2020届湖北省部分重点中学高三（上）期末试卷数学（理科）

2020届湖北省部分重点中学高三（上）期末试卷数学（理科）

‎2019-2020学年湖北省部分重点中学高三（上）期末 数学试卷（理科）‎ 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. i2020=（　　）‎ A. 1 B. -1 C. i D. -i 2. 已知集合A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（　　）‎ A. （1，4） B. （2，4） C. （1，2） D. （1，+∞）‎ 3. 若a=ln2，，的大小关系为（　　）‎ A. b＜c＜a B. b＜a＜c C. a＜b＜c D. c＜b＜a 4. 当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（　　）‎ A. x3＜3x＜log3x B. 3x＜x3＜log3 x C. log3 x＜x3＜3x D. log3 x＜3x＜x3‎ 5. 已知cos（-α）=2cos（π+α），且tan（α+β）=，则tanβ的值为（　　）‎ A. -7 B. 7 C. 1 D. -1‎ 6. 将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 设向量=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0），其中 O 为坐标原点，a＞0，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则+的最小值为（　　）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 9‎ 8. 若数列{an}满足-=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（　　）‎ A. 10 B. 20 C. 30 D. 40‎ 9. 设函数f（x）=x2+2cosx，x∈[-1，1]，则不等式f（x-1）＞f（2x）的解集为（　　）‎ A. （-1，） B. [0，） C. （] D. [0，]‎ 10. 设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知变量x1，x2∈（0，m）（m＞0），且x1＜x2，若x1＜x2恒成立，则m的最大值为（　　）‎ A. e B. C. D. 1‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 3. 已知数列{an}满足a1=1，前n项和未sn，且sn=2an（n≥2，n∈N*），则{an}的通项公式an=______．‎ 4. 已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为______．‎ 5. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a=2sin18°，若a2+b=4，则=______．‎ 6. 如图，已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且=3，则双曲线的离心率为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 7. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足． （1）求A． （2）若△ABC的面积，求△ABC的周长． ‎ 8. 棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn． （1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望； （2）证明：; （3）求P99，P100的值． ‎ 1. 如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4 （1）求证：B1O⊥平面AEO （2）求二面角B1-AE-O的余弦值． ‎ ‎ ‎ 2. 椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2-． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ=1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由． ‎ 3. 已知函数f（x）=excosx-xsinx，g（x）=sinx-ex，其中e为自然对数的底数． （1）∀x1∈[-，0]，∃x2∈[0，]，使得不等式f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数m的取值范围； （2）若x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0． ‎ 4. 在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ． （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）直线l与曲线C交于A、B两点，点P（1，2），求|PA|+|PB|的值．‎ ‎ ‎ 1. 已知函数f（x）=|2x+1|+|x-4|． （1）解不等式f（x）≤6； （2）若不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，求实数a的取值范围． ‎ 答案 ‎1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】B 9.【答案】B 10.【答案】A 11.【答案】A 12.【答案】A 13.【答案】 14.【答案】16π 15.【答案】 16.【答案】 17.【答案】解：（1）， 由正弦定理可得：，∴， ∴，且A∈（0，π）， ∴， （2）， ∴bc=12， 又a2=b2+c2-2bcosA，∴9=（b+c）2-3bc， ∴， 即△ABC的周长为． ‎ ‎18.【答案】解：（1）解：由题意得X的可能取值为3，4，5，6， P(X=3)=()3=， P(X=4)==， P(X=5)==， P(X=6)=()3=． ∴X的分布列如下：‎ X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎∴． （2）证明：棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为， 棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为， ∴，即， ∴.． （3）解：由（2）知数列{Pn-Pn-1}（n≥1）是首项为{Pn-Pn-1}(n≥1)， ，公比为的等比数列． ∴， 由此得到， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏， 故． ‎ ‎【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，等比数列的性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于较难题． （1）由题意得X的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望． （2）棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为，从而，由此能证明. （3）数列{Pn-Pn-1}（n≥1）是首项为{Pn-Pn-1}（n≥1），，公比为的等比数列，从而，由此能求出P99，P100的值． 