2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6

2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6

6.2.1 　向量的加法运算 课标阐释 思维脉络 1 . 理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义 . ( 数学抽象、直观想象 ) 2 . 掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则 , 会进行向量的加法运算 . ( 数学抽象、数学运算 ) 3 . 掌握向量加法的交换律和结合律 , 会用它们进行计算 . ( 数学运算、逻辑推理 ) 激趣诱思 知识点拨 我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、向量的加法及其运算法则 1 . 向量加法的定义 : 求两个向量 和 的运算 , 叫做向量的加法 , 两个向量的和仍然是一个 向量 . 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 4 . 三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀 : (1) 三角形法则 : 作平移 , 首尾连 , 由起点指终点 ; (2) 平行四边形法则 : 作平移 , 共起点 , 四边形 , 对角线 . 5 . 规定 : 对于零向量与任意向量 a , 规定 : a + 0 = 0 + a = a . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与实质 区别有两个 :(1) 三角形法则中强调 “ 首尾相接 ”, 平行四边形法则中强调的是 “ 共起点 ”;(2) 三角形法则适用于所有的两个非零向量求和 , 而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和 . 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 , 当两个向量不共线时 , 两种加法法则在本质上是一致的 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 当向量 a , b 是两个非零的共线向量时 , 如何求两个向量的和向量 ? 提示 : 当向量 a , b 是共线向量时 , 不能用平行四边形法则作出两个向量的和向量 , 但可以用三角形法则作出两个向量的和向量 , 分两向量同向和反向两种情形 : ① 同向 激趣诱思 知识点拨 ② 反向 激趣诱思 知识点拨 微练习 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打“ √ ” , 错误的打“ ×” . (1) 对于任意两个向量 , 都可利用平行四边形法则求出它们的和 向 量 . ( 　　 ) (2) 如果 a , b 是共线的非零向量 , 那么 a + b 的方向必与 a , b 之一的方向相同 . ( 　　 ) (3) 若 a + b = 0 , 则 a = 0 且 b = 0 . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2)× 　 (3)× 激趣诱思 知识点拨 知识点二、向量加法的运算律 1 . 向量加法的交换律 : a + b = b + a . 2 . 向量加法的结合律 : a+ ( b+c ) = ( a+b ) +c . 微 练习 激趣诱思 知识点拨 知识点三、 | a + b | 与 | a | , | b | 之间的关系 对任意两个向量 a , b , 有 | a+b | ≤ | a |+| b | , 当且仅当 a , b 方向相同时等号成立 . 微练习 解析 : 根据公式 | a + b | ≤ | a |+| b | 直接计算可得 . 答案 : 13 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 已知向量作和向量 例 1 如图 , 已知向量 a , b , c 不共线 , 作向量 a + b + c . 分析 利用三角形法则 或平行四边形法则 → 先作出两个 向量 的和向量 → 再作出三个 向量 的和向量 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求作和向量的方法 (1) 利用三角形法则 . 在平面内任取一点 , 以该点为始点 , 将两向量平移到首尾相接 , 从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和 . 一定要注意首尾相接 . (2) 利用平行四边形法则 . 在平面内任取一点 , 从此点出发分别作两个向量等于已知向量 , 以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形 , 以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量加法运算或化 简 分析 根据向量加法的交换律变为首尾相接的向量 , 然后利用结合律求解 . 反思感悟 解决 向量加法运算时应关注两点 (1) 可以利用向量的几何表示 , 画出图形进行化简或计算 . (2) 要灵活运用向量加法运算律 , 注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序 , 特别注意勿将 0 写成 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 如图 , 四边形 ABDC 为等腰梯形 , AB ∥ CD , AC=BD , CD= 2 AB , E 为 CD 的中点 . 试求 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用向量加法法则解决实际问题 例 3 在某地抗震救灾中 , 一架飞机从 A 地按北偏东 35° 的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员 , 然后又从 B 地按南偏东 55° 的方向飞行 800 km 送往 C 地医院 , 求这架飞机飞行的路程及两次位移的和 . 分析 解答本题先正确画出方位图 , 再根据图形借助于向量求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 向量加法应用的关键及技巧 (1) 三个关键 : 一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系 ; 二是熟练找出图形中的相等向量 ; 三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量 . (2) 应用技巧 : ① 准确画出几何图形 , 将几何图形中的边转化为向量 ; ② 将所求问题转化为向量的加法运算 , 进而利用向量加法的几何意义进行求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例中 , 这架飞机到达 C 地医院后 , 往正南方向飞行多大距离即可由此按正西方向飞回 A 地 ? 解 : 如图 , 由点 C 作垂线 , 垂足为 D , 因为 ∠ BAC= 45°, 所以 ∠ CAD= 90° - 35° - 45° = 10°, 在 Rt △ ACD 中 , CD=AC sin 10° = 800 sin 10°(km) . 即往正南方向飞行 800 sin 10° km, 即可由此按正西方向飞回 A 地 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 (1) 本题主要考查向量加法的多边形法则和零向量 . 由于正 n 边形绕圆心 O 旋转 角度 时 , 虽然各向量方向都改变了 , 但模没有改变 , 正 n 边形的位置不变 , 其和向量也没有改变 , 由此判断和向量为 0 . (2) 零向量的方向是任意的 , 且零向量的模为 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 若向量 a 表示向东北方向走 5 km, 向量 b 表示向西北方向走 5 km, 则向量 a + b 表示 ( 　　 ) A. 向正北方向走 5 km B. 向正北方向走 5 km C. 向正南方向走 5 km D. 向正南方向走 5 km 解析 : 由向量加法的平行四边形法则可知 , 向量 a + b 表示向正北方向走 5 km . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 下列等式错误的是 ( 　　 ) A. a + 0 = 0 + a = a 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : 1 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 如图 , 在 △ ABC 中 , D , E 分别是 AB , AC 上的点 , F 为线段 DE 延长线上一点 , DE ∥ BC , AB ∥ CF , 连接 CD , 那么 ( 在横线上只填上一个向量 ): 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 如图所示 , 设 O 为正六边形 ABCDEF 的中心 , 化简下列各式 :