高考数学专题复习练习第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积 课下练兵场

高考数学专题复习练习第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积 课下练兵场

第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 几何体的面积 ‎1‎ ‎6、7‎ 几何体的体积 ‎2、3‎ ‎8、10‎ ‎5、12‎ 与简单组合体、‎ 展开折叠问题 ‎4‎ ‎9、11‎ 一、选择题 ‎1．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 (　　)‎ A．32π　 　B．16π C．12π D．8π 解析：由三视图知，该几何体是半径为2的半球体，其表面积S＝12π.‎ 答案：C ‎2．如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的 正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的 体积是 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连结顶点和底面中心即为高，可求高为，所以体积为V＝·1·1·＝.‎ 答案：B ‎3．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，‎ 则四面体ABCD的外接球的体积为 (　　)‎ A.π B.π C.π D.π 解析：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，‎ 所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，‎ 则V球＝π×()3＝.‎ 答案：C ‎4．(2010·福州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 (　　)‎ A.π B.π C.π＋8 D．12π 解析：由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋π＝π.‎ 答案：A ‎5．某几何体的三视图如图所示，当a＋b取最大值时，这个几何体的体积为 (　　)‎ A． B. C. D. 解析：如图所示，可知AC=，BD=1，BC=b，AB=a.‎ 设CD=x，AD=y，‎ 则x2＋y2＝6，x2＋1＝b2，y2＋1＝a2，‎ 消去x2，y2得 a2＋b2＝8≥，‎ 所以(a＋b)≤4，‎ 当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时x＝，y＝，‎ 所以V＝××1××＝.‎ 答案：D ‎6．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为 (　　)‎ A．7 B．‎6 ‎ C．3 D．9 解析：原正四面体的表面积为4×＝9，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×＝2，故所得几何体的表面积为7.‎ 答案：A 二、填空题 ‎7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为‎2a的等腰三角形，俯视图是半径为a的半圆，则该几何体的表面积是________．‎ 解析：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为×‎2a×2πa＝2πa2，底面积为πa2，观察三视图可知，轴截面为边长为‎2a的正三角形，所以轴截面面积为×‎2a×‎2a×＝a2，则该几何体的表面积为πa2＋a2.‎ 答案：πa2＋a2‎ ‎8．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．‎ 解析：因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V＝ ×π×12×2＝.‎ 答案：π ‎9．(2010·安徽师大附中模拟)一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图的面积分别是1,2,4，则这个几何体的体积为________．‎ 解析：设正视图两直角边长分别为a，c，左视图两直角边长为b，c，则俯视图两直角边长为a，b.‎ ‎∴解得a2b‎2c2＝64，∴abc＝8，‎ 由于这个几何体为三棱锥，所以其体积 V＝×abc＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10．已知正方体AC1的棱长为a，E，F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．‎ 解：因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝ ＝a， ‎ 所以四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形，连接EF，‎ 则△EFB≌△EFD1，‎ 由于三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高，‎ 所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1‎ ‎＝2··S△EBA1·a＝a3.‎ ‎11．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．‎ ‎(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；‎ ‎(2)求这个几何体的表面积及体积．‎ 解：(1)这个几何体的直观图如图所示．‎ ‎(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B‎1C1Q-A1D1P的组合体．‎ 由PA1=PD1=，A1D1=AD=2，‎ 可得PA1⊥PD1.‎ 故所求几何体的表面积 S=5×22+2×2×+2××()2‎ ‎=22+4 (cm2)，‎ 所求几何体的体积V=23+×()2×2=10(cm3)．‎ ‎12．(2009·宁夏、海南高考)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.‎ ‎(1)证明：AB⊥PC；‎ ‎(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P－ABC的体积．‎ 解：(1)证明：因为△PAB是等边三角形，‎ ‎∠PAC＝∠PBC＝90°，‎ 所以Rt△PBC≌Rt△PAC，‎ 可得AC＝BC.‎ 如图，取AB中点D，连结PD、CD，‎ 则PD⊥AB，CD⊥AB，所以AB⊥平面PDC，‎ 所以AB⊥PC.‎ ‎(2)作BE⊥PC，垂足为E，连结AE.‎ 因为Rt△PBC≌Rt△PAC，‎ 所以AE⊥PC，AE=BE.‎ 由已知，平面PAC⊥平面PBC，‎ 故∠AEB=90°.‎ 因为Rt△AEB≌Rt△PEB，‎ 所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．‎ 由已知PC=4，得AE=BE=2，‎ ‎△AEB的面积S=2.‎ 因为PC⊥平面AEB，‎ 所以三棱锥P-ABC的体积 V=×S×PC=‎