19.【答案】证明：（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°， 如图建立空间直角坐标系A-xyz，因为AB=AC=AA1=4， 则A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2分） =（-2，2，-4），=（2，-2，-2），=（2，2，0），（3分） •=（-2）×2+2×（-2）+（-4）×（-2）=0， ‎ ‎∴⊥，∴B1O⊥EO， =（-2）×2+2×2+（-4）×0=0，∴⊥，∴B1O⊥AO，（5分） ∵AO∩EO=O，AO，EO⊂平面AEO， ∴B1O⊥平面AEO．（6分） （2）由（1）知，平面AEO的法向量为=（-2，2，-4），（7分） 设平面 B1AE的法向量为=（x，y，z）， ， 则，令x=2，则=（2，2，-2），（10分） ∴cos＜＞===， ∴二面角B1-AE-F的余弦值为．（12分） ‎ ‎【解析】（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明B1O⊥平面AEO． （2）求出平面AEO的法向量和平面B1AE的法向量，利用向量法能求出二面角B1-AE-F的余弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得， 解得， 可得b2=a2-c2=1， 即有椭圆C的标准方程为：； （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2） （1）当l斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称， S△OPQ=|x1|•|y1|=1， 又，解得， ||2+||2=2（x12+y12）=2×（+2）=5；                  （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m， 由题意知m≠0，将其代入，得 （k2+4）x2+2kmx+m2-4=0‎ ‎， 即有， 则，O到PQ距离， 则， 解得k2+4=2m2，满足△＞0， 则， 即有||2+||2=（x12+y12）（x22+y22） = ==-3+8=5， 综上可得||2+||2为定值5． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，即可得到所求和为定值5． 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，注意讨论直线的斜率不存在，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 21.【答案】解：（1）f′（x）=excosx-exsinx-sinx-xcosx； ∵； ∴cosx≥0，sinx≤0，ex＞0； ∴excosx-exsinx-sinx-xcosx＞0； 即f′（x）＞0； ∴f（x）在上单调递增； ∴f（x）的最大值为f（0）=1； ，设h（x）=g′（x），则：； ∵； ∴； ∴h′（x）＜0； ∴h（x）在[0，]上单调递减； ∴h（x）的最大值为h（0）=； ∴h（x）＜0，即g′（x）＜0； ‎ ‎∴g（x）在[0，]上单调递减； ∴g（x）的最大值为g（0）=； 根据题意知，f（x）max≤m+g（x）max； ∴； ∴； ∴实数m的取值范围为； （2）； 设F（x）=ex-（x+1），则F′（x）=ex-1； ∴x∈（-1，0）时，F′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0； ∴F（x）在（-1，+∞）上的最小值为F（0）=0； ∴F（x）≥0； ∴ex≥x+1在x∈（-1，+∞）上恒成立； ； ∴  ①，x=0时取“=”； ∴； ==； ； ∴，该不等式和不等式①等号不能同时取到； ∴； ∴f（x）-g（x）＞0． ‎ ‎【解析】（1）根据题意便知，f（x）max≤m+g（x）max，这样可根据导数求f（x），g（x）的最大值：求导数f′（x），容易说明f′（x）＞0，从而可以得出f（x）在上单调递增，从而可求出最大值为1；同样的办法，求，可设h（x）=g′（x），再求导便可得出h（x）＜0在上恒成立，从而得出g（x）单调递减，从而可以得出最大值为g（0）=，从而便可得到1，这样便可得出实数m的取值范围； （2）先求出f（x）-g（x）=，根据导数可以证明ex≥x+1，而显然恒成立，从而有，而根据两角和的余弦公式即可说明（x+1）（cosx+）-sinx（x+1）≥0，并且可以看出这个等号和前面不等式的等号不同时取到，从而便证出f（x）-g（x）＞0． 考查根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数最大值的方法，在判断导数符号时可以两次求导，以及两角和的余弦公式，不等式的性质． 22.【答案】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数）， 由得， ∴l的普通方程为：， ∵C的极坐标方程是ρ=4cosθ， ∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x， ‎ ‎∴C的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0． （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得： ， ∴， ∴，∴t1，t2同号， ∴． ‎ ‎【解析】（1）由直线l的参数方程，能求出l的普通方程；由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程． （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得，由此能求出|PA|+|PB|的值． 本小题考查直线和曲的直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等． 23.【答案】解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为-3x+3≤6， 解得x≥-1，所以取； 当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6， 解得x≤1，所以取； 当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x-3≤6， 解得x≤3，不合题意，舍去；  综上知，不等式f（x）≤6的解集为[-1，1]． （2）由题意知，f（x）+|x-4|=|2x+1|+|2x-8|≥|（2x+1）-（2x-8）|=9， 当且仅当-≤x≤4时取等号； ​​​​​​​由不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，则a2-8a＞9， 即（a-9）（a+1）＞0，解得a＜-1或a＞9； 所以a的取值范围是（-∞，-1）∪（9，+∞）． ‎ ‎【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）≤6的解集； （2）利用绝对值不等式求出f（x）+|x-4|的最小值，问题化为关于a的不等式，求解集即可． 本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式有解的问题，是中档题． ‎