【数学】2020届一轮复习苏教版三角函数的图象与性质学案
§4.3 三角函数的图象与性质
考情考向分析 以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有填空题，又有解答题，中档难度．
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R，且x≠kπ＋}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
概念方法微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．思考函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？
提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( × )
(2)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．( × )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( × )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(5)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
题组二 教材改编
2．[P44T1]函数f(x)＝cos的最小正周期是________．
答案 π
3．[P45T4]y＝3sin在区间上的值域是________．
答案
解析 当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即y＝3sin的值域为.
4．[P33例4]函数y＝tan的定义域为________．
答案
题组三 易错自纠
5．函数y＝tan的图象的对称中心是________．
答案 ，k∈Z
解析 由x＋＝，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，
所以对称中心是，k∈Z.
6．函数f(x)＝4sin的单调递减区间是______________________．
答案 (k∈Z)
解析 f(x)＝4sin＝－4sin.
所以要求f(x)的单调递减区间，
只需求y＝4sin的单调递增区间．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________________．
答案 sin 68°>cos 23°>cos 97°
解析 sin 68°＝cos 22°，
又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，
∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.
题型一 三角函数的定义域
1．函数f(x)＝－2tan的定义域是____________．
答案
解析 由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)．
2．函数y＝的定义域为________________．
答案 (k∈Z)
解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．
所以定义域为.
3．函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为________．
答案
解析 要使函数有意义，则
即
解得
所以2kπ
0)的最小正周期为4，则ω＝________.
答案
解析 f(x)＝cos(ω>0)，
由周期计算公式，可得T＝＝4，解得ω＝.
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx－ωπ)(ω>0)的最小正周期为π，则f ＝________.
答案
解析 ∵T＝π，∴ω＝＝＝2，
∴f(x)＝sin＝sin 2x，
∴f ＝sin ＝.
(3)(2018·无锡市梅材高中期中)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)，ω>0,0<φ<π为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴的距离为，则f的值为________．
答案
解析 因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin为偶函数，
所以φ－＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，可得φ＝，
根据其图象的两条相邻对称轴间的距离为，
可得·＝，所以w＝2，
所以f(x)＝2sin＝2cos 2x，
所以f ＝2cos＝2cos＝.
思维升华 (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．
(2)求三角函数周期的方法
①利用周期函数的定义．
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f 成立，则f(x)图象的对称中心是________________．
答案 ，k∈Z
解析 由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，
得ω＝.
因为f(x)≤f 恒成立，
所以f(x)max＝f ，
即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)若直线x＝π和x＝π是函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ＝______________.
答案 kπ－π，k∈Z
解析 由题意，函数的周期T＝2×＝2π，∴ω＝＝1，∴y＝cos(x＋φ)，当x＝π时，函数取得最大值或最小值，即cos＝±1，可得π＋φ＝kπ，k∈Z，
∴φ＝kπ－π，k∈Z.
题型四 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间
例3 (1)若点P(1，－1)在角φ(－π<φ<0)终边上，则函数y＝3cos(x＋φ)，x∈[0，π]的单调递减区间为________．
答案
解析 因为点P(1，－1)在角φ(－π<φ<0)终边上，
所以tan φ＝－1，φ＝－，
即函数为y＝3cos，
令00，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
答案
解析 由0，得＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
引申探究
本例中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是_______．
答案
解析 函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则k∈Z，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为________________．
答案 (k∈Z)
解析 函数的解析式可化为f(x)＝－2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)(2018·盐城模拟)若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
又∵函数g(x)在区间和上均单调递增，
∴解得≤a<.
三角函数的图象与性质
纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．
例 (1)(2018·连云港市灌南华侨高级中学月考)为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值，则ω的最小值为________．
答案 π
解析 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值，
则49×T≤1，即×≤1.
解得ω≥π，所以ω的最小值为π.
