高考数学专题复习练习第八章 第八节 抛物线

高考数学专题复习练习第八章 第八节 抛物线

第八章 第八节 抛物线 课下练兵场 命 题 报 告 ‎　　　　难度及题号 知识点　‎ 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 抛物线的标准方程及几何性质 ‎1、3‎ ‎4、10‎ 抛物线的定义应用 ‎2‎ ‎5[文]‎ 直线与抛物线的位置关系 ‎9‎ ‎6[理]、‎ ‎7、11‎ ‎8、12‎ 一、选择题 ‎1．抛物线y＝4x2的准线方程为 (　　)‎ A．y＝－　　　　　　　B．y＝ C．y＝ D．y＝－ 解析：由x2＝y，∴p＝.‎ 准线方程为y＝－.‎ 答案：D ‎2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为 (　　)‎ A．4 B．－‎2 C．4或－4 D．12或－2‎ 解析：设标准方程为x2＝－2py(p>0)，‎ 由定义知P到准线距离为4，‎ 故＋2＝4，∴p＝4，‎ ‎∴方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4.‎ 答案：C ‎3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 (　　)‎ A．y＝12x2 B．y＝－36x2‎ C．y＝12x2或y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2‎ 解析：分两类a>0，a<0可得 y＝x2，y＝－x2.‎ 答案：D ‎4．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是 (　　)‎ A．y2＝12x B．y2＝8x C．y2＝6x D．y2＝4x 解析：如图，分别过点A、B作抛物线准线的垂线，垂足分别为M、N，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8，又四边形AMNB为直角梯形，故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线的方程为x＝－，所以有4＝2＋⇒p＝4.‎ 答案：B ‎5．抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长为 (　　)‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ 解析：过点A作抛物线的准线x＝－1的垂线，垂足为B，由抛物线定义，有|AB|＝|AF|，易知AB平行于x轴，∠AFx＝，∠BAF＝，三角形ABF是等边三角形，过F作FC垂直于AB于点C，则|CA|＝|BC|＝p＝2，故|AF|＝|AB|＝4.‎ 答案：B ‎6．[理]已知A、B是抛物线y2＝4x上两点，且·＝0，则原点O到直线AB的最大距离为 (　　)‎ A．2 B ．‎3 C．4 D．8‎ 解析：设直线AB的方程为x＝my＋b，代入抛物线方程可得y2－4my－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋b)(my2＋b)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋mb(y1＋y2)＋b2＝(m2＋1)(－4b)＋‎4m2‎b＋b2＝b2－4b＝0，解之得b＝4或b＝0(舍去)，即直线AB的方程为x＝my＋4, 原点到直线AB的距离为d＝，当m＝0时，‎ d最大值＝4.‎ 答案：C ‎[文]如图，F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于 (　　)‎ A．6 B．‎4 C．3 D．2‎ 解析：由F(1,0)且＋＋＝0知F为△ABC的重心，‎ ‎∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，‎ ‎∴x1＋x2＋x3＝3.‎ 又||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝3＋3＝6.‎ 答案：A 二、填空题 ‎7．(2010·洛阳模拟)过点M(1,0)作直线与抛物线y2＝4x交于A、B两点，则＋＝________.‎ 解析：设直线方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝＝1.‎ 答案：1‎ ‎8．对于抛物线y2＝2x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________．‎ 解析：设抛物线y2＝2x上任意一点Q(，y)，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，若a≤0，显然适合；若a>0，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，即a2≤(a－)2＋y2，即a≤＋1，此时00)且＝－3，‎ ‎∴p＝6，‎ ‎∴方程为y2＝－12x.‎ ‎(2)由于P(2，－4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2＝mx或x2＝ny.‎ 代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，‎ ‎∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.‎ ‎(3)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，‎ 由抛物线定义得5＝|AF|＝|m＋|.‎ 又(－3)2＝2pm，‎ ‎∴p＝±1或p＝±9，‎ 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.‎ ‎11．(2010·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．‎ ‎(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；‎ ‎(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．‎ 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，‎ 设l：x＝ty＋1代入抛物线y2＝4x，‎ 消去x得y2－4ty－4＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2‎ ‎＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2‎ ‎＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.‎ ‎(2)设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得 y2－4ty－4b＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2‎ ‎＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2‎ ‎＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.‎ 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，‎ ‎∴直线l过定点(2,0)．‎ ‎12．已知A、B两点在抛物线C：x2＝4y上，点M(0,4)满足＝λ.‎ ‎(1)求证：⊥；‎ ‎(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.‎ ‎①求证：点N在一条定直线上；‎ ‎②设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．‎ 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：y＝kx＋4与x2＝4y联立得x2－4kx－16＝0，‎ Δ＝(－4k)2－4(－16)＝16k2＋64>0，‎ x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，‎ ‎(1)证明：·‎ ‎＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋4)(kx2＋4)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16‎ ‎＝(1＋k2)(－16)＋4k(4k)＋16＝0，‎ ‎∴⊥.‎ ‎ (2)①证明：过点A的切线：‎ y＝x1(x－x1)＋y1＝x1x－x， ①‎ 过点B的切线：y＝x2x－x， ②‎ 联立①②得点N(，－4)，‎ 所以点N在定直线y＝－4上．‎ ‎②∵＝λ，∴(x1，y1－4)＝λ(－x2,4－y2)，‎ 联立 可得k2＝＝＝λ＋－2,4≤λ≤9，‎ ‎∴≤k2≤.‎ 直线MN：y＝x＋4在x轴的截距为k，‎ ‎∴直线MN在x轴上截距的取值范围是 ‎[－，－]∪[，]．‎