2012年数学湖南省高考压轴卷
2012年湖南省高考压轴卷
一、选择题
1、已知，直线l：与曲线C：有两个不同的交点，设直线l与曲线C围成的封闭区域为P，在区域M内随机取一点A，点A落在区域P内的概率为，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2、已知集合A={x∈R|x<5-}，B={1，2，3，4)，则(CRA)B=( )
A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{4}
3、（ ）
A. B. C. D.
4、设f(x)=,则的值为( )
A． B． C． D．
5、一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下(单位cm)，
则该三棱柱的表面积为( )
A．(24+8)cm2 B．24cm2 C．cm2 D．cm2
6、下列四个命题中，正确的是( )
A．已知服从正态分布N(0，2)，且P(-2≤≤0)=0.4，则P（>2）=0.2
B．设回归直线方程为y=2-2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位
C．已知命题p：x∈R，tanx=1；命题q：x∈R，x2-x+1>0．则命题“p﹁q”是假命题
D．已知直线l1：ax+3y-1=0,l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是 =-3
7、给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是
第一个数是1，
第二个数比第一个数大1，
第三个数比第二个数大2，
第四个数比第三个数大3，……
以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题
的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行
框②处应分别填入( )
A．i≤30?；p=p+i-1
B．i≤29?；p=p+i+1
C．i≤31?：p=p+i
D．i≤30?；p=p+i
8、已知定义在上的奇函数满足，且在上递增， 记,，
，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9、若，则的最小值为 .
10、 如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连结BC与圆0交于F，
若∠CFE=()，则∠DEB___________
11、i是虚数单位，的共轭复数是________
12、若实数x，y满足，则s=y-x的最小值为________
13、已知()n展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为________
14、已知数列{an}的前n项和Sn=n2-7n，且满足16
0,0<)的最小正周期为，且f.
(1)求的值；
(2)若f
20、 在直三棱柱中，=2 ,.点分别是 ,的中点，是棱上的动点.
（1）求证：平面；
(2)若//平面，试确定点的位置，
并给出证明；
(3)求二面角的余弦值.
21、
已知函数.
（I） 若，且存在单调递减区间，求的取值范围；
（II）若函数的图像与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：．
22、
过点作曲线的切线，切点为，过作轴的垂线交轴于点，又过作曲线C的切线，切点为，过作轴的垂线交轴于点，…，依次下去得到一系列点，…，设点的横坐标为。
（1）求数列的通项公式；
（2）① 求和；
② 求证：。
以下是答案
一、选择题
1、 B
2、 D
3、 B
4、 C
5、 A
6、 C
7、 D
8、 A
二、填空题
9、
10、a
11、-1-i
12、-6
13、
14、8
15、3645
16、
三、解答题
17、解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．
(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为=2.3．
(2)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
(3)从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”
为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．
ξ的可能取值为0，1，2．
P(ξ=0)= P(ξ=1)=P(A)+P(B)=
P(ξ=2)=P(C)=
ξ的分布列如下：
那么ξ的数学期望为．
答：合唱团学生参加活动的人均次数为2．3：他们参加活动次数恰好相等的概率为的数学期望Eξ=.
18、解：（1）由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2，令y=0得，即，则F1（-1，0），F2（1，0），故c=1，所以，
故椭圆C1的方程为；
（2）设N（），由于知直线PQ的方程为：，
即，代入椭圆方程整理，得，
=，
, ，故
，设点M到直线PQ的距离为d，则，
所以的面积S
，当时取等号，经检验此时，满足题意，综上可知的面积的最大值为。
19、(1)由函数的周期为π，可知，所以w=2
又由f
又
(2)(方法一)由f（
因为α
又sin
所以
(方法二)由f
因为α∈(0,π),所以α+
又sin
所以cosα=cos
所以cos2α=2cos2α-1=
20、(1) 证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点，
∴
,,
∴⊥平面
平面
∴，即
又
∴平面
（2）当是棱的中点时，//平面.
证明如下:
连结,取的中点H，连接,
则为的中位线
∴∥，
∵由已知条件，为正方形
∴∥，
∵为的中点，
∴
∴∥，且
∴四边形为平行四边形
∴∥
又 ∵
∴//平面
(3) ∵ 直三棱柱且
依题意，如图：以为原点建立空间直角坐标系，
,,,,
则，
设平面的法向量，
则,即，
令，有
又平面的法向量为，
==，
设二面角的平面角为，且为锐角
．
21、.
解：（I）当时，
则
因为函数存在单调递减区间，所以<0有解.
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，若ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则需△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1
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