭圆上,‎ 所以‎-‎1‎‎3‎+x‎2‎+x‎1‎-2=0,①‎‎2‎‎6‎‎3‎‎+y‎2‎+y‎1‎=0,②‎x‎1‎‎2‎‎4‎‎+y‎1‎‎2‎‎3‎=1,③‎x‎2‎‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎‎3‎=1,④‎ 解方程组,得 设线段BC的中点是(x0,y0),则由①②得x0=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=‎7‎‎6‎,y0=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=-‎6‎‎3‎,由③-④,得x‎1‎‎2‎‎-‎x‎2‎‎2‎‎4‎+y‎1‎‎2‎‎-‎y‎2‎‎2‎‎3‎=0,则y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=-‎3(x‎1‎+x‎2‎)‎‎4(y‎1‎+y‎2‎)‎=-‎3‎‎4‎×‎7‎‎3‎×‎-‎‎3‎‎2‎‎6‎=‎7‎‎6‎‎16‎.‎ 所以解得BC的方程为y=‎7‎‎6‎‎16‎x-‎27‎‎6‎‎32‎.‎ ‎11.‎4‎‎5‎‎5‎b或‎2‎‎5‎‎5‎a　不妨设椭圆P(0,b),点A的坐标为(x0,y0),则点B坐标为(-x0,-y0),‎ 则y‎0‎‎-bx‎0‎×‎-y‎0‎-b‎-‎x‎0‎=-‎1‎‎4‎,由于x‎0‎‎2‎a‎2‎+y‎0‎‎2‎b‎2‎=1,则-b‎2‎a‎2‎=-‎1‎‎4‎,则ba=‎1‎‎2‎,‎ 不妨设M(a,0),直线QM方程为bx-ay-ab=0,‎ 则P到直线QM的距离为d=‎|2ab|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎2b‎1+(ba)‎‎ ‎‎2‎=‎2b‎5‎‎4‎=‎4‎‎5‎‎5‎b=‎2‎‎5‎‎5‎a或ba=‎1‎‎2‎,则a=2b,所以d=‎4‎‎5‎‎5‎b.‎ ‎12.解 (1)依题意有a‎2‎‎-‎b‎2‎a‎=‎3‎‎2‎,‎‎4‎a‎2‎‎+‎1‎b‎2‎=1,‎解得a‎2‎‎=8,‎b‎2‎‎=2.‎ 故椭圆C的方程为x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=‎1‎‎2‎,‎ 又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=‎1‎‎2‎x+m.‎ 由y=‎1‎‎2‎x+m,‎x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎2‎=1,‎ 得x2+2mx+2m2-4=0.‎ 因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,‎ 所以Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0,解得-20⇒m2<6,又直线AB不过点P-1,‎1‎‎2‎,得m≠‎3‎‎2‎.‎ x1+x2=‎-4m‎3‎,x1x2=‎2m‎2‎-4‎‎3‎,|x1-x2|=‎48-8‎m‎2‎‎3‎.‎ 设点P到直线AB的距离是d,‎ 则g(m)=‎1‎‎4‎d2|AB|2‎ ‎=‎1‎‎4‎‎(m-‎3‎‎2‎)‎‎2‎‎2‎·2·‎‎48-8‎m‎2‎‎9‎ ‎=‎-2m‎4‎+6m‎3‎+‎15‎‎2‎m‎2‎-36m+27‎‎9‎,‎ f(m)=‎-2m‎4‎+‎‎15‎‎2‎m‎2‎‎9‎=‎1‎‎18‎·2m2‎15‎‎2‎-2m2≤‎1‎‎18‎·‎1‎‎4‎·‎(‎15‎‎2‎)‎‎2‎=‎25‎‎32‎当且仅当m2=‎15‎‎8‎时取等号,‎ 所以f(m)max=‎25‎‎32‎m=±‎30‎‎4‎∈-‎6‎,‎3‎‎2‎∪‎3‎‎2‎,‎6‎.‎ ‎16.解 (1)依题意得对C1中:b=1,e=‎3‎‎2‎⇒e2=‎3‎‎4‎=a‎2‎‎-‎b‎2‎a‎2‎,得C1:x‎2‎‎4‎+y2=1;‎ 同理C2:y2+x‎2‎‎1‎‎4‎=1.‎ ‎(2)设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,则MA:y=k1x+1,与椭圆方程联立得 x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎y=k‎1‎x+1‎‎⇒x2+4(k1x+1)2-4=0,得(4k‎1‎‎2‎+1)x2+8k1x=0,得xA=-‎8‎k‎1‎‎4k‎1‎‎2‎+1‎,yA=‎-4k‎1‎‎2‎+1‎‎4k‎1‎‎2‎+1‎,‎ 所以A-‎8‎k‎1‎‎4k‎1‎‎2‎+1‎,‎‎-4k‎1‎‎2‎+1‎‎4k‎1‎‎2‎+1‎ 同理可得B‎-2‎k‎2‎‎4+‎k‎2‎‎2‎,‎4-‎k‎2‎‎2‎‎4+‎k‎2‎‎2‎.所以MA=-‎8‎k‎1‎‎4k‎1‎‎2‎+1‎,‎-8‎k‎1‎‎2‎‎4k‎1‎‎2‎+1‎,MB=‎-2‎k‎2‎‎4+‎k‎2‎‎2‎,‎-2‎k‎2‎‎2‎‎4+‎k‎2‎‎2‎,‎ 从而可以求得 S=‎1‎‎2‎-‎8‎k‎1‎‎4k‎1‎‎2‎+1‎·‎-2‎k‎2‎‎2‎‎4+‎k‎2‎‎2‎-‎-2‎k‎2‎‎4+‎k‎2‎‎2‎·‎-8‎k‎1‎‎2‎‎4k‎1‎‎2‎+1‎=‎1‎‎2‎‎16k‎1‎k‎2‎(k‎2‎-k‎1‎)‎‎(4k‎1‎‎2‎+1)(4+k‎2‎‎2‎)‎,因为k1k2=-1,所以S=‎8(k‎1‎+k‎1‎‎3‎)‎‎(4k‎1‎‎2‎+1)‎‎2‎,不妨设k1>0,f(k1)=k‎1‎‎+‎k‎1‎‎3‎‎(4k‎1‎‎2‎+1)‎‎2‎,f'(k1)=‎-4k‎1‎‎4‎-9k‎1‎‎2‎+1‎‎(4k‎1‎‎2‎+1)‎‎3‎,‎ 令f'(k1)=0,∴-4k‎1‎‎4‎-9k‎1‎‎2‎+1=0,k‎1‎‎2‎=‎97‎‎-9‎‎8‎,所以当S最大时,k‎1‎‎2‎=‎97‎‎-9‎‎8‎,此时两直线MA,MB斜率的比值k‎1‎k‎2‎=-k‎1‎‎2‎=‎9-‎‎97‎‎8‎.‎