【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章第2讲　两直线的位置关系学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章第2讲　两直线的位置关系学案

第2讲　两直线的位置关系 ‎[学生用书P146]‎ ‎1．两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率都存在且分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．‎ ‎(2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．‎ ‎2．两直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．‎ 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；‎ 平行⇔方程组无解；‎ 重合⇔方程组有无数个解．‎ ‎3．三种距离 点点距 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 ‎|P1P2|＝‎ 点线距 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 线线距 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)‎ ‎(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)‎ ‎(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　)‎ ‎(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)‎ ‎(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)‎ ‎(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√‎ ‎ 过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)‎ A．x－2y－1＝0　　　　 B.x－2y＋1＝0‎ C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0‎ 解析：选A.由题意知，斜率k＝，又直线过点(1，0)，所以所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.‎ ‎ (教材习题改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)‎ A. B.2－ C.－1 D．＋1‎ 解析：选C.d＝＝1，所以|a＋1|＝.‎ 又因为a>0，所以a＝－1.‎ ‎ (教材习题改编)已知点A(5，－1)，B(m，m)，C(2，3)，若△ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m的值为(　　)‎ A．4 B.3‎ C．2 D．1‎ 解析：选D.由题意得B＝90°，‎ 即AB⊥BC，kAB·kBC＝－1，所以·＝－1.‎ 解得m＝1或m＝，故整数m的值为1，故选D.‎ ‎ 已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为________．‎ 解析：因为l1与l2：x＋y－1＝0平行，所以可设l1的方程为x＋y＋b＝0(b≠－1)．‎ 又因为l1与l2的距离是，所以＝，‎ 解得b＝1或b＝－3，‎ 即l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.‎ 答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0‎ ‎ (教材习题改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________．‎ 解析：由题意知(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，‎ 整理得a2－a＝0，即a＝0或1.‎ 答案：0或1‎ ‎　　　　　　两条直线的位置关系[学生用书P147]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)‎ A．－10　　　　　　　　 B.－2‎ C．0 D．8‎ ‎(2)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使 ‎①l1与l2相交于点P(m，－1)；‎ ‎②l1∥l2；‎ ‎③l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.‎ ‎【解】　(1)选A.因为l1∥l2，所以＝－2(m≠－2)，‎ 解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)．‎ 因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，即n＝－2.‎ 所以m＋n＝－10.‎ ‎(2)①由题意得 解得m＝1，n＝7.‎ 即m＝1，n＝7时，‎ l1与l2相交于点P(m，－1)．‎ ‎②因为l1∥l2，‎ 所以 解得或 即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.‎ ‎③当且仅当2m＋8m＝0，‎ 即m＝0时，l1⊥l2.‎ 又－＝－1，所以n＝8.‎ 即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，‎ 且l1在y轴上的截距为－1.‎ ‎(1)已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 ‎①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；‎ ‎②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.‎ ‎[注意]　当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．‎ ‎(2)由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)‎ l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)‎ l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0‎ l1与l2平行 的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0)‎ l1与l2相交 的充分条件 ≠(A2B2≠0)‎ l1与l2重合 的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0)‎ ‎[注意]　在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．若直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．‎ 解析：解方程组可得 所以直线2x－y＝－10与y＝x＋1的交点坐标为(－9，－8)，‎ 代入y＝ax－2，得－8＝a·(－9)－2，‎ 所以a＝.‎ 答案： ‎2．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．‎ 解析：法一：由方程组得 即P(0，2)．‎ 因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，‎ 所以直线l的方程为y－2＝－x，‎ 即4x＋3y－6＝0.‎ 法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，‎ 所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，‎ 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.‎ 因为l与l3垂直，‎ 所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，‎ 所以λ＝11，‎ 所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，‎ 即4x＋3y－6＝0.‎ 答案：4x＋3y－6＝0‎ ‎3．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．‎ ‎(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；‎ ‎(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．‎ 解：(1)因为l1⊥l2，‎ 所以a(a－1)－b＝0.‎ 又因为直线l1过点(－3，－1)，‎ 所以－3a＋b＋4＝0.‎ 故a＝2，b＝2.‎ ‎(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，‎ 所以直线l1的斜率存在．‎ 所以＝1－a.