2016年高考试题——数学理（山东卷）原卷版
绝密★启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后，将将本试卷和
答题卡一并交回.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡
和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.
3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能
写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正
带.不按以上要求作答的答案无效.
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件 A,B 独立，那么 P(AB)=P(A)·P(B).
第Ⅰ卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
（1）若复数 z 满足 其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）
（A）1+2i （B）1 2i （C） （D）
（2）设集合 则 =（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中
自习时间的范围是[17 .5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，
2 3 2i,z z
1 2i 1 2i
2{ | 2 , }, { | 1 0},xA y y x B x x R A B
( 1,1) (0,1) ( 1, ) (0, )
30).根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ）
（A）56 （B）60 （C）120 （D）140
（4）若变量 x，y 满足 则 的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2,
2 3 9,
0,
x y
x y
x
2 2x y+
1 2
3 3 π 1 2
3 3 π 1 2
3 6 π 21 6 π
（6）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的
（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）函数 f（x）=（ sin x+cos x）（ cos x –sin x）的最小正周期是（ ）
（A） （B）π （C） （D）2π
（8）已知非零向量 m，n 满足 4│m│=3│n│，cos
= .若 n⊥（tm+n），则实数 t 的值为（ ）
（A）4 （B）–4 （C） （D）–
（9）已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时， ；当 时， ；当
时， .则 f(6)= （ ）
（A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2
（10）若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 具有
T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（共 100 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
（11）执行右边的程序框图，若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为________.
3 3
2
π
2
3π
1
3
9
4
9
4
3( ) 1f x x 1 1x ( ) ( )f x f x 1
2x
1 1( ) ( )2 2f x f x
( )y f x ( )y f x
siny x lny x exy 3y x
（12）若（ax2+ ）5 的展开式中 x5 的系数是—80，则实数 a=_______.
（13）已知双曲线 E： （a＞0，b＞0），若矩形 ABCD 的四个顶 点在 E 上，AB，CD 的中点为
E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______.
（14）在 上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 相交”发生的概率为 .
（15）已知函数 其中 ，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三
个不同的根，则 m 的取值范围是________________.
三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分.
（16）（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 [来源:学§科§网]
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求 cosC 的最小值.
（17）（本小题满分 12 分）
在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O 的直径，FB 是圆台的一条母线.
（I）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC；
（II）已知 EF=FB= AC= ，AB=BC.求二面角 的余弦值.
1
x
2 2
2 2 1x y
a b
[ 1,1]- 2 2( 5) 9x y- + =
2
| |,( )
2 4 ,
x x mf x
x mx m x m
0m
tan tan2(tan tan ) .cos cos
A BA B B A
'
1
2 2 3 F BC A
（18）（本小题满分 12 分）
已知数列 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， 是等差数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 求数列 的前 n 项和 Tn.
（19）（本小题满分 12 分）
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都
猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对， 则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0
分.已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果
亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对 3 个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX.
(20) (本小题满分 13 分)
已知 .
（I） 讨论 的单调性；
（II）当 时，证明 对于任意的 成立.
（21）（本小题满分 14 分）
平面直角坐标系 中，椭圆 C： 的离心率是 ，抛物线 E： 的焦点 F
是 C 的一个顶点.
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 与 C 交与不同的两点 A，B，线段 AB 的中
点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.
na nb 1.n n na b b
nb
1( 1) .( 2)
n
n
n n
n
ac b
nc
3
4
2
3
2
2 1( ) ln , Rxf x a x x ax
( )f x
1a 3( ) ' 2f x f x ＞ 1,2x
xOy
2 2
2 2 1 0x y a ba b ＞ ＞ 3
2
2 2x y
l
（i）求证：点 M 在定直线上;
（ii）直线 与 y 轴交于点 G，记 的面积为 ， 的面积为 ，求
的最大值及取得最大
值时点 P 的坐标.
l PFG△ 1S PDM△ 2S 1
2
S
S