(2)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是________．(填序号)
①f(x)的一个周期为－2π；
②y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；
③f(x＋π)的一个零点为x＝；
④f(x)在上单调递减．
答案 ①②③
解析 ①中，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，①正确；
②中，因为f(x)＝cos的图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，②正确；
③中，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，
所以f(x＋π)的一个零点为x＝，③正确；
④中，因为f(x)＝cos的单调递减区间为(k∈Z)，
单调递增区间为(k∈Z)，
所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，④错误．故正确的结论是①②③.
(3)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为____________．
答案 ，k∈Z
解析 由图象知，周期T＝2×＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，
得2k－0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f ＝f ＝－f ，则f(x)的最小正周期为________．
答案 π
解析 记f(x)的最小正周期为T.
由题意知≥－＝，
又f ＝f ＝－f ，且－＝，
可作出示意图如图所示(一种情况)：
∴x1＝×＝，
x2＝×＝，
∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.
1．若函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f 的值是________．
答案
解析 由题意，得＝π，
所以ω＝2，f(x)＝sin.
因此f ＝sin＝sin ＝.
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
答案 －
解析 由已知x∈，
得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
3．若函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则实数a的取值范围是________．
答案 (－π，0]
解析 因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
所以只有当－π0，
当x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)的单调增区间为.
5．函数y＝cos2x－2sin x的最小值为________．
答案 －2
解析 y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymin＝－2.
6．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
答案 2
解析 |x1－x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，
又T＝4，∴|x1－x2|的最小值为2.
7．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的对称中心是_______．
答案 (k∈Z)
解析 函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(0)＝2sin φ＝，
∴sin φ＝，又|φ|<，∴φ＝，
则f(x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，
则x＝－(k∈Z)，
∴函数f(x)图象的对称中心是(k∈Z)．
8．已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
答案
解析 由函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)图象的一条对称轴为x＝π，
可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
∴ω＝k＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，
∴函数f(x)的最小正周期为＝.
9．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对任意x∈R恒成立，且f >0，则f(x)的单调递减区间是________________．
答案 (k∈Z)
解析 由题意可得函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，故有2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z.
又f ＝sin>0，所以φ＝2nπ，n∈Z，所以f(x)＝sin(2x＋2nπ)＝sin 2x.
令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
答案 ④
解析 函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
解 (1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin(ω>0)，且T＝π，
∴ω＝2，f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
因为x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，
令k＝0，得f(x)在上的单调递减区间为.
13．定义运算：a*b＝例如1*2=1，则函数f(x)=sin x*cos x的值域为 .
答案
解析 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，
设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sin x≥cos x，此时f(x)＝cos x，f(x)∈，
当0≤x<或sin x，此时f(x)＝sin x，f(x)∈∪[－1,0]．
综上知f(x)的值域为.
14．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f(x)>1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是________．
答案
解析 由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.∵f(x)的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，
∴f(x)的周期T＝，∴＝，解得ω＝3，∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.
∵f(x)>1对任意x∈恒成立，
∴2cos(3x＋φ)＋1>1，即cos(3x＋φ)>0对任意x∈恒成立，
∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，
即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.
结合|φ|<，可得当k＝0时，φ的取值范围为.
15．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f ≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案 [0，＋∞)
解析 f(x)＝cos(2x＋θ)，
当x∈时，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，
由函数f(x)在上是增函数得
k∈Z，
则2kπ－≤θ≤2kπ＋(k∈Z)．
又0≤θ≤，
∴0≤θ≤，
∵f ＝cos，又≤θ＋≤，
∴f max＝0，
∴m≥0.
16．设函数f(x)＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝f(x)的图象过点(π，0)，求函数f(x)在上的值域．
解 (1)由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，
可得sin＝±1，
∴2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
即ω＝＋(k∈Z)．
又0<ω<，
∴ω＝，
∴函数f(x)的最小正周期为3π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋m，
∵f(π)＝0，
∴2sin＋m＝0，
∴m＝－2，
∴f(x)＝2sin－2，
当0≤x≤时，－≤x－≤，
－≤sin≤1.
∴－3≤f(x)≤0，
故函数f(x)在上的值域为[－3，0].
