【数学】北京市平谷区2019-2020学年高二下学期期末质量监控试题

【数学】北京市平谷区2019-2020学年高二下学期期末质量监控试题

北京市平谷区2019-2020学年高二下学期期末质量监控试题 第Ⅰ卷选择题（共40分）‎ ‎—、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）‎ 1． 在复平面内，复数对应的点的坐标是 ‎2．知抛物线，那么其焦点到准线的距离是 A．2‎ B．4‎ C．6‎ D．8‎ ‎3．已知等差数列}中那么 A．17‎ B．9‎ C． 10‎ D． 24‎ ‎4，已知直线与圆相切，那么a的值为 A．3或－1‎ B． ‎ C．－3或－7‎ D． ‎ ‎5．已知函数f（x）的导函数图像如图所示，那么下列说法正确的是 A．函数f(x)在上单调递减 B．函数f（x）有三个零点 C．当x＝0时，函数f（x）取得最大值 D．当x＝0时，函数f（x）取得极大值 ‎6．已知数列的前n项和为，则 A．48‎ B． 32‎ C． 24‎ D． 8‎ ‎7．设函数，则f(x)是 A．有一个零点的增函数 B．有一个零点的减函数 C．有二个零点的增函数 D．没有零点的减函数 ‎8．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：‎ 小张说：“甲或丙团队获得一等奖"；‎ 小王说：“乙团队获得一等奖”；‎ 小李说：“丁、丙两个团队均未获得一等奖"；‎ 小赵说：“甲团队获得一等奖"．‎ 若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是 A． 甲 B．乙 C．丙 D．丁 第Ⅱ卷非选择题（共110分）‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）‎ ‎9．已知复数，那么________‎ ‎10．已知直线与直线互相垂直，那么b＝________‎ ‎11．已知双曲线的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0），那么其渐近线方程为________‎ ‎12．已知等差数列中，，等比数列中， ，那么数列的前4项和________‎ ‎13．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为________‎ ‎14．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ）‎ ‎15． （本题满分13分）‎ 已知函数 ‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在[—2，2]上的最大值和最小值．‎ ‎16． （本题满分13分）‎ 设是等差数列的前n项和，，________．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和的最值．‎ 从中任选一个，补充在上面的问题中并作答．‎ ‎（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．‎ ‎17． （本题满分13分）‎ 已知椭圆的离心率为，过点（2，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设左、右焦点分别为，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若，求直线l方程。‎ ‎18． （本题满分14分）已知函数 ‎(Ⅰ)若函数f(x)在x＝e处取得极值，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若对所有，都有f（x），求实数a的取值范围．‎ ‎19．（本题满分14分）‎ 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与 轴分别交于G、H两点，证明：为定值．‎ ‎20．（本题满分13分）‎ 定义首项为1，且公比为正数的等比数列为"M—数列”‎ ‎(Ⅰ)已知数列是单调递增的等差数列，满足，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）已知数列的前n项和为，若是和1的等差中项，证明：数列是"M－数列"；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若存在"M—数列” ，对于任意正整数k，都有成立．求此时数列公比q的最小值．‎ 参考答案 ‎ 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C B B A D ‎ C A B 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. ； 10. 2； 11. ； 12. 320； 13. 14. 40.15‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（I）因为， ……… 2分 ‎，即切线的斜率 ………4分 又因为，即切点坐标为， ……… 6分 所以曲线在点处的切线方程为.……… 7分 ‎（II）由，令， ……… 8分 ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎16‎ 所以的最大值为16，最小值为0. ………13分 ‎16．（本小题满分13分）‎ 选①补充条件.‎ 解：（I）设等差数列的公差为，‎ ‎ 由，，得，解得，‎ 所以． ……… 7分 ‎ （II）解法1：由等差数列的通项公式可知，数列是单调递增数列，且首项为1，所以前项和有最小值，无最大值，且最小值为.‎ 解法2：由数列的前项和 由二次函数图像性质可知，当时有最小值1，无最大值. ……… 13分 选②补充条件.‎ 解：（I）设等差数列的公差为，因为 ，所以 由， ‎ 所以． ………7分 ‎ （II）解法1：因为，所以等差数列是单调递减数列.‎ 令，，，所以前5项和为的最大值.‎ 即前项和的最大值为，无最小值.‎ 解法2：因为数列的前项和 由二次函数图像性质可知，当时有最大值，无最小值. ……… 13分 选③补充条件.‎ 解：（I）设等差数列的公差为，‎ ‎ 由，，得，‎ 解得，‎ 所以． ……… 7分 ‎ （II）解法1：因为，所以等差数列是单调递减数列.‎ 令，，，即当时前项和有最大值.‎ 所以前项和的最大值为，无最小值.‎ 解法2：数列的前项和 由二次函数图像性质可知，当时有最大值45，无最小值. …… 13分 ‎17. （本小题满分13分） ‎ 解：（Ⅰ），且过点.‎ ‎∴， ……… 2分 ‎∴‎ ‎∴椭圆的标准方程为：； ……… 4分 ‎（Ⅱ）当斜率不存在时，设:，‎ 得 显然不满足条件. ………6分 当斜率存在时设:，、，……… 7分 联立整理得：，‎ ‎∴， ……… 9分 因为，‎ 所以 即： ‎ 整理得 ……… 11分 带入化简：‎ ‎∴直线方程为. ……… 13分 ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（I）由得……… 2分 因为函数在处取得极值，‎ ‎ 所以， ………4分 ‎ 解得 ………5分 经检验，时，函数在处取得极大值.‎ 所以 ……… 6分 ‎（II） 因为对所有，都有，‎ 所以 ……… 8分 ‎ 设 则 ………10分 因为，所以，‎ 即在上单调递减 ………12分 所以 即 ………14分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（I）由椭圆上一点 满足.‎ 得 ……… 2分 且 ……… 3分 所以 ‎ 所以椭圆的方程为． ……… 4分 ‎（II）证明：因为，两点关于轴对称，‎ 所以设，，则， ……… 5分 得直线的方程为，‎ 令得点的横坐标，‎ 同理可得点的横坐标 . ………9分 ‎∴，……… 11分 因为，‎ ‎∴，． ……… 13分 即得：为定值． ……… 14分 ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（I）因为是等差数列，‎ 所以 ……… 1分 又因为是递增等差数列，‎ 所以 ‎ 即数列的通项公式为 ……… 3分 ‎（II）因为是和1的等差中项，‎ ‎ 所以 ……… 4分 当时， ……… 5分 当时，‎ ‎ 化简得 即数列是首项为1，公比为2的等比数列.‎ 所以数列是“M-数列”. ……… 7分 ‎（III）因为数列是 “M-数列”‎ ‎ 所以数列是首项为1，公比为正数的等比数列，设公比为，‎ 则. ……… 8分 因为对于任意正整数，都有成立，‎ 即恒成立 两边取对数得 ……… 9分 设 则 令 即 即 所以比较大小 而 所以 ……… 11分 即 因为 所以 所以数列公比的最小值为. ………13分