①‎ 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，‎ 所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②‎ 联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ ‎　　　　　　距离问题[学生用书P147]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D． ‎(2)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为________．‎ ‎【解析】　(1)因为＝≠，所以两直线平行，‎ 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，‎ 所以|PQ|的最小值为.‎ ‎(2)设点P的坐标为(a，b)．‎ 因为A(4，－3)，B(2，－1)，‎ 所以线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．‎ 而AB的斜率kAB＝＝－1，‎ 所以线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，‎ 即x－y－5＝0.‎ 因为点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，‎ 所以a－b－5＝0.①‎ 又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，‎ 所以＝2，‎ 即4a＋3b－2＝±10，②‎ 由①②联立可得或 所以所求点P的坐标为(1，－4)或.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)(1，－4)或 处理距离问题的2大策略 ‎(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．‎ ‎(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．‎ ‎[注意]　利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知P是直线2x－3y＋6＝0上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(－1，1)，若|PO|＝|PA|，则P点的坐标为________．‎ 解析：法一：设P(a，b)，则 解得a＝3，b＝4.所以P点的坐标为(3，4)．‎ 法二：线段OA的中垂线方程为x－y＋1＝0，‎ 则由解得则P点的坐标为(3，4)．‎ 答案：(3，4)‎ ‎2．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围为________．‎ 解析：由题意得，点P到直线的距离为 ＝.‎ 又≤3，即|15－3a|≤15，‎ 解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．‎ 答案：[0，10]‎ ‎　　　　　　对称问题(高频考点)‎ ‎[学生用书P148]‎ 对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．主要命题角度有：‎ ‎(1)点关于点对称；‎ ‎(2)点关于线对称；‎ ‎(3)线关于线对称．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　点关于点对称 ‎ 过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．‎ ‎【解析】　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－‎ a，2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，‎ 解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，‎ 所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.‎ ‎【答案】　x＋4y－4＝0‎ ‎ 角度二　点关于线对称 ‎ 如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)‎ A．2　　　　　　　 B.6‎ C．3 D．2 ‎【解析】　易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A2(－2，0)两间的距离．于是|A1A2|＝＝2.‎ ‎【答案】　A ‎ 角度三　线关于线对称 ‎ 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　)‎ A．x－2y＋3＝0 B.x－2y－3＝0‎ C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0‎ ‎【解析】　设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，‎ 由得 由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，‎ 所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.‎ ‎【答案】　A ‎(1)中心对称问题的2个类型及求解方法 ‎①点关于点对称：‎ 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．‎ ‎②直线关于点的对称，主要求解方法：‎ ‎〈1〉在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；‎ ‎〈2〉求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．‎ ‎(2)轴对称问题的2个类型及求解方法 ‎①点关于直线的对称：‎ 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，‎ 由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．‎ ‎②直线关于直线的对称：‎ 一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为________．‎ 解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点，‎ 则A′(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，‎ 即3x－4(－y)＋5＝0，故所求直线方程为3x＋4y＋5＝0.‎ 答案：3x＋4y＋5＝0‎ ‎2．已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________．‎ 解析：由题意得线段AB的中点在直线y＝kx＋b上，故解得k＝－，b＝，所以直线方程为y＝－x＋.令y＝0，即－x＋＝0，解得x＝，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为.‎ 答案： ‎3．已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．‎ 解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，‎ 则反射光线所在直线过点M′，解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.‎ 答案：6x－y－6＝0‎ ‎ 两直线位置关系的判断与求解 两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．‎ ‎ 解决对称问题的方法 ‎(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．‎ ‎(2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可以解决问题．‎ ‎(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上．‎ ‎ 解决距离问题应关注以下两点 ‎(1)在解题过程中，点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式．‎ ‎(2)在两平行直线的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数要对应相等． ‎ ‎[学生用书P311(单独成册)]‎ ‎1．已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 B.充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎2．当00，‎ 故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．‎ ‎3．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点(　　)‎ A．(0，4) B.(0，2)‎ C．(－2，4) D．(4，－2)‎ 解析：选B.由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，所以直线l2恒过定点(0，2)．‎ ‎4．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)‎ A. B.4 C. D．2 解析：选C.因为l1∥l2，所以＝≠，解得a＝－1，所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2的距离d＝＝.‎ ‎5．光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有(　　)‎ A．a＝，b＝6 B.a＝－，b＝－6‎ C．a＝3，b＝－ D．a＝－3，b＝ 解析：选B.在直线y＝－3x＋b上任意取一点A(1，b－3)，则点A关于直线x＋y＝0的对称点B(－b＋3，－1)在直线y＝ax＋2上，故有－1＝a(－b＋3)＋2，即－1＝－ab＋3a＋2，‎ 所以ab＝3a＋3，‎ 结合所给的选项，只有B项符合，故选B.‎ ‎6．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．‎ 解析：由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1，1)．‎ 又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x＝1的对称点为(3，0)，‎ 所以由直线方程的两点式，得＝，即x＋2y－3＝0.‎ 答案：x＋2y－3＝0‎ ‎7．以点A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．‎ 解析：因为kAB＝＝－，‎ kDC＝＝－.‎ kAD＝＝，kBC＝＝.‎ 则kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四边形ABCD为平行四边形．‎ 又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，‎ 故四边形ABCD为矩形．‎ 故S＝|AB|·|AD|＝×＝25.‎ 答案：25‎ ‎8．已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________．‎ 解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－，‎ 所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.‎ 答案：x＋2y－3＝0‎ ‎9．已知点P(2，－1)．‎ ‎(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；‎ ‎(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？‎ ‎(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，‎ 此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.‎ 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，‎ 即kx－y－2k－1＝0.‎ 由已知得＝2，‎ 解得k＝.‎ 此时l的方程为3x－4y－10＝0.‎ 综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.‎ ‎(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．‎ 由l⊥OP，得klkOP＝－1，‎ 所以kl＝－＝2.‎ 由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，‎ 即2x－y－5＝0.‎ 所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，‎ 最大距离为＝.‎ ‎(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．‎ ‎10．正方形的中心为点C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．‎ 解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝.‎ 设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，‎ 则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离 d＝＝，‎ 解得m＝－5(舍去)或m＝7，‎ 所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.‎ 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，‎ 则点C到直线3x－y＋n＝0的距离 d＝＝，‎ 解得n＝－3或n＝9，‎ 所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.‎ ‎1．已知定点A(1，0)，点B在直线x－y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选A.因为定点A(1，0)，点B在直线x－y＝0上运动，所以当线段AB最短时，直线AB和直线x－y＝0垂直，AB的方程为y＋x－1＝0，与x－y＝0联立解得x＝，y＝，所以点B的坐标是.‎ ‎2．在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为(　　)‎ A. B. C．5 D．10‎ 解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，‎ 因为过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，所以M位于以PQ为直径的圆上，‎ 因为|PQ|＝＝，‎ 所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10，故选D.‎ ‎3.‎ 如图，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．‎ 解析：从特殊位置考虑．如图，‎ 因为点A(－2，0)关于直线BC：‎ x＋y＝2的对称点为A1(2，4)，所以kA1F＝4.又点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．‎ 答案：(4，＋∞)‎ ‎4．在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．‎ 解析：设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．因为kAC＝＝2，‎ 所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，‎ 即2x－y＝0.①‎ 又因为kBD＝＝－1，‎ 所以直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，‎ 即x＋y－6＝0.②‎ 联立①②解得所以M(2，4)．‎ 答案：(2，4)‎ ‎5．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．‎ 解：依题意知：kAC＝－2，A(5，1)，‎ 所以lAC的方程为2x＋y－11＝0，‎ 联立得C(4，3)．‎ 设B(x0，y0)，则AB的中点M，‎ 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，‎ 联立得B(－1，－3)，‎ 所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.‎ ‎6．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：‎ ‎①点P在第一象限；‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．‎ 解：(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，‎ 所以＝，‎ 即＝，‎ 又a>0，解得a＝3.‎ ‎(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，‎ 且＝×，‎ 即c＝或，‎ 所以直线l′的方程为2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；‎ 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，‎ 有＝×，‎ 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，‎ 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；‎ 由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．‎ 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，‎ 解得(舍去)；‎ 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，‎ 解得 所以存在点P同时满足三个条件